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把数学当作语言来学习会容易得多

已有 1860 次阅读 2019-3-5 20:27 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

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今日学院：暂无。|| 新闻+ || 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π ΓΔΛμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .

把数学当作语言来学习会容易得多.

(接前：04 03 02) 命题5.5的证明.

Step4. 第一段(逐句评论).

Now let D = (1 - t/2)Θ+ t/2C and let eps'= t/2eps. We show (Z, D) is eps'-lc.

---- 采用另一种加权法调整 (Z, C) 的边界，使得调整后的配对为 eps-lc 型.

---- 推测将用到Step3的结果.

---- 配对的加权总是对边界而言的.

Let E be a prime divisor over Z and let I be its centre on Z.

---- 在像空间考虑素除子 E 及其中心 I.

If I passes through z, then by Lemma 2.3 a(E, Z, D) = (1-t/2)a(E,Z,Θ) + t/2a(E,Z,C) ≥ t/2eps = eps' because (Z, C) is eps-lc near z.

----估计 a 值，用到引理2.3* .

---- 引理2.3 可看做 “边界的分配律”.

---- 这个分配律是对泛函a而言的.

---- (Z, C) 在 z 附近 eps-lc，即 a(E,Z,C) ≥ eps.

---- 似乎用到a(E,Z,Θ)=0 但来由暂不清楚(?).

So assume z ∉ I.

---- 素除子的中心是个几何对象(不一定是点).

If I is a stratum of (Z, Θ), then I is not inside the support of C, by step 2, hence a(E, Z, D) = (1-t/2)a(E,Z,Θ) + t/2a(E,Z,C) ≥ t/2 ≥ eps' because a(E,Z,C) = a(E,Z,0) ≥ 1.

---- I 不含于 Supp C 起到什么作用?

Now assume I is not a stratum of (Z, Θ) which means I is not an lc centre of this pair.

---- stratum 似乎自动是 lc centre (?).

Then a(E,Z,D) ≥ a(E,Z,Θ+t/2C) =1/2a(E,Z,Θ+tC) + 1/2a(E,Z,Θ) ≥ 1/2 ≥ eps' because (Z,Θ + tC) is lc near I, by Step 3, and because a(E,Z,Θ) ≥ 1 as E is not an lc place of (Z,Θ).

----第一个不等式来由暂不清楚.

---- 第一个等式第二项的系数该是1(?).

---- 若此处不是笔误，则第一个不等式右端项的Θ前该有个1/2.(?)

Therefore, we have proved (Z, D) is eps'-lc.

---- (Z, D) 是全局的 eps'-lc.

---- 因为原作选的 I 是任意的.

评论：该段的大思路是eps‘-lc的定义.

---- 这里的手法是从局部入手证明全局性质.

Step4. 第二段(逐句评论).

By Step 2, a(R,Z,D) = (1-t/2)a(R,Z,Θ) + t/2a(R,Z,C) = t/2a(R,Z,C) ≤ 1.

---- 这是直接展开

---- 用到a(R,Z,Θ)=0.

---- 这个估计有点松(实际上界是 t/2 < 1/4).

Moreover, taking t small engough, we can assume -(KZ + D) = -(1 - t/2)(KZ + Θ) - t/2(KZ + C) is ample because degHi - (KZ + Θ) = 1 and because degHi - (KZ + C) = d + 1 - degHiC ≥ d + 1 - r.

---- 这是给 (Z, D) 的负运算形式赋予常规属性(ample).

---- 此处的度运算/估计及结论来由暂不清楚(?).

Therefore, there is a boundary Δ ≥ D so that (Z, Δ) is eps'-lc and KZ + Δ ~R 0.

---- 这里调用了某个命题，但未指明.

小结：Step4 构造并证明了(Z, D) 和 (Z, Δ) eps'-lc, Δ ≥ D 且 KZ + Δ ~R 0.(预计下一步会涉及“n-complement”).

温习：Step3 (在像空间) 采用加权法调整(Z, C)，使得调整后的配对在远 z 处 lc. 加权是指借助另一个边界 Θ 和正数 t，形成复合边界 Θ + tC. 希望存在 t 使得 (Z, Θ + tC) 在远 z 处 lc. 原作先证明存在t，使得加权配对在 y 附近 klt （后用“inversion of ajunction” 转为远z 处 lc）. 为此，取 Z 中的点 y. 分两种情况. 若 y 不在 Θ 中，则调用引理5.4，存在 t 使得 (Z, tC) klt. 此时在边界中添加 Θ，可在 y 附近 klt. 若 y 在 Θ 中，则 y 属于 (Z, Θ) 的极小维度 stratum，记作 G. 后者有两个性质：degH'C|G = degHC ≤ r，以及 Supp C 不含 G. 由此调用引理5.4，存在 t 使得 (Z, tC)|G klt. 刚才的配对换个写法 (G, tC|G). 在 y 附近它的运算形式满足：KG + tC|G = (KZ + Θ + tC)|G. 最后，由“inversion of ajunction” 得到 (Z, Θ + tC) 在远 z 处 lc.

评论：“inversion of ajunction” 的内容待考(?).