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前路茫茫，小步慢跑。
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前路茫茫，小步慢跑。
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Step5. 第一段(逐句评论).
Since W --> Z is a sequence of blowups toroidal with respect to (Z, Θ), it is a sequence of toric blowups and W is a toric variety.
---- Step2*准备了像空间的 blowups 序列.
---- 即：W = Zl -->...-->Z0 = Z.
---- 此处指出该序列是 toric blowups.
---- 特别地，W 是 “toric variety”.
注：曾在网上见到一本书，封皮上写着“环簇”.
---- 暂不追究环簇的内容，知道它更基本即可.
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Let E1,...,El be the exceptional divisors of W --> Z, with El = R.
---- 每次 blowup 都会产生一个 exceptional divisor.
---- 注意，Eᵢ 的下标是从 1 开始的.
---- R 是最末尾的 Eᵢ.
(R 该是 T 的像).
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We can run a toric MMP over Z on the divisor ΣEᵢ ending with a toric variety W' equipped with a birational morphism ψ: W' --> Z.
注：其中的求和是从E1 到 El-1.
---- (toric) MMP 可看做某种变换.
---- 此处 MMP(ΣEᵢ) = W'.
---- 这样变出的 W' 也是 toric 的.
---- 并且带有双有理态射 ψ: W' --> Z.
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The MMP contracts all the E1,...,El-1, so the birational transform of R = El is the only exceptional divisor of ψ.
---- 该MMP 压缩 E1,...,El-1, 从而 R=El 的双有理变换 是 ψ 的唯一的 exceptional divisor.
---- 这句话令人费解.
---- “R=El 的双有理变换” 是指什么？
---- 前半句和后半句存在因果关系吗？
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评论：Step5 第一段共四句话，是接着 Step2 说的 (Step2 是给Step3,4,5做准备). 前两句是做准备，后两句是MMP及后果.
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温习：Step4. 像空间中: 1) 采用加权法构造符合边界 D = (1 - t/2)Θ + t/2C，证明 (Z, D) 是 eps'-lc 型配对(eps' = t/2eps). 大思路是按定义，即考察泛函a的估计. 要点是取Z上的素除子 E 和它的中心 I. 按 I 是否经过 z，是否是 stratum 分情况讨论，并应用关于泛函a的“边界分配律”. 2) 证明 (Z, Δ) 是 eps'-lc 型，KZ + Δ ~R 0 (Δ ≥ D). 总之，派生出两个新的边界，对应的配对都是 eps'-lc 型.
评论：早先感到奇怪，命题中为何出现两个边界（又称“相”）*，原来是要通过加权法构造复合边界.
Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Grothendieck
Glossary (AG)
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第一轮读写链接（按目录顺序）
Abstract 8/4
Introduction
Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5
Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6
Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7
Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8
Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9
Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9
Jordan property of Cremona groups 8/10
Lc thresholds of lR-linear systems 8/11
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1) 8/12
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2) 8/13
Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14
Complements near a divisor 8/15
....
....
.Proposition 5.2 11/9
...
Proposition 5.5. 11/5
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1166253.html
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