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先温习，再往前走。
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先温习，再往前走。
Step6. 共一段(逐句评论)
Since nΩ is integral and degHiΩ = d +1, the pair (Z, Supp(Ω + Θ)) belongs to a bounded family of pairs depending only on d, n.
---- Ω 来自Kz 的 n-补 Kz + Ω (参Step5末尾).
---- n 是整化因子，使得 nΩ 的系数为整数.
---- degHiΩ = d +1 怎么来的?
---- 这里出现一个新配对，以 Ω 与 Θ 的和之支撑集作为边界，与主集合Z 配对. 它属于有界族.
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Therefore, there is a number u depending only on d, n such that (Z, Ω + uΘ) is klt.
---- 导出另一配对(klt)，边界为 Ω + uΘ.
---- 此句话的实质是得到了数 u.
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Since Ωw' ≥ 0, we deduce that the coefficient of the birational transtrom of R in ψ*Θ is at most 1/u which in turn implies μRφ*Θ ≤ 1/u where φ denotes W --> Z.
---- 这句话可能会出现在未来的习题集中.
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On the other hand, since W --> Z is a sequence of centre blowups of R which is toroidal with respect to (Z, Θ), we have l + 1 ≤ μRφ*Θ, by Lemma 2.17.
---- 引理2.7待温习(?).
---- 结合上句有：l + 1 ≤ μRφ*Θ ≤ 1/u.
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Therefore, l ≤ p:=⌊1/u - 1⌋.
---- 按刚上句有：l ≤ 1/u - 1.
---- 但命题要整数上界，于是原作对右端下取整.
---- 下取整是因为 l 是正整数.
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小结：命题5.5证明读写完毕.
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温习：Step5(共两段)
第一段的落点是 W'.
1. (接续Step2). W --> Z 系 toric blowups 序列.
2. 对末尾以外的 exceptional divisors 求和.
3. 在 Z 上方，对该和做 toric MMP 得到 W'.
4. W' --> Z 系双有理态射.
注：W 和 W' 都是 toric variety.
第二段的落点是 Ω.
1. (接上) W' 预配对，需找一边界.
2. 主集合派出 Kw' 对外交涉.
3. 找到Step4第二段的落点 (Z, Δ).
4. 对其运算形 Kz + Δ 做回拉得 Kw' + Δw'.
5. 得边界 Δw' (effective), 其负柄 -Kw' big.
6. 后者上做MMP 得 W'' (toric), 其负柄 -Kw'’ nb.
7. (W', Δw') 和 ( W'', Δw'') 皆为 eps'-lc 型.
8. 由此 W'' 系 eps'-lc toric weak Fano variety.
9. 则由[7], W'' 属于有界族.
10. 则有 n>1 使得 |-nKw''| base point free;
11. Kw'' 有 n-补 Kw'' +Ωw'' (klt).
12. 由此得 Kw' 的 n-补 Kw' + Ωw',
13 以及 Kz 的 n-补 Kz + Ω (klt).
注：7. 未交待 Δw'' 而直接使用.
---- 推测跟 Δw' 的来由一样(参4).
注：11. klt 该是就相应配对而言.
注：12. 原作未明说但相应配对也该是klt.
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Step5 图解：
W W' W''
↓ ↓ ↓
----- Z ------
注：整个证明是从左到右发展，再从右到左回来.
1. 从W(-->Z) 到 W'(-->Z) 是对 “违和” 做MMP.
2. 从W'(-->Z) 到 W''(-->Z) 是对 “负柄” 做MMP.
3. W' 的负柄 big，而 W'' 的负柄 nb (nef&big).
4. W, W', W'' 均 toric; (W') 和 (W'') 均eps'-lc.
5. W'' 系 eps'-lc toric Weak Fano，属于有界族.
6. 推出 Kw'' 的n-补后，反推出 Kw' 和 Kz 的n-补.
注意：Z, W', W'' 都跟 Δ(或回拉版)配对，W 从未和 Δ(或回拉版)配对.
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定制的名词：
“违和” ---- 指 blowups 序列 W-->Z 尾部以外的 exceptional divisors 求和.
“负柄” ---- 指主集合的“权柄”之相反数.
“权柄” ---- 如，主集合为 W'，则“权柄”是指 Kw'.
注：“定制”指供个人使用，不作为正式名词.
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