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Zmn-0408 薛问天:解析式型的函数定义不能以函数作为定义域。

已有 935 次阅读 2021-1-7 08:35 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0408 薛问天:解析式型的函数定义不能以函数作为定义域。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生《0404》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

解析式型的函数定义

不能以函数作为定义域。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg解析式型的函数定义不能以函数作为定义域。不能把复合函数y=f(x)[x=g(y)]看作是以函数x=g(y)作为定义域的解析式型定义的函数。

 (1),承认了就好。这两点正是我所要批评的错误内容。

师教民先生在《0404 》中承认【我说过的〖y=f (x) [x=g (y)]符合以 x=g (y)为定义域的函数 y=f (x)的定义〗和〖函数 y=f (x) [x=g (y)] 也是以 x=g (y)为定义域的函数〗我都是认账的.】承认了就好。师教民先生说的这两点正是我所要指出的他的错误。1),用函数x=g(y)作为定义域,不符合解析式型函数的定义。2),任何用解析式型定义的函数y=f(x),都不是复合函数y=f(x)[x=g(y)]。 其实这两点我在上次《0395》已经说过了。不妨再解释解释。

 

(2),用函数x=g(y)作为定义域,不符合解析式型函数的定义。

按照师先生的说法,【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分.前边的部分是函数式;后边括号内的部分是定义域,即是函数的自变量的取值范围】。在解析式型函数的定义中,定义域是规定函数的自变量的变化范围的,是个确定的集合。而师先生的这个【以 x=g (y) 为定义域】的定义中,定义域不是自变量取值的一个集合,而是一个函数。要知道函数同数域(集合)是两种不同的数学概念,因而函数不能作为函数的定义域。

师先生辩解说【虽然x=g (y)是个函数,不是集合,但是函数 x=g (y)的值域却是集合,所以函数 x=g (y)的值域就可以是另一函数 f (x)的定义域.】【x=g (y)中的 x 正是函数 y=f (x)的自变量,x 随着g (y)中的y的取值而取得的所有值正是函数y=f (x)的自变量的取值范围.

如果师先生指的定义域是函数g(y)的值域,那么就应该说「以x=g(y)的值域Rg作为定义域」,把函数写成y=f(x)(x∈Rg)才对,而不能说【以 x=g (y) 为定义域】,把函数写成【y=f(x)[x=g(y)]】。因为函数x=g(y)和它的值域是截然不同的两个概念。在这点上我倒是同意师先生说的如下这句话:

〖以 x=g (y) 为定义域〗与〖以 Rg为定义域〗大相径庭】.师先生心知肚明,他说的〖以 x=g (y) 为定义域〗并不是指的〖以 Rg为定义域〗。他是在这里有意混淆函数同函数的值域的区别,是为了混淆复合函数h同函数f的区别。师先生,你能否确切地回答,在解析式型函数的定义的定义域中填上个函数x=g(y),你认为是符合还是不符合解析式型函数的定义,如果符合,它的定义域倒底是什么?如果是Rg,又为什么不能说是〖以 Rg为定义域〗,非要说是〖以 x=g (y) 为定义域〗?

师先生你回答不了这个问题,因为你把用解析式型定义函数f(x)同由f和g定义复合函数这两个不同的概念混淆了。复合函数并不是用解析式型的方式,〖以 x=g (y) 为定义域〗來定义函数f(x),而复合函数的复合映射f·g,是对任何y的值,先令x=g(y)求出x,再令y=f(x)求出y。即第一步令x=g(y),第二步令y=f(x)。这里的令x=g(y)是求复合函数的第一步,並不是用解析式型定义函数y=f(x)的定义域。师教民先生把复合函数同解析式型函数的定义混为一谈。犯了严重的概念混淆错误。

 

(3),任何用解析式型定义的函数y=f(x),都不是复合函数y=f(x)[x=g(y)]。

我在《0395》己说清楚〖y=f (x) [x=g (y)] ,表示的是复合函数,x 是它的中间变量,不是自变量.复合函数的自变量是 y.它的定义域是函数 x=g (y)的定义域 Dg,既不是 Df,也不是 Rg.它的映射,既不是 f,也不是 g,而是复合映射 f×g.〗

〖任何「由解析式型函数定义的函数 f (x)」都是以某集合 Df为定义域的函数 f (x),它的自变量是 x.它的定义域是 Df.它的映射不是 f×g,而是映射 f.〗

〖自变量不同,定义域不同,函数的映射也不同,所以「复合函数 y=f (x) [x=g (y)]0395不是由解析式型函数定义的函数 f (x)」.自然「复合函数 y=f (x) [x=g (y)]也不是以函数 x=g (y)为定义域的函数 f (x).」〗

师先生反驳不了我说的理由,只能说是【在表面上看来也不算错.】

可笑的是师先生说【后边的函数 f (x)根本就没有定义域,所以它与前边的复合函数 y=f (x) [x=g (y)]就没法比较是否同一个函数,所以就无法断定函数 f (x)与前边的复合函数 y=f (x) [x=g (y)]是否同一个函数了.

