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Zmn-0940 樊 毅: 沈卫国哥德巴赫猜想证明的正确与错误之处
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沈卫国哥德巴赫猜想证明的正确与错误之处
樊毅
之前数森先生已经指出了沈先生的公式存在计算误差的可能,但并未指出发生误差的具体原因,正好笔者对哥猜问题做过一些研究,现在来分析一下沈先生哥猜证明的正确与错误之处。
沈先生的思路如下:
对于较大的偶数N,可以拆分为最多N/4对奇数之和,如果把至少包含一个奇合数的奇数对都筛掉,剩下的就是奇质数对。沈先生认为,最终剩下的奇质数对的数量n=N/4*1/3*3/5*5/7*7/9*...*(√N-2)/√N=√N/4。当√N>4时,n>1,因此哥猜得到证明。
首先来说沈先生的正确之处。这个方法实际类似于大家熟知的筛法,把所有小于√N的奇数的奇倍数都筛掉,确实是一种可行的方法,其原理是正确的。
再来看沈先生的错误之处。其一是一个小错误,虽不影响大局,但可以看出沈先生可能习惯于天马行空,但不注重细节,所以才导致了第二个严重的大错误。
第一个小错误是指最后的√N的准确表达应该是“不大于[√N]的最大奇数”。如果没有第二个大错误,这个小错误应该说不影响全局,最后的n=N/[√N]/4,也可能是n=N/(√N-1)/4,n仍然明显大于1。
但随之而来的第二个大错误,就是因为沈先生没有意识到向下取整的重要意义,而笔者恰好在前两年用同样的思路试图解析哥猜问题,所以注意到了这个重要问题。
现在把此问题列举如下:
奇数对的数量当然是自然数,不可能有3.5对奇数对,因此在每一步乘法之后,必须要向下取整。也即应该这样计算:
第一步:n=N/4*1/3
第二步:n=[上一步的n]*3/5
第三步:n=[上一步的n]*5/7
……
最后一步:n=[上一步的n]*(不大于[√N]的最大奇数-2)/不大于[√N]的最大奇数
简单来说,就是在计算每一步最多会筛除多少个奇数对时,我们其实无法得出准确结果,只能按照最大可能估算,因此当计算结果不是整数时,为了避免估算值偏大,我们必须向下取整,宁少不多,否则最终的值就可能偏大。
下面我们用计算机程序得到的结果来说出最终说明:
N=120
sqrt(120)=10
sqrt(120)/4=2.5
10*1/3=10
floor(10)=10
6*3/5=6
floor(6)=6
4.2857142857143*5/7=4.2857142857143
floor(4.2857142857143)=4
3.1111111111111*7/9=3.1111111111111
floor(3.1111111111111)=3
N=200
sqrt(200)=14
sqrt(200)/4=3.5
16.666666666667*1/3=16.666666666667
floor(16.666666666667)=16
9.6*3/5=9.6
floor(9.6)=9
6.4285714285714*5/7=6.4285714285714
floor(6.4285714285714)=6
4.6666666666667*7/9=4.6666666666667
floor(4.6666666666667)=4
3.2727272727273*9/11=3.2727272727273
floor(3.2727272727273)=3
2.5384615384615*11/13=2.5384615384615
floor(2.5384615384615)=2
以上我们分别计算了N=120和N=200时的结果,sqrt表示开平方,floor表示向下取整。可以看出,在N=120时,每一步使用了向下取整后,最终得到的结果是3,比√120]/4=2.5还大。但当N=200时,最终的结果是2,比√200]/4=3.5要小。因此我们无法用简单约分的方法得到最终的奇质数对的数量。
总结一下:
(1) 沈先生的筛法在原理上是正确的。
(2) 沈先生计算最终奇质数对的公式没有每一步向下取整,因此对于很多偶数,结果是偏大的。
另外顺带说一句,在使用了每一步向下取整后,沈先生的计算公式的最终结果对于真实结果其实是偏小的,因为当筛掉3的奇倍数时,9的奇倍数已经被删除,也即他过多的计算了应该筛掉的奇数对的数量。
笔者前两年计算时使用的公式则除了每一步向下取整,而且每一步并不是用所有小于√N的奇数,而是只需要使用奇质数就可以了,这样就可以确保数值是更精确的。
第一步:n=N/4*1/3
第二步:n=[上一步的n]*3/5
第三步:n=[上一步的n]*5/7
第三步:n=[上一步的n]*7/11
……
最后一步:n=[上一步的n]*(不大于[√N]的第二大奇质数)/不大于[√N]的最大奇质数
这样的结果比改进后的沈先生的方法的最终结果要大,因为少乘了许多小于1的数:7/9、13/15……但是仍然无法证明最终结果必然大于1。
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