【注：下文是单位群邮件的内容，读写菲奖名作直播连载中...】

多数人害怕陌生事物。

.

（接昨天&）。这就来到第三个小标题：Lc thresholds of R-linear systems. 

评注：来到了文章的正题。

评论：这里的 R-linear systems 应该是呼应文章大标题中的 linear systems （估计不是指线性方程组）. 这个 Lc thresholds 大概扮演某种度规的角色。（所谓数学，就是探究数与形的规律。必然也离不开度规与不变。有了这个观点，阅读时就多了一分期许。没有期许意味着盲目）。 

.

第一段照录如次。Let (X, B) be a pair. The lc threshold of an R-Cartier R-divisor L ≥ 0 with respect to (X, B) is defined as 

lct(X, B, L) := sup{ t | (X, B+tL) is lc}.

.

评注：正式给出了lc threshold的定义（对于L>=0），其中lc 是指 log canonical （对数规范的）。

评论：(X, B) 这种样子之前出现过（但没解释），现在知道这叫做“pair”。忽然冒出个正数 L，名曰 R-Cartier R-divisor （看上去像两个“官衔儿”）。看上去，L 是由(X, B)决定的。

（补注：L不由(X, B)决定，只是通过配对的方式关联在一起）。

.

特评：刚想到的，这个 lc threshold，简记 lct，可以看做一个泛函，它的值是由 X, B, L 通过一个规则决定的。这个规则是这样做的：刚才说了(X, B)是个“pair”，现在把其中的B修改一下，改为 B+ tL，原来的pair就变为(X, B+tL)，它也是一个pair，其中自由系数 t 应该是个实数；让自由系数 t 取这样的值，使得 (X, B+tL)是lc的，即 { t | (X, B+tL) is lc }；取最后这个集合的上确界，就得到 lct, 或者记作 lct(X,B,L)。

.

思考：这个lct是怎么想出来的？（作者的思维路径是怎样的？ 是否存在效仿的因素？ 形式 (X, B+tL) 的起源是什么？它是元模式吗？有没有更简单和直观的办法解读它？）

.

类比：忽然想到，把X看做圆心，B看做半径，这其实就是一种配对(X, B)。设想由X和B定出一个正数L。则(X,B+tL)就是一些同心圆的集合。正数L可以用圆心坐标的绝对值和除以半径：(|x|+|y|)/B，或其它简单的定义方式。当然，这只是类比，帮助把事情想得简单一点。但这个模型中如何实现 lc？

.

第二段照录如次。Now let A be an R-Cartier R-divisor. The R-linear system of A is

 |A|R = {L≥ 0 | L ~ R A}.

.

评注：给出了 R-linear system的定义。

评论：文章标题中的 linear system 应该是指这种 R-linear system. 但这种线性系统似乎是对“官儿们”定制的，即拥有双头衔 R-Cartier R-divisor 的东东。

.

特评：此定义中的核心部分是 L ~ R A，之前出现过，但从来没解释过. 先看其中的R A，其中黑体的R是个下标（在A的左下角），似乎仅仅用来提示A的身份。如果默认这个身份，就可以把它去掉，简化为： L ~ A. 从该段第一句可知，A是给定的. 但从那个集合看，给定A后会出来很多L，挑出所有的正L，就得到 |A|R，或简记为 |A|。换句话说，L ~ A 是个映射！具体怎么映射的这里先不去管它（应该是某种线性映射，否则就不会叫做linear system）。（还是那句话，数学里只有两样东西，要么是集合，要么是映射 —— 不许抬杠）。  

.

简化：A ~> |A|. （这个定义就是由“官/僚”A出发制定出一个“权力体系”|A|）. 

.

大话：其实可以把具有“R-Cartier R-divisor”身份的A看做“钦差大臣”，由他出面组织“大内”|A|。这么看来，那个黑体的R，就是皇家腰牌了！最后，L≥ 0 代表“效忠”。

.

第三段照录如次。We then define the lc threshold of |A|R with respect to (X, B) (also called global lc threshold or alpha-invariant) as 

lct(X, B, |A|R):= inf{lct(X,B,L) | L∈|A|R}

which coincides with

sup{ t | (X, B+tL) is lc for every L∈ |A|R}. 

