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“配对”是个核心概念

已有 2387 次阅读 2018-8-20 15:45 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

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(接上回#2.4. Fano pairs. A pair (X, B) is called Fano (resp. weak Fano) if it is lc and -(Kx + B) is ample (resp. nef and big). When B = 0 we just say X is Fano (resp. weak Fano). A variety X is Fano type if (X, B) is klt weak Fano for some B. By [5],  a Fano type variety is a Mori dream space, so we can run an MMP on any R-Cartier R-divisor on X and it terminates.

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评注:Fano 和 Fano type.

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第一句,配对 (X, B)称作Fano(弱Fano),如果它是lc的并且 -(Kx + B) 是ample的(nef和big)。

第二句,当B=0时,我们就说 X 是Fano(若Fano)。

第三句,(代数)簇 X 称作 Fano类型,如果 (X, B) 对某些 B 是 klt 弱Fano。

第四句,按照[5],Fano类型的簇是Mori梦空间,因而我们可以在X上的任何R-Cartier R-divisor上运行MMP,并且它会结束。

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评注:Fano 是对 pair 而言的(代表某类配对),在特定情况下称谓转移给了X。

评论:“称谓转移”(或“转称”)现象值得注意。

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特评:此段显示,“配对”是个核心概念,可派生出其它概念。派生方式有如下几种:

1. 给配对本身施加某种限定,如 lc。

2. 给 - (Kx + B) 施加某种限定。

3. 给 B 施加某种限定,如B=0。

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注:看上去,Kx + B 经常用来刻画配对的性质,它的常用“取值”:

1.     Kx + B is R-Cartier;

2. -(Kx + B) is ample;

3. -(Kx + B) is nef and big.

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在这里,Fano pair 的派生编码为 1(1)2(2); 类似的:weak Fano pair ~ 1(1)2(3).

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注:Fano pair 总是lc的,“普通”与“弱”则由 -(Kx + B) 确定。 

注:“klt weak Fano” 不易理解(须回顾 klt 所指)。

 

 

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