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Zmn-0395 薛问天：说了的话要承认，这是严重的概念混淆。师教民先生的《0393》

已有 1021 次阅读 2020-12-20 14:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0395 薛问天：说了的话要承认，这是严重的概念混淆。师教民先生的《0393》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对师教民先生《0393》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

说了的话要承认，这是严重的概念混淆。

师教民先生的《0393》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 师教民先生在《0380》中提出，又在《0393》为其辩解的观点，即认为复合函数的标记【符合】解析式型的函数定义，而且【函数 y=f (x) [x=g (y)]也是以 x=g (y)为定义域的函数．】这个观点犯了严重的概念混淆的错误。混淆了复合函数同解析式型的函数定义的区别，混淆了由f和g构成的复合函数同函数y=f(x)的区别。

(一)，既说了【符合】，也说了【也是】。

说了的话要承担，不要不认账。师先生把复合函数的标记，说成是【也是以 x=g (y)为定义域的函数】，这是错误的，但说了不认账。他狡辩说【我在我的论文 0380 的 3 里说的是〖y=f (x) [x=g (y)]符合以 x=g (y)为定义域的函数 y=f (x)的定义〗，薛问天先生在他的文章 0388 中说的是【把复合函数的标记说成是以 x=g (y)为定义域的函数 f (x)…的定义】．〖符合〗与【说成是】大相径庭，】

但是他忘了，他还说过【...例如，我在 0380 的 3 中说：〖解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．......所以，y=f (x) [x=g (y)]符合以 x=g (y)为定义域的函数 y=f (x)的定义，故函数 y=f (x) [x=g (y)]也是以 x=g (y)为定义域的函数．〗】这里明确说了【函数 y=f (x) [x=g (y)]也是以 x=g (y)为定义域的函数】。既说了【符合】，也说了【也是】。

(二)，以函数作定义域，不【符合】解析式型函数的定义。，

在函数的定义中能以一个函数作为定义域吗？师先生的这个断语【函数 y=f (x) [x=g (y)]是以 x=g (y)为定义域的函数．】之所以是错误的，首先就是它不【符合】师先生所说的【解析式型函数】的定义。师先生说【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．前边的部分是函数式；后边括号内的部分是定义域，即是函数的自变量的取值范围】。在解析式型函数的定义中，定义域是规定函数的自变量的变化范围的，是个确定的集合。而师先生的这个断言中，定义域不是自变量取值的一个集合，而是一个函数。要知道函数同数域(集合)是两种不同的数学概念，因而函数不能作为函数的定义域。

师先生辩解说【虽然x=g (y)是个函数，不是集合，但是函数 x=g (y)的值域却是集合，所以函数 x=g (y)的值域就可以是另一函数 f (x)的定义域．】【x=g (y)中的 x 正是函数 y=f (x)的自变量，x 随着g (y)中的y的取值而取得的所有值正是函数y=f (x)的自变量的取值范围．】

我们用Rg表示函数g(y)的值域，那么以x=g(y)作为定义域是否就是指的以Rg作为函数y=f(x)的定义域呢？

但是师先生对他的解释后面又不认账了。

他说:【在我的论文 0380 的 3 里说的是〖以 x=g (y)为定义域的函数 f (x)〗，薛问天先生在他的文章 0388 中说的是〖以 Rg 为定义域的函数 f (x) 〗．〖以 x=g (y)为定义域〗与〖以 Rg 为定义域〗大相径庭，...】

大家评评。白纸黑字，说过的话，可以当下不认账，这还怎么讨论。明明既说了【符合】又说了【也是】。还硬说〖符合〗与【说成是】大相径庭，】。明明刚说了【虽然x=g (y)是个函数，不是集合，但是函数 x=g (y)的值域却是集合，所以函数 x=g (y)的值域就可以是另一函数 f (x)的定义域．】马上就说【〖以 x=g (y)为定义域〗与〖以 Rg 为定义域〗大相径庭，...】

按师先生的说法，【大相径庭】就是〖以 x=g (y)为定义域〗不是〖以 Rg 为定义域〗。显然，以函数作定义域，就不【符合】解析式型函数的定义了。

(三)，复合函数f(x)[x=g(y)]不是「由解析式型函数定义的函数f(x)」。

这里一定要分得清清楚楚，不容任何混淆。

y=f(x)[x=g(y)]这是复合函数的标记，它表示的是复合函数，x是它的中间变量，不是自变量。复合函数的自变量是y。它的定义域是函数x=g(y)的定义域Dg，既不是Df，也不是Rg。它的映射，既不是f，也不是g，而是复合映射f·g。

「由解析式型函数定义的函数f(x)」是以某集合Df为定义域的函数f(x)，它的自变量是x。它的定义域是Df。它的映射不是f·g，而是映射f。

自变量不同，定义域不同，函数的映射也不同，所以「复合函数f(x)[x=g(y)]不是由解析式型函数定义的函数f(x)」。自然「复合函数f(x)[x=g(y)]也不是以函数x=g(y)为定义域的函数f(x)。」