不知师先生怎么能说【函数 f (x)根本就没有定义域】?明明用解析式型定义函数专门有个地方要填写定义域,怎么能【没有定义域】。在你的定义中不是解释说【函数 x=g (y)的值域就可以是另一函数 f (x)的定义域】吗?怎么不能比较?复合函教的定义域是Dg,就是函数x=g(y)的定义域。而你用解析式型定义的f(x)的定义域Df=Rg,是函数x=g(y)的值域,一般说來它们能相同吗?当然不相同!

师先生用下面这段话來反驳:【复合函数 y=f (x) [x=g (y)]的中间变量 x 既是组成该复合函数的函数 y=f (x)的自变量,又是组成该复合函数的函数 x=g (y)的因变量.关于这一点,薛问天先生并不知道!】我当然知道。问题是这个事实并反驳不了我说的〖复合函数,x ...不是自变量.复合函数的自变量是 y〗,和〖由解析式型函数定义的函数 f (x)...它的自变量是 x.〗因而反驳不了我说的「自变量不同」这个重要的事实。

师先生驳不了〖自变量不同,定义域不同,函数的映射也不同〗自然是不同的函数的理由。突然话音一转,说【事实上,薛问天先生和我讨论的核心问题并不是【复合函数 y=f (x)[x=g (y)]是否「由解析式型函数定义的函数 f (x)」】的问题,而是“复合函数 y=f (x)[x=g (y)]是否「由解析式型函数定义的、组成复合函数 y=f (x)[x=g (y)]的函数 f (x)」”的问题.

其实这是一样的。师先生所说的【由解析式型函数定义的函数 f (x)」】就是【组成复合函数 y=f (x)[x=g (y)]的函数 y=f (x),】复合函数同前者是否同一个函数,与同后者是否同一个函数是一回事。

师教民先生说【根据合函数的定义知,函数 f (x)即函数 y=f (x)中的 x=g (y),因此函数 f (x)即函数 y=f (x)就变成 y=f (x) [x=g (y)]了,因而就和复合函数 y=f (x)[x=g (y)]完全相同、而是同一个函数了.】这段话是错误的。因为在复合函数的构成过程中,令函数y=f(x)中的x=g(y),并不是用改变函数y=f(x)的定义域的方法,使【函数 y=f (x)就变成】复合函数了。而是在复合函数的构成过程中,令函数y=f(x)中的x=g(y),使【函数 y=f (x)和函数x=g(y)共同构成了】复合函数。注意这里的复合函数不是【由y=f(x)改变定义域后变成的】,而是【由函数y=f(x)和函数x=g(y),按复合函数的合成方法,共同构成的】。这两种表述完全不同。必须分清哪个是错误的哪个是正确的。

另外,师先生把我们的分歧看成是从不同角度观察的不同表面现象,这种看法也是错误的。

师先生说【从复合数 y=h (y)的角度观察,h 是函数关系,y 是自变量,y 的取值范围是定义域;从复合函数 y=f (x) [x=g (y)]的角度观察,f 是函数关系,x 是自变量,x 随着 g (y)里的 y 的取值而取的值的范围是定义域.虽然从 y=h (y)的角度观察和从 y=f (x) [x=g (y)]的角度观察得到的表面现象很不一样,但这两种观察的结果本质上都是复合函数 y=f [g (y)]

y=h (y)和y=f (x) [x=g (y)]标记的是同一个复合函数,无论怎么看,现象和本质都是统一的。复合函数的自变量只能是y而不能是x,函数关系(映射)只能是f·g,而不能是f。复合函数的定义域只能是自变量y的变化范围Dg,而不能是中间变量ⅹ的变化范围Df=Rg。师先生所说的【从复合函数 y=f (x) [x=g (y)]的角度观察,f 是函数关系,x 是自变量,x 随着 g (y)里的 y 的取值而取的值的范围是定义域.】是错误的,不符合事实,同一个函数怎么会有不同的函数关系,不同的自变量,和不同的定义域。

现在谈谈关于例子的问题。师先生直到现在竟然还没有理解,我之所以将他举的正反函数· y=f(x)=x^2 (-∞<x<+∞),x=g(y)=±√y(0≤y<+∞),改成了两套正反函数。一套是y=f(x)=x^2 (0<x<+∞),x=g(y)=√y(0<y<+∞)。一套是y=f(x)=x^2 (-∞<x<0),x=g(y)=-√y(0<y<+∞)。

是因为他的反函数x=g(y)=±√y(0≤y<+∞)。不是单值函数,同一个自变量y的值有两个y的函数值与其对应,不符合正反函数都必须是单值函数的条件。根本构不成正反函数。而我举的这两套函数都符合正反函数的条件。

至于师先生质疑我说的〖显然y=f(x)=x^2 (0<x<+∞),同y=x^2 [x=√y ],即y=y不是一个函数。〗而说【根据正反函数的定义,您上述的正反函数中的正函数 y=f (x) =x^2中的 x 就一定等于 g (y) =√y。 这就一定有.y=f(x)=x^2 =(√y)^2 =y...这就把薛问天先生上述的正函数y=f(x)=x^2 (0<x<+∞),变成一个新的函数 y=y(0<y<+∞)了,因此这个新的函数y=y(0<y<+∞)与 y=f(x)=x^2 (0<x<+∞),就是同一个函数了.

