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Zmn-0092 薛问天：评樊毅先生在证明a≠{a}中的错误
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Zmn-0092 薛问天：评樊毅先生在证明a≠{a}中的错误
【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0091》樊毅先生的文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
评樊毅先生在证明a≠{a}中的错误
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
不要忘记我们讨论的问题是什么。我们争论的问题是，在素朴集合论中能否「证明」a≠{a}?严格地说即 在素朴集合论中能否证明【对所有的集合a， a≠{a}】。
樊毅先生的回答是可以证明。证明的思路(根据)是: 如果用式(I)证明存在集合a，使a={a}，则犯了循环定义的错误。所以这样的集合不存在。
我认为这个证明理由不正确。因为式(I)A={a1,...,an}， 是描述集合的一种方法，根本不是定义。何谈循环定义。(I)式中A，a1,...,an，都是确定的对象，A称为集合，a1,...,an称为元素。只要求元素相异，并未要求A不同于任何ai。
我也说过，只有把(I)式看作是一种生成(构造)集合的方式。【 如果你用「构造性」的方式来定义集合概念，你把(I)和(II)看作是两个由己有集合生成新集合的构造方式。把集合「构造性」地定义为，由若干个原始元素开始，经有穷次地使用 (I)和(II)两种构造方式所生成的集合。在(I)中等号右边的a1,...,an是原始元素或己生成的集合，等号左边的A是新生成的集合，自然不可能有ai=A。不能有A={...,A,...}存在。】
问题是在素朴集合论中并没有这样「构造性」地定义集合。也就是说，断定一个集合的存在，并未要求必须用构造性的方式把它构造出来。不能推论说构造不出来就不承认它的存在。既使是在现代集合论和公理集合论中对集合的「存在」都没有这种「构造性」的要求。而承认由反证法等推理方法能证明集合的存在。
这一点樊毅先生也是认可的。他说【 虽然康托并没有说集合必须由(I)或(II)构造而来，但是也没有禁止这样做。】是的，没有禁止这样做，也就是说，在素朴集合论中，「可以」用构造来证明某些集合的存在。但是这不是「必须」的。不能说，所有集合都必须用构造方法生成。说构造不出来，集合就不存在。而樊毅先生所论证的正是由「构造不出来」得出集合不存在的结论。
樊毅先生说【注意，康托说，构成集合的事物，必须是“确定之物”，现在满足a={a}的对象a只能是一个集合，但是怎样确定a呢？那就必须给出a的定义来，你不能说a是无法定义的，那就更加无法知道a是什么了。
......，能不能给出一个a的定义，让a={a}。事实上，除了用（I）或（II）的方式来定义a，没有别的办法给出一个具体的对象a，使其满足a={a}这个等式。】
又说【 但是在实际操作中，如果把a={a}当做一个方程来求解，那么a其实是没有合法解的。所以，并不是说把a={a}或a={x|x='a'}强行当成了定义，而是为了让a={a}，a只能这样定义。】
也就是说，樊先生认为，为了证明集合a={a}的存在，【 必须给出a的定义来】，【 除了用（I）或（II）的方式来定义a，没有别的办法给出一个具体的对象a，使其满足a={a}这个等式。】【 在实际操作中，......为了让a={a}，a只能这样定义。】
说来说去，樊毅先生只是口头上承认在素朴集合论中，【 并没有说集合必须由(I)或(II)构造而来】。但是在他的思想深处仍然坚持【 除了用（I）或（II）的方式来定义a，没有别的办法】。也就是说他认为集合a={a}不能用(I)和(II)定义，就能「证明」这样的集合不存在。这就说明，在他的「证明」中用到了【 集合必须由(I)或(II)构造而来】的论据。然而这在素朴集合论中并没有这样的「构造性」的有关集合的定义。所以樊毅先生的「证明」是论据不充分的，是错误的。
关于其它问题，如是否有必要区分「无穷」和「无限」，实无穷观认为完成的是「过程」，还是「方法」等。樊毅认为是「非原则问题」。就不在此再讨论了。
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