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多数人害怕陌生事物

已有 1470 次阅读 2018-8-11 20:28 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 【注:下文是单位群邮件的内容,读写菲奖名作直播连载中...】

多数人害怕陌生事物。

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(接昨天&)。这就来到第三个小标题:Lc thresholds of R-linear systems

评注:来到了文章的正题。

评论:这里的 R-linear systems 应该是呼应文章大标题中的 linear systems (估计不是指线性方程组). 这个 Lc thresholds 大概扮演某种度规的角色。(所谓数学,就是探究数与形的规律。必然也离不开度规与不变。有了这个观点,阅读时就多了一分期许。没有期许意味着盲目)。 

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第一段照录如次。Let (X, B) be a pair. The lc threshold of an R-Cartier R-divisor L ≥ 0 with respect to (X, B) is defined as 

lct(X, B, L) := sup{ t | (X, B+tL) is lc}.

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评注:正式给出了lc threshold的定义(对于L>=0),其中lc 是指 log canonical (对数规范的)。

评论:(X, B) 这种样子之前出现过(但没解释),现在知道这叫做“pair”。忽然冒出个正数 L,名曰 R-Cartier R-divisor (看上去像两个“官衔”)。看上去,L 是由(X, B)决定的。

(补注:L不由(X, B)决定,只是通过配对的方式关联在一起)。

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特评:刚想到的,这个 lc threshold,简记 lct,可以看做一个泛函,它的值是由 X, B, L 通过一个规则决定的。这个规则是这样做的:刚才说了(X, B)是个“pair”,现在把其中的B修改一下,改为 B+ tL,原来的pair就变为(X, B+tL),它也是一个pair,其中自由系数 t 应该是个实数;让自由系数 t 取这样的值,使得 (X, B+tL)是lc的,即 { t | (X, B+tL) is lc };取最后这个集合的上确界,就得到 lct, 或者记作 lct(X,B,L)。

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思考:这个lct是怎么想出来的?(作者的思维路径是怎样的? 是否存在效仿的因素? 形式 (X, B+tL) 的起源是什么?它是元模式吗?有没有更简单和直观的办法解读它?)

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类比:忽然想到,把X看做圆心,B看做半径,这其实就是一种配对(X, B)。设想由X和B定出一个正数L。则(X,B+tL)就是一些同心圆的集合。正数L可以用圆心坐标的绝对值和除以半径:(|x|+|y|)/B,或其它简单的定义方式。当然,这只是类比,帮助把事情想得简单一点。但这个模型中如何实现 lc?

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第二段照录如次。Now let A be an R-Cartier R-divisor. The R-linear system of A is

 |A|R = {L≥ 0 | L ~ R A}.

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评注:给出了 R-linear system的定义。

评论:文章标题中的 linear system 应该是指这种 R-linear system. 但这种线性系统似乎是对“官儿们”定制的,即拥有双头衔 R-Cartier R-divisor 的东东。

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特评:此定义中的核心部分是 L ~ R A,之前出现过,但从来没解释过. 先看其中的R A,其中黑体的R是个下标(在A的左下角),似乎仅仅用来提示A的身份。如果默认这个身份,就可以把它去掉,简化为: L ~ A. 从该段第一句可知,A是给定的. 但从那个集合看,给定A后会出来很多L,挑出所有的正L,就得到 |A|R,或简记为 |A|。换句话说,L ~ A 是个映射!具体怎么映射的这里先不去管它(应该是某种线性映射,否则就不会叫做linear system)。(还是那句话,数学里只有两样东西,要么是集合,要么是映射 —— 不许抬杠)。  

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简化:A ~> |A|. (这个定义就是由“官/僚”A出发制定出一个“权力体系”|A|). 

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大话:其实可以把具有“R-Cartier R-divisor”身份的A看做“钦差大臣”,由他出面组织“大内”|A|。这么看来,那个黑体的R,就是皇家腰牌了!最后,L≥ 0 代表“效忠”。

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第三段照录如次。We then define the lc threshold of |A|R with respect to (X, B) (also called global lc threshold or alpha-invariant) as 

lct(X, B, |A|R):= inf{lct(X,B,L) | L∈|A|R}

which coincides with

sup{ t | (X, B+tL) is lc for every L∈ |A|R}. 

