博文
教科书与数学家是“不连通”关系
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Step4 图解.
E R
I|z
Z C|Θ
注： 按顺时针，王(Z)、侯、将、相.
---- 这是像空间在 Step4 的 状态图.
---- E 是原作在 Step4 额外引入的.
---- I 是 E 在 Z 上的中心; z 是 R 在 Z 上的中心.
评论：Step4 要在像空间构造 eps-lc 型配对.
---- E 和 R 象两个“触角”，各自引出一段证明.
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原作在 Step2 末尾点明 “...we do not know whether (Z, C) is eps-lc away from z.”
---- Step3构造配对“...(Z, tC+Θ) is lc away from z.”
---- 还差一点(eps)，但有了个 t ∈ (0, 1/2).
---- Step4 用这个 t 构造复合边界:
D: = (1- t/2)Θ + t/2C.
---- 再用 t 和 eps 定义出 eps':=t/2eps.
---- 则 (Z, D) 是 eps'-lc 型的.
(eps' 和 eps 的内涵一致，仅是数值不同).
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证明(Z, D) 是 eps'-lc 的关键技巧是: 引入 E 在 Z 上的中心 I.
---- (Z, D) 并非凭空而来 (D基于 C 和 Θ).
---- 而 (Z, C) 在 z 附近是 eps-lc 型.
---- 换句话说，(Z, C) 带有 eps-lc “种子”.
---- 原作在构造(Z, D)之前该是想着利用该“种子”.
---- 这就得跟 (Z, C) 搭上关系(借助 Θ 和 t).
---- 而(Z, C) 的特性是局部的，故须分情况讨论.
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E 在 Z 上的中心 I 是集合(而不是单点).
---- “If I passes through z...”
---- 这是考虑 (Z, D) 在 z 附近的情况.
---- 此时考虑所有E (prime divisors) 的一部分(?).
(关于“附近”的概念尚不明确, 待考?)
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试探究“附近”的内涵.
---- 原作指出 (Z, C) 在 z 附近是 eps-lc 型.
---- 但这个 “附近” 到底是多近 ?
---- 假设 (Z, C) 是全局的 eps-lc 型，则按定义:
---- 对任意 E 有 a(E, Z, C) ≥ eps.
---- E 是素除子 over Z，或者说 E on L.
---- 其中， L --> Z 是 log resolution.
---- 则 a(E, Z, C) = 1 - μECL.
---- 将上述手续用到 z 的附近，意味着:
---- 要有个z 的邻域 V(z)，用来替换 Z.
---- 此时该考虑 E 素除子 over U(z), 即 E on Lz.
---- 其中，Lz --> V(z) 是 log resolution.
---- 则 a(E, V(z), C) = 1 - μECLz .
评论：以上推理了“附近”的内涵 (姑且采纳).
---- 回到上一段: 那里对“附近”的理解不对.
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按照对 “z 附近” 的最新理解:
---- E 在 Z 上的 中心 I 经过 z 意味着:
---- z ∈I ==>(?) I ⊂ V(z) .
---- 若此，引入 I 可能是出于参照的需要.
---- 另，原作在推导中假定了 a(E, Z, Θ) ≥ 0.(?).
评论：须查阅“中心”的定义.(该是较早期的概念).
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探究 a(E, Z, Θ) ≥ 0 的原因.
---- 在 z 附近意味着 Z 由 V(z) 代替.
---- 但此处的边界是 Θ (而不是 C).
---- a(E, V(z), Θ) = 1 - μEΘLz ≥ 0 ==> μEΘLz ≤ 1.
---- 换句话说，E 在 ΘLz 内的系数为 不超过 1.
---- 又， a(E, Z, Θ) ≥ 0 等价于 (Z, Θ) 是 lc 型！
---- 但原作并未提及 (Z, Θ) 的奇异类型.
---- (Z, Θ) 是 (X, Λ) 的像，而原配对 log smooth.
---- 能推出 (Z, Θ) 是 lc 型吗？
评论：暂时搁置此细节之探究.
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小结：Step4 的温习暂告段落.
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1168149.html
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