至于师先生所举的例子。应该是两套正反函数的例子。

一套是y=f(x)=x^2 (0＜x＜+∞)，x=g(y)=√y (0＜y＜+∞)。

一套是y=f(x)=x^2 (-∞＜x＜0)，x=g(y)=-√y (0＜y＜+∞)。

这里的y=f(x)=x^2 (0＜x＜+∞)，和y=f(x)=x^2 (-∞＜x＜0)，才是「由解析式型函数定义的函数f(x)」的正确写法。而师先生写的形式y=x^2 [x=√y ]，已不是函数f(x)的解析式了，而是复合函数标记。师先生把函数的解析式同复合函数的标记混为一谈了。它们的区别是前者在括号中填写的是定义域，即一个集合，作为自变量的取值范围，即(0＜x＜+∞)。而后者填写的是个函数，是构成复合函数的第二个函数，即[x=√y ]。而表达式y=x^2 [x=√y ]，作为一个整体的符号是复合函数y=y的标记。显然y=f(x)=x^2 (0＜x＜+∞)，同y=x^2 [x=√y ]，即y=y不是一个函数。

(四)，函数y=f(x)和复合函数y=f(x)[x=g(y)]不是同一个函数。

师先生在文中说【如果函数 y=f (x)是独立的函数，其定义域不受 x=g (y)的限制，那么函数 y=f (x)和复合函数　y=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]=h (y)肯定不是同一个函数．

如果函数 y=f (x)是组成复合y=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]=h (y)的两个函数 y=f (x)和 x=g (y)中的 y=f (x)，那么函数y=f (x)和复合函数 y=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]=h (y)肯定是同一个函数，这是因为据复合函数的定义，函数 y=f (x)的自变量 x=g (y)，因此函数 y=f (x)就成为 y=f (x) [x=g (y)]而与复合函数 y=f (x) [x=g (y)]完全相同了，亦即它们就是同一个函数了．】

这个断语是错误的，因为我们知道在由f和g构成复合函数的定义中，对函数y=f(x)的定义域Df是有要求的，那就是Df⊇Rg。在由f和g构成互逆的正反函数时，对Df也有要求，即Df=Rg。也就是说作为构成复合函数之一的函数f，它的定义域Df必然是受到Df⊇Rg或Df=Rg的限制的，但它仍然是独立的函数，而且同复合函数不是同一个函数。

任何一个函数y=f(x)，无论你怎么限制和改变它的定义域，只是自变量x的变化范围进行了改变，它的自变量仍然是x，自变量是x是不会变成y。映射关系也是不会变的，仍然是f而不是f·g。而复合函数的自变是y不是x，它的定义域是y变化的范围而不是x的变化范围，同时映射关系是复合映射f·g，而不是f。自变量不同，定义域不同，函数的映射关系不同，当然不是同一个函数。所以y=f(x)和复合函数y=f(x)[x=g(y)]不是同一个函数。

(五)，最有趣的是师先生用他自己的【注】，來证明同我【达成共识】。

师先生说【关于「复合函数同 y=f (x)是同一个函数」的问题，薛问天先生和我已经达成共识！】

他说的理由竟然是·

【薛问天先生在他的文章 Zmn-0366 的(一)中说：〖函数y=f (x)的 x 是「自变量」时，才是函数 y=f (x).，在组成复合函数时，为求复合函数的映射 f×g，按复合函数的定义，才令 x=g (y).一旦令 x=g (y)，x 就已不是「自变量」了，此时的自变量是 y 不是 x，x 是复合函数的中间变量．也就是说，令 x=g (y)后，函数 [ 函数是指 y=f (x)——本文作者注 ] 己是复合函数 y=h (y)了，而不是函数 y=f (x)．〗】

大家看清楚，我明明写的是〖函数己是复合函数 y=h (y)了，而不是函数 y=f (x)．〗而师先生却以【本文作者注】的手段，说【函数是指 y=f (x)】，从而把我的话篡改成【函数 y=f (x)己是复合函数 y=h (y)了。】而对我接着明确所说的【而不是函数 y=f (x)】于不顾。没有想到师先生竟然以这种方法在光天化日之下篡改我的观点，达到和他的【共识】。

(六)，结论。

综上所述，师教民先生在《0380》中提出，又在《0393》为其辩解的观点，即认为复合函数的标记【符合】解析式型的函数定义，而且【函数 y=f (x) [x=g (y)]也是以 x=g (y)为定义域的函数．】犯了严重的概念混淆的错误。混淆了复合函数同解析式型的函数定义的区别，混淆了由f和g构成的复合函数同函数y=f(x)的区别。

解析式型函数的定义，括号内应填写的是自变量x的定义域，是个集合。师先生在括号内填写的不是集合，而是一个函数。所以说，以函数作定义域，不【符合】解析式型函数的定义。

另外，复合函数f(x)[x=g(y)]不是「由解析式型函数定义的函数f(x)」。

因为复合函数f(x)[x=g(y)]，它的自变量是y不是x，它的定义域是y的变化范围，不是中间变量x的变化范围。它的映射是f·g，而不是f。但是「由解析式型函数定义的函数f(x)」，它的自变量是x不是y，它的定义域是x的变化范围，不是变量y的变化范围。它的映射是f，而不是f·g。自变量不同，定义域不同而且函数的映射也不同，所以它们不是同一个函数，不容混淆。（全文完）

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