博文
W\' 若想组成配对，需要有一边界.
||
This is an in-mail from TYUST.
本期开始分组发送邮件，搭载数学类学院等链接。
Step5. 第二段(逐句评论).
Let Kw' + Δw' be the pullback of KZ + Δ.
---- Kz + Δ 是配对 (Z, Δ) 的 运算形式.
---- W' 是上一步通过MMP 得到的 toric variety.
---- W' 若想组成配对，需要有一边界.
---- 而 W' --> Z 构成(双有理)态射.
---- 这种情况下可按箭头所指空间的配对，就其运算形式做个“回拉”，带出所需边界.
---- 这个边界要配 W'，且与 Z 的边界 Δ 或有联系，故采用符号 “Δw' ”.
(以上基于早先多次观察到的类似情况).
.
Then Δw' is effective as a(R, Z, Δ) ≤ 1.
---- Step4末尾有 a(R, Z, D) ≤ 1. Δ ≥ D.
---- 但并没有直接指出 a(R, Z, Δ) ≤ 1.
{温习：log discrepancy (即泛函a).
---- 设主集合 X，配上边界 B，得到配对(X, B).
---- 再引入另一集合W，构成 W --> X.
---- 对运行形式 Kx + B 做回拉得：Kw + Bw.
---- D 在 W 上关于 (X, B) 的 log discrepancy:
a(D, X, B) = 1 - μDBw.
---- Bw是回拉得到的边界.
---- 式中 μDBw 是如下展开式的系数 d：
Bw = ...+ dD +...
D 可想象成坐标轴之一，d 则想象成相应坐标.
---- 注意，定义要求 D 是 不可约的.}
回到命题5.5 (参 Step4)...
---- 好了，(Z, Δ) 是 eps'-lc型，则对每个不可约除子P，都有 a(P, Z, Δ) ≥ eps'. 假定R是不可约的，则有 a(R, Z, Δ) ≥ eps'.
---- Δ ≥ D，可写作 Δ = D + δ.
---- 但这里不能用边界分配率(不是标准加权).
... 回到泛函 a 的定义.
---- a(R, Z, Δ) = 1 - μRΔw'.
---- μRΔw' 是如下展开式的系数 r:
Δw' = ...+ rR +...
---- 由配对(Z, Δ)的类型，知道 r ≤ 1- eps'.
---- eps'=(t/2)eps, t ∈ (0, 1/2), 且 eps ≤ 1.
---- 由此，eps'<1/4.
---- r 的上界是1以内的正数，但 r 是否为正?
评论：暂时暂时证明不了 a(R, Z, Δ) ≤ 1.
---- 但上面温习中顺带搞清了 “lc place”*的概念.
.
Moreover, -Kw' is big by construction.
---- “big” 已多次出现，但不晓得指什么?
---- 刚查到一个定义*
---- 太复杂了，只看出它是某种 line bundle.
---- 点开句子开头的链接，有更多解释*：
A line bundle is big if it is of maximal Iitaka dimension, that is, if its Iitaka dimension is equal to the dimension of the underlying variety. Bigness is a birational invariant: If f : Y → X is a birational morphism of varieties, and if L is a big line bundle on X, then f*L is a big line bundle on Y.
All ample line bundles are big.
Big line bundles need not determine birational isomorphisms of X with its image. For example, if C is a hyperelliptic curve (such as a curve of genus two), then its canonical bundle is big, but the rational map it determines is not a birational isomorphism. Instead, it is a two-to-one cover of the canonical curve of C, which is a rational normal curve.
评论：这些对理解当前句子用处不大.
---- 可能是(Z, Δ) eps'-lc 以及 a(R, Z, Δ) ≤ 1 引起 “ -Kw' is big” .
.
Now run an MMP on -Kw' and let W'' be the resulting model.
---- Kw' 是 W' 的“柄”.
---- 通常“主簇”总是通过“柄”对外交涉.
---- 经常地，倾向于使用“负柄”.
---- 此处表明，MMP 作用于“负柄”是惯用手法.
---- 公式化：MMP(负柄) = 主簇2.
.
Again, W'' is a toric variety, and -Kw'' is nef and big.
---- 主簇2 保持主簇的属性.
---- 主簇2 的 负柄 增加了 nef 属性.
.
Moreover, since (W', Δw') is eps'-lc, (W'', Δw'') is eps'-lc too.
---- 之前未证明 (W', Δw') 是 eps'-lc 型.
---- 这也是一种做法(省略明显的证明).
---- 但暂时看不出明显在哪里(?).
.
Thus W'' is an eps'-lc toric weak Fano variety.
---- 到达一个关键点：归到 toric 式的 eps'-lc 型弱法诺簇.
注：原作没有用黑体，这里作为强调之用.
.
Now by [7], W'' belongs to a bounded family of varieties depending only on d, eps'.
---- W'' 属于有界族.
---- [7] 该是提出BAB猜想的文章.
---- 标题是“Singular toric Fano varieties”.
.
Therefore, there is a natural number n > 1 depending only on d, eps' such that |-nKw''| is base point free, in particular, Kw'' has an n-complement Kw'' + Ωw'' which is klt.
---- 属于有界族 ==> klt n-补 ?
---- “base point free” 头一回见到.
---- 也许Sect.3 提到过.(?).
.
This in turn gives an n-complement Kw' + Ωw' of Kw', hence an n-complement Kz + Ω of Kz which is klt.
---- 通过“传递效应” 最终得到 Kz 的 n-complement.
---- 转了一圈，给Z空间带回来个n-complement.
---- 这里的 Z 空间是 lPᵈ = ProjC[t0,...,td].
.
小结：Step5 第二段的落点是找到Kz的n-complement，触发点是对 -Kw' 做MMP (-Kw' 是对 Kz + Δ 做回拉得到，具有属性“big”).
.
温习：Step5.第一段. 接Step2，像空间得到的 toric blowups 序列，其末尾的 W 是 toric variety. 尾部以上的 exceptional divisor 求和，并对其做 MMP，得到 W' 也是 toric variety，同时形成双有理态射 ψ: W' --> Z. 特别地，R 的双有理变换是 ψ 的仅有 exceptional divisor. (注：MMP 压缩了 blowups 序列中尾部以上的所有 exceptional divisors).
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1166645.html
上一篇：前路茫茫，小步慢跑。
下一篇：先温习，再往前走。
