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Zmn-1139 薛问天: 这全是认识的错误,微分的定义不存在貝克莱悖论,评新华《1138》
【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对新华先生的《Zmn-1138》一文的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
这全是认识的错误,微分的定义
不存在貝克莱悖论,评新华《1138》
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
一,新华先生错误在于没有弄懂,什么是矛盾,什么是悖论。Δx是增量,当然允许Δx=0和Δx≠0。允许Δx=0和Δx≠0,并不是矛盾也不是悖论。
贝克莱悖论指的早期微积分在定义和求导数时,第一步要求Δx≠0,第二步又要求Δx=0。即是同时要求Δx=0和Δx≠0。这才产生了矛盾,产生了悖论。而第二代微积分严格要求求导数时,Δx≠0。所以彻底解脱了貝克莱悖论。
在微分的定义中,𝒅𝒚=AΔ𝒙,𝒅𝒙=Δ𝒙。是允许 Δ𝒙=0,也允许Δx≠0,并不存在有同时要求 Δ𝒙=0和Δx≠0的情况。所以不存在任何矛盾。另外严格证明是在当Δx≠0时,𝒅𝒚/𝒅𝒙=𝒇′(𝒙)。如果“Δ𝒙=0”,当然允许有𝒅𝒚=0,𝒅𝒙=0,此时微商没有意义,这很正常同导数无关。因为分母为0,𝒅𝒚/𝒅𝒙=0/0。
二,新华先生认为涉及无穷的数,如无穷级数,无穷小数就是【动态的】,就是【其值在不断增加延伸过程中,不是一个确定的定值,】这是一个严重的错误。
在数学中,是把无穷小数定义为有穷小数的无穷序列的极限,是把无穷小数0.999...,定义为有穷小数的无穷序列0.9,0.99,0.999,..,的极限,是把无穷级数的和定义为有穷的部分和的无穷序列的极限,
【其值在不断增加延伸过程中,不是一个确定的定值,】指的是无穷序列的值,不是指的极限的值。指的是无穷序列0.9,0.99,0.999,..,的值,不是指的无穷小数0.999...=1这个极限值。指的是部分和的无穷序列的的值,不是指的无穷级数的和这个极限值。要知道这个极限值,无穷小数0.999...=1这个极限值,无穷级数的和这个极限值,则是静态的,唯一确定的数值,不是不断增加延伸的不确定的值。
听清楚了吗,这是新华先生的错误认识。无穷小数0.999...同极限1是同一个对象,同无穷序列0.9,0.99,0.999,..,不是同一个对象。无穷级数的和同这个极限值是同一个对象,同部分和序列不是同一个对象。
三,我发现新华先生的脑子真不够用。
竟然说【求∆𝒚的目的就是为了求导数,而此时导数还没有求出来,也就是说,在表达∆𝒚时,𝒇′(𝒙)=𝐜𝐨𝐬 𝒙还不存在,而用其导数表达∆𝒚,显然是错误的。】
要知道导数cosx,就是当Δx→0时,Δy/Δx的极限。在导数没求出前,你不说它是导数,说它是Δy/Δx的极限总是可以的吧。你既然会求出它的导数,我当然假设你也会求出这个极限来。怎么能是错误的呢?你会求sin x的导数是cos x。你当然会求出当Δx→0时,Δy/Δx=(sin(x+Δx)-sinx)/Δx=(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx→cosx,因为其中cosΔx→1,(sinΔx)/Δx→1。
你不说cosx是f´(x),直接写Δy=cosxΔx+φ(Δx)Δx。
φ(∆𝒙)=(sin(𝒙+Δ𝒙)-sin𝒙)/Δ𝒙-cos𝒙=(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx -cosx. 即可。此时显然可证当Δx→0时φ(∆𝒙)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。
对于函数y=e^x,既然你会求它的导数等于e^x,当然你知道也会求如下极限,当Δx→0时 Δy/Δx=(e^(x+Δx)-e^x)/Δx=(e^x)(e^Δx-1)/Δx=(e^x)(t)/ln(1+t)
=(e^x) (1/(ln(1+t)^(1/t)))→e^x。因其中令e^Δx-1=t,Δx=ln(1+t),而且
(t)/ln(1+t)=1/(ln(1+t)^(1/t)),当Δx→0时t→0,(1+t)^(1/t)→e。
所以你直接写 Δy=(e^x)Δx+φ(Δx)Δx,即可。
φ(∆𝒙)=((e^(x+Δx)-e^x)/Δx)-e^x=(e^x) (1/(ln(1+t)^(1/t)))-e^x。显然可证当Δx→0时,φ(∆𝒙)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。
对于函数y=lnx,既然你会求它的导数等于1/x,当然你知道也会求如下极限,当Δx→0时,Δy/Δx=(ln(x+Δx)-lnx)/Δ=(1/Δx)ln(1+(Δx/x))=(1/x)(x/Δx)ln(1+(Δx/x))
=(1/x)ln(1+(Δx/x))^(x/Δx)→1/x,因为其中,当Δx→0时,Δx/x→0,
(1+(Δx/x))^(x/Δx)→e。lne=1。
所以你直接写 Δy=(1/x)Δx+φ(Δx)Δx,即可。
φ(∆𝒙)=((ln(x+Δx)-lnx)/Δx)-1/x=(1/x)ln(1+(Δx/x))^(x/Δx)-(1/x)。显然可证当Δx→0时,φ(∆𝒙)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。
所以说是新华先生说错了。说什么【实际上只有整式函数可以表达成∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)形式,其它函数都不具备这样的条件,】实际上是任何函数,只要可导,只要能用极限求出当Δx→0时Δy/Δx→A,就可以表示为∆𝒚=A∆𝒙+φ(Δx)Δx的形式,其中φ(Δx)=Δy/Δx-A。可用极限证明当Δx→0时φ(Δx)→0。即φ(Δx)Δx是高级无穷小。
当然我们是在理论上讨论可能性的问题。不是为了【在求导数时就简单方便得多】。这种表示的难度同求导数的难度几乎是相同的。在理论上证明Δy/Δx→A,同在理论上证明φ(Δx)=(Δy/Δx-A)→0,实际上是一回事。
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