One can similarly define the lc threshold of |A| and |A|Q but we will not need them.

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评注:给出了|A|R的lc threshold定义;参校第一段。

评论:结合第二段,先由A出发,得到|A|R,里面都是具有双头衔身份的正L,每个正L都可以得到自己的lct(即某种上确界),对所有这些上确界取下确界,就得到 |A|R 的lct。这是本段第一个定义,略难懂。第二个定义更直白一些,即对每个 L∈ |A|R  收集合规的 t 值(形成集合),然后一次性取到上确界。

注:上确界sup是指上界中最小的;下确界inf是指下界中最大的。

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特评:刚翻看了上确界的定义(见德国人出的《数学指南》,p.234)。关于本段的第一个定义,每个正L各自都有上确界,所有这些上确界构成一个集合S,比如区间(a, b),那么显然,为了对每个正L都形成最小上界,必须挑出(a,b)中最小的,也就是a,即整个上确界集合的下确界。

注:如果放眼局部的话,每个正L都已经达到各自的最小上界,似乎不该有更小的上界了 —— 但这里不是放眼局部,而是就整个正L的集合而言的 —— 换句话说,从全局的角度,每个正L还有更小的上界。这就是为什么出来个inf。

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顿悟:忽然感到 B+tL 就是个linear形式嘛 —— B, L 是固定的“常对象”,t 是自变量 —— 类似于 a+bx 的形式(a、b为常数、x为自变量)。为何想到取上确界呢?可能是对于足够大的t,(X, B+tL) 总是“lc的”,从“唯一”的角度出发,自然想到取上确界。lc起到“定性”的作用,而lct就达到“定量”了,两者都可以看做某种度规。

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大话:第一段是给“单个大内高手”(正L)定义lct,而此段则是给“整个大内组织”定义lct。(X, B+tL) 这个形式中,X处于中心的地位(像个王),岿然不动(即不变),而 B 很像一个对外接口(象个后),通过“加法”连接到 t L,而 t 和 L 都可以变化。当然,这里的L属于“大内”这个组织,由钦差大臣负责。通过调控,选出最小的t,使得 (X, B+tL) 是“lc的”。这里暂时不知道“lc的”究竟为什么性质,姑且把“lc的”理解为“良性的”、“好的”。t 可以看做“花费因子”。这样,整件事情就是—— 确定最小花费使得整个(权力)系统 (X, B, |A|R) 是好的。看来,这是个金钱与权力的游戏!(嘿呀 嘿呀...)

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第四段照录如次。Due to connections with the notion of stability and existence of Kahler-Einstein metrics, lc thresholds of R-linear systems have attracted a lot of attention, particularly, when A is ample. An improtant special case is when X is Fano and A = -Kx.

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第一句,由于联系着Kahler-Einstein度规的稳定性与存在性,R-linear systems 的 lct 已经吸引大量注意,特别是,当 A 是 ample 的。

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第二句,一个重要的特例是,当 X 是Fano 且 A =-Kx。

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评注:点出了lct的重要意义,以及它所包含的重要特例。

评论:第一句提及Kahler-Einstein度规,明示了lct的显赫所在。一句“吸引大量注意”,再次彰显了作者“不撒狗粮”的风格。第二句,以特例的形式,揭示出 lct 与本文主题之利害关系。

注:“不撒狗粮”是指不给出参考文献。确实,在如今网路发达的情况下,对于内行都知道的事情,不给出参考文献可能更合理,可以避免bias。特别地,数学家不是通过投票来确定事情是否重要,而是更注重它“本身”的意义

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特评:作者不是就题论题地做研究,而是把课题放到更大的架构之下,由此建立与各路诸侯的利害关系。这是职业智慧

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小结:第三个小标题完结,此小节涉及核心概念。原文此部分只有两大段(约占0.33页),这里方便起见把第一大段分成了三小段。自我感觉逐渐接近到文章的核心概念,理解程度有所提高,读通的信心增大。



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1 张忆文

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