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配对的加权法总是用到另一个边界

已有 1826 次阅读 2019-3-4 18:08 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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今日学院:暂无。||  符号大全上下标.|| 常用:↑↓ ←  π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .

(接前:03 02 01) 命题5.5的证明.
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Step3. 第一段(逐句评论).
We claim that there is a positive real number t ∈ (0, 1/2) depending only on d, r such that (Z, Θ + tC) is lc away from z.
---- Step2末尾提到 (Z, C) 在远 z 处未必 eps-lc,此处说,对边界做个简单修改,则可达到在远 z 处 lc.
---- 体现出命题中出现两个边界的来由.
---- 这里是在像空间说事.
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Pick a closed point y  Z other than z.
---- 从取一个点开始.
---- 早先已经见到这种“格式”,该是一种方法.
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If y is not contained in Θ, we can apply Lemma 5.4 to find t > 0 bounded from below away from zero so that (Z, tC) is klt, hence (Z, Θ + tC) is klt near y.
---- 从上下文可看出,Z 是大空间,其它对象如 Θ 和 C 都包含在 Z 中.
---- 引理5.4 暂时跳过去.
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Now assume y is contained in Θ, hence it is contained in some stratum G of (Z, Θ) of miminal dimension.
---- 这句话表明,closed point 若属于“边界”,则它也属于此边界和大空间构成的配对的 极小维 stratum 里头.
---- “边界”其实是大空间的子集,作参照之用.
评论:此句和上句是“分情况讨论法”.
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Note that G is positive-dimensional and degH'C|G = degHC ≤ r where H' on G is the restriction of a general hyperplane H.
---- 不等式的来由在命题5.2.
(当前的命题5.5完全包含了那个命题的条件).
---- 等式的来由待考(?)
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Moreover, G is not inside Supp C, by Step2.
---- 此句来由很清楚,即 Step2.
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Applying Lemma 5.4 again, we find t > 0 bounded from below away from zero such that (G, tC|G) is klt.
---- 这里是将(Z, tC) 限制到 G.
---- 这样得到的局部配对是 klt 的.
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Thus by inversion of adjunction, (Z, Θ + tC) is lc near y because in a neighbourhood of y we have KG + tC|G = (Kz + Θ +tC)|G.
---- 最后一个公式似乎用到了 Th|G = 0. (?)
---- “inversion of adjunction”(?)之前出现过,这里再次出现,意味着它是方法(待考).
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This proves the existence of t as claimed.
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小结:Step3采用加权法调整(Z, C),使得调整后的配对是 lc 的. 配对的加权法总是用到另一个边界. 此步骤只涉及像空间.
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温习:
Step1, 第一段“调制”条件,用于第二段调用命题5.2,得到 π (暂称“基础态射”) .
Step2, 第一段将条件中的两个配对局部化(像空间及解析同构),主配对的像保持eps-lc(局部),Λ-配对的像保持“禁”(全局,但通过局部刻画). 第二段转向 T,从中心出发,构造出 blowups 序列(关于起始配对“toroidal”),T 作为最后blowup 的 exceptional divisor; 中间配对保持 log smooth 和 reduced boundary (此段的要点是: T 的中心是Λ-配对的 lc centre 和 stratum,由此触发 链锁 blowups; 构造中间配对时,要有个回拉的步骤). 第三段是讲像空间中的 blowups 序列,局部化起到某种作用(?),圆盘关系在像空间保持. 第四段提到原空间中的X, B, Λ 不能由像替代,原因是eps-lc 在 z 的远处未必保持.


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