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与大拿的视野“并舟”
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【注：下文是单位群邮件的内容，跑出个神雕侠侣！】
（接上回*）Lemma 2.3. If (X, B) and (X, B') are sub-pairs and Δ = t B + (1-t) B', then
a(D, X, Δ) = t a(D, X, B) + (1 - t) a(D, X, B')
for any prime divisor D over X. In particular, if (X, B) is sub-eps-lc and (X, B') is sub-eps'-lc, then (X, Δ) is sub-(t eps + (1 - t) eps')-lc.
. 李毅伟 李毅伟 李毅伟 李毅伟 李毅伟 太原科技大学 太原科技大学 太原科技大学
评注：泛函a的凸分解（或：凸组合配对）。
评论：此引理体现了某种“规律”。sub-pairs, prime divisor可看做“小分子级”的数学对象，而 a(D, X, ?) 可看做“大分子级”的数学对象（“蛋白质”）。引理体现的是大、小分子的关系（此处为凸的线性拆分关系）。
加评：这是个小结果，但可能有基础作用。又，此结果放在眼前，看着很清楚，但作者是怎样“从无到有”得出的呢？（即上下文、起源问题）。
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特评：早先提到，配对是 X和B的相互选择；固定X，可能有多个B与之配对。此引理说，若B和B'可与X配对，则它们的凸组合也可与X配对。
考虑：取 Δ = t Kx + (1-t) B 如何？ 既然有 Kx + B 这种形式，意味着 Kx 和 B 是同类，Kx 和 X 能配对吗（自配对）？
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Proof. Let phi: W --> X be a log resolution of (X, Supp B U Supp B') and let Kw + Bw, Kw + B'w, Kw + Δw, be the pullbacks of Kx + B, Kx + B', Kx + Δ, respectively. Let D be a prime divisor on W and let b, b', delta be its coefficients in Bw, B'w, Δw. Then Kw + Δw = phi*(Kx +tB + (1-t)B') = t phi* (Kx + B) + (1-t) phi*(Kx +B') = Kw + t Bw + (1-t)B'w, hence delta = t b + (1-t)b'. Thus a(D, X, Δ ) =1- delta = 1- tb - (1-t)b' =t - tb+(1-t) - (1-t)b' = ta(D, X, B) + (1-t)a(D, X, B').
The last claim of the lemma follows from the first claim.
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评注：原作中第一次出现证明。
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分析：1. log resolution 关联着配对。Supp B U Supp B'，这是并集的格式。Supp是指“支撑集”？那样的话，B就是函数了（待考）。
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2. 回顾2.2中的一串关系：
Kx + B <~ (X, B) ~> W
↓ |
Kw + Bw D
\ ↓
a(D, X, B):=1 - mu_D Bw
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从配对出发，由log resolution得到 W，继而由 Kx + B 得到 Kw + Bw （称作“pullback”）。换句话说，有了配对，立刻就有“三宝”。
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然后那个 D，是个所谓的 prime divisor，本来是独立自由的，只是在这里跟 (X, B) 联合了起来（结合“诸宝”），共同定义了泛函 a。
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附注：为帮助记忆，D和(X, B) 合称为“神雕侠侣”。
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疑问：W 和 X 是同类？
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3. 忽然想到，最好能有个具体的例子，也好看清楚各符号所指代事物的具体面目。
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4. 从证明中的第一句话推断，(X, Δ) 符合配对条件（但作者省略了证明）。特别地，三个配对共享同一个W —— 应该是Supp B U Supp B'的功效 —— 从而有共同的Kw。
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5. 证明中的第二句，D是W上的prime divisor，它在三个对象(Bw, B'w, Δw) 里分别有三个系数(b, b', delta)。若Bw是列向量，D就也该是列向量，这样可以通过内积获得（投影）系数。待考。
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6. 第三句开头，Kw + Δw = phi*(Kx + tB + (1-t)B' )，这里的phi* 显然对应着 phi，而 tB + (1-t)B' 就是 Δ。退回一步，有Kw + Δw = phi*(Kx + Δ )。也就是说，phi* 就是所谓的“pullback”（映射）。
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从后续的推导看，应该是（映射括弧内）插入了 t Kx - t Kx （“插零法”），即 Kx + t Kx -t Kx + t B + B' - t B'，整理：Kx + B' + t (Kx +B) - t (Kx +B') = (1-t) (Kx + B') + t (Kx + B)。两次美妙的提取公因式。
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phi* 看上去是线性映射，于是有： phi*((1-t) (Kx + B') + t (Kx + B)) = (1-t) phi*(Kx + B') + t phi*(Kx + B).
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再注意到phi*就是pullback映射，于是，有： phi*(Kx + B') = Kw + B'w 和 phi*(Kx + B) = Kw + Bw. 代入上面最后的式子（预期会有抵消），得：(1-t) (Kw + B'w) + t (Kw + Bw) = Kw + (1-t) B'w + t Bw.
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对照第三句开头和上面最后的式子，得： Δw = (1-t) B'w + t Bw。
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第三句末尾说，于是 delta = t b + (1-t)b'。看上去是用那些“系数”替换了“空间”本身（参第二句，或第5点）。姑且这么理解。
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7. 第四句开头，于是 a(D, X, Δ) = 1- delta...这里delta是D在Δw里的系数，而按定义a(D, X, Δ)=1-mu_D Δw。似乎接不上头。按这里，意味着 delta = mu_D Δw。待考。
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暂时按文中推导走。1- delta = 1 - t b - (1 - t)b' = (t - t) + 1 - t b - (1 - t)b' = t - t b + (1 - t) - (1 - t)b' = t (1 - b) + (1 - t) (1 - b') = t a(D, X, B) + (1 - t) a(D, X, B')。对照第四句开头，已经得到引理的结论。
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8. 第五句，似乎是显然的（待练习）。
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小结：引理2.3完结。证明的分析，第6、7点是重头。（此引理之证明不难读懂，但若干概念仍待学习，引理的思想起源待考）。
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可能再等一段分享会更成熟，但对阅读此类论文的“好处”，已略有所悟。首先，你会有一种安全感，精神头也大。即便满眼陌生的符号，但你知道它们出现在“大拿”的视野里...有穿越“虫洞”的快感（时空中跳跃），减少路径依赖。其实，本来就该优先阅读这类论文（即最新的名作）。
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从学习的角度看，优先掌握大拿最新视野中的内容，“拉动”相关的前导知识的学习，针对性、目的性强，学习时知道自己从哪里来，学完了也知道自己“该回到哪里去”，学习本身的盲目性减小、自觉性增加；若收放有度， 效率也会提高。总之，这就是“自顶而下”的学习。从方法论上讲，这就是与大拿的视野“并舟”。
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其次，站在高处，相当于眼前摆上了地图，方便“俯视”，知道“哪个在哪里”，而不至于坐井观天。一言以蔽之：站在大拿的肩膀上，其妙无穷。
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第三， 数学的要件该是各类“形式”，应注意识记，要对“没见过的形式”保持敏感性（即，要能够看出那是“形式”）。数学中的“形式”，可以跟化学中的元素、化合物相类比 —— 这是一种观点。
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