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手法和心思值得学习

已有 733 次阅读 2018-8-10 13:03 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 【注:下文是单位群邮件的内容,标题是后加的】

数学中有很多“暗知识”,领悟到就活,领悟不到就生活。

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(接昨天@)。这就来到第二个小标题:Jordan property of Cremona groups

评论:这个Jordan是个数学名人,高等代数里的“Jordan 标准形”该是出自他。然后这个Cremona groups 完全没听过(从名称看是个“群”)。究竟是个怎样的群,又是怎样的Jordan性质呢?期待能够了解...

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第一段照录如次。Another consequence of Theorem 1.1 is the following uniform Jordan property of birational automorphism groups of rationally connected varieties.

只这一句,定理1.1的另一后果是如下的有理连通varieties的双有理自同态群的一致Jordan性质。

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评论:看不出门道。很突然的冒出来了。只能看后面怎么说。

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第二段是个推论,照录如次。Corollary 1.3 Let k be a field of characteristic zero (not necessarily algebraically closed). Let d be a natural number. Then there is a natural number h depending only on d satisfying the following. Let X be a rationally connected variety of dimension d over k. Then for any finite subgroup G of the birational automorphism group Bir(X), there is a normal abelian subgroup H of G of index at most h. In particular, Bir(X) is Jordan.

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推论1.3 令 k 是 特征零域(不必是代数闭的). 令 d 是自然数. 那么存在自然数 h 只依赖于 d 满足如下陈述. 令 X 是 k 上 d 维有理连通的variety. 那么对双有理自同态群 Bir(X)的任何有限子群G,存在G的一个正规阿贝尔子群H其指标至多为h. 特别地,Bir(X) 是 Jordan的.

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评论:对于任何有限维向量空间V,总可以有自同态群(即V到V上的所有可逆线性变换构成的群)。现在对X,也提“自同态群”,是不是意味着X也构成一种向量空间?是啊,对X提及域,还提及维度,这些都是向量空间的属性...不妨姑且把X看做特殊的向量空间。这样的话,(有限群的)表示论的那一套就可以搬过来了。此推论很像是得到了表示论的结果。

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评注:此推论可简记为 X ~ Bir(X) ~ G ~ H. 在variety上做表示论似乎很有趣。

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第三段照录如次。If we take X=P_k^d in the corollary, then we deduce that the Cremona group Cr_d(k):=Bir(P_k^d) is Jordan, answering a question of Serre [29, 6.1]. The corollary follows immediately from Theorem 1.1 and Prokhorov - Shramov [28, Theorem 1.8].

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第一句,如果我们在推论里取 X = P_k^d,那么就能推导出Cremona群Cr_d(k):=Bir(P_k^d)是Jordan的,由此回答了Serre的一个问题[29, 6.1].

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第二句,此推论可由定理1.1和 Prokhorov - Shramov[28, 定理1.8]立刻得到。

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评注:推论1.3里做个简单的替换,回答了Serre早先提出的一个问题,也照应了本小节的小标题。提示推论1.3不难得到。

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小结:第二个小标题完结,还剩四个小标题。可以看出,推论1.3完全是冲着Serre的问题来的,用来体现推论(或者更根本的,定理1.1)的意义。

这里的手法和心思值得学习。


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忽然又想起“电紧张状态”:放在外加磁场中的静止导体内部会建立起电紧张状态;若进一步,令导体在外加磁场中运动,则导体内部即刻产生电流。若把导体换成木头,则相应条件下,既不会有电紧张状态,更不会有电流。或许,数学脑类似于导体,非数学脑类似于木头(哈)。



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2 宁利中 吕洪波

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