One can similarly define the lc threshold of |A| and |A|Q but we will not need them.

.

评注：给出了|A|R的lc threshold定义；参校第一段。

评论：结合第二段，先由A出发，得到|A|R，里面都是具有双头衔身份的正L，每个正L都可以得到自己的lct（即某种上确界），对所有这些上确界取下确界，就得到 |A|R 的lct。这是本段第一个定义，略难懂。第二个定义更直白一些，即对每个 L∈ |A|R  收集合规的 t 值（形成集合），然后一次性取到上确界。

注：上确界sup是指上界中最小的；下确界inf是指下界中最大的。

.

特评：刚翻看了上确界的定义（见德国人出的《数学指南》，p.234）。关于本段的第一个定义，每个正L各自都有上确界，所有这些上确界构成一个集合S，比如区间(a, b)，那么显然，为了对每个正L都形成最小上界，必须挑出(a,b)中最小的，也就是a，即整个上确界集合的下确界。

注：如果放眼局部的话，每个正L都已经达到各自的最小上界，似乎不该有更小的上界了 —— 但这里不是放眼局部，而是就整个正L的集合而言的 —— 换句话说，从全局的角度，每个正L还有更小的上界。这就是为什么出来个inf。

.

顿悟：忽然感到 B+tL 就是个linear形式嘛 —— B, L 是固定的“常对象”，t 是自变量 —— 类似于 a+bx 的形式（a、b为常数、x为自变量）。为何想到取上确界呢？可能是对于足够大的t，(X, B+tL) 总是“lc的”，从“唯一”的角度出发，自然想到取上确界。lc起到“定性”的作用，而lct就达到“定量”了，两者都可以看做某种度规。

.

大话：第一段是给“单个大内高手”（正L）定义lct，而此段则是给“整个大内组织”定义lct。(X, B+tL) 这个形式中，X处于中心的地位（像个王），岿然不动（即不变），而 B 很像一个对外接口（象个后），通过“加法”连接到 t L，而 t 和 L 都可以变化。当然，这里的L属于“大内”这个组织，由钦差大臣负责。通过调控，选出最小的t，使得 (X, B+tL) 是“lc的”。这里暂时不知道“lc的”究竟为什么性质，姑且把“lc的”理解为“良性的”、“好的”。t 可以看做“花费因子”。这样，整件事情就是—— 确定最小花费使得整个（权力）系统 (X, B, |A|R) 是好的。看来，这是个金钱与权力的游戏！（嘿呀 嘿呀...）

.

第四段照录如次。Due to connections with the notion of stability and existence of Kahler-Einstein metrics, lc thresholds of R-linear systems have attracted a lot of attention, particularly, when A is ample. An improtant special case is when X is Fano and A = -Kx.

.

第一句，由于联系着Kahler-Einstein度规的稳定性与存在性，R-linear systems 的 lct 已经吸引大量注意，特别是，当 A 是 ample 的。

.

第二句，一个重要的特例是，当 X 是Fano 且 A =-Kx。

.

评注：点出了lct的重要意义，以及它所包含的重要特例。

评论：第一句提及Kahler-Einstein度规，明示了lct的显赫所在。一句“吸引大量注意”，再次彰显了作者“不撒狗粮”的风格。第二句，以特例的形式，揭示出 lct 与本文主题之利害关系。

注：“不撒狗粮”是指不给出参考文献。确实，在如今网路发达的情况下，对于内行都知道的事情，不给出参考文献可能更合理，可以避免bias。特别地，数学家不是通过投票来确定事情是否重要，而是更注重它“本身”的意义。

.

特评：作者不是就题论题地做研究，而是把课题放到更大的架构之下，由此建立与各路诸侯的利害关系。这是职业智慧。

.

小结：第三个小标题完结，此小节涉及核心概念。原文此部分只有两大段（约占0.33页），这里方便起见把第一大段分成了三小段。自我感觉逐渐接近到文章的核心概念，理解程度有所提高，读通的信心增大。