师先生的上述推论的错误在于,正反函数是两个单独的函数,并不要求【正函数 y=f (x) =x^2中的 x 就一定等于 g (y) =√y。】只是在构造正反函数的复合函数(即师先生在这里所说的新函数)时,才令f(x)中的x=g(y)。而且构造的这个复合函数并不是【由正函数f(x)变成的】,而是【由正反两个函数共同复合构造而成的】。这个复合函数显然同正函数不是一个函数。难道师先生真的看不出來【函数y=y(0<y<+∞)与 y=f(x)=x^2 (0<x<+∞),就是同一个函数了.】是一个错误的论断吗?真的看不出來这个错误产生于要求【正函数 y=f (x) =x^2中的 x 就一定等于 g (y) =√y】吗?

 

(4),函数 f的定义域 Df受到 Df ⊇Rg或 Df=Rg的限制,但它仍然是独立的函数。

师教民先生质问说【薛问天先生在前边刚说了“定义域 Df 受到了限制就不是独立的函数”了,接着就又说“定义域 Df 受到了限制就仍然是独立的函数”,这不就矛盾了吗?

开始我还有些纳闷,我说过“定义域 Df 受到了限制就不是独立的函数”这样的话吗?查了一下,我根本就没有说过这样的话。这是师先生对我的话的误解,是他自己根据他的错误理解说的话。查了一下,原來师先生引用了我说的话〖作为一个独立的函数「函数 y=f (x)的自变量 x,可以在其定义域中任意取值,不要求 x=g (y).也不要求 x≠g (y).」这就是说,【不要求 x=g (y)】是独立函数的标准,〗没错,这是我说的。

然后师先生把我的这段话作了如下的理解和解释。【故要求了 x=g (y) 以后,即要求了定义域 Df 受到限制后,函数 y=f (x)就不是独立的函数了.】

大家看出了其中的问题了吗。原來他把我说的函数不独立的标准「要求x=g(y)」偷换成「要求定义域 Df 受到限制」了。这当然是有原则的区别的。「要求定义域 Df 受到限制」,这是构成复合函数和正反函数对其中的函数f的定义域的要求,复合函数要求Df⊇Rg,对于正反函数要求Df=Rg。有了这些限制,函数f(x)仍然是独立函数。因为自变量x可以在它的定义域Df中任意取值,并没有要求函数y=f(x)一定要令x=g(y)。只是在构造复合函数时,作为一种构造复合映射的步骡,第一步对给定的自变量y的值,令x=g(y)。第二步再令y=f(x),最后求出复合函数因变量的值。也就是说在复合函数构造中,一旦令f(x)中的x=g(y),则f和g就都不是独立的函数了,它们合起來共同构成了复合函数。也就是说,仅对函数定义域有一定的限制要求,没有要求x=g(y),则仍然是独立的函数。

综上所述,原來师先生所说的矛盾并不是我的论点之间的矛盾,而是我的论点「定义域 Df 受到了限制,仍然是独立的函数」,同师教民先生的错误推断「定义域 Df 受到了限制就不是独立的函数」的矛盾。

师教民先生为了反驳我说的〖任何一个函数 y=f (x),无论你怎么限制和改变它的定义域,只是自变量 x 的变化范围进行了改变,它的自变量仍然是 x,自变量是 x 是不会变成 y.映射关系也是不会变的,仍然是 f 而不是f·g.而复合函数的自变是 y 不是 x,它的定义域是 y 变化的范围而不是 x 的变化范围,同时映射关系是复合映射 f·g,而不是 f。

师先生说【按照函数的定义,函数式相同、定义域不同的函数也非同一个函数!所以,对于【任何一个函数 y=f (x)】,【限制】或【改变它的定义域】后而变成的另一个函数,“自变量可以不再是 x 而会变成 y”,“映射关系也是会变的,即也可以由是 f 变成是 f·g,从而变成复合函数 y=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]=h (y).”

我真的没想到师教民先生竟然唐而皇之地把这样不合逻辑的话能白纸黑字地写在自己的文章里。前面明明写着尽管函数非同一函数,但它们的【函数式相同】。师先生真的不知道什么是函数式相同吗?函数式如果是y=f(x),那它们的自变量就是x,而不会是y。它的映射关系是f,而不会是f·g。如果函数式是y=x^2,无论定义域是什么,它都是自变量x的变化范围,自变量始终是x而不会变成y。它的映射关系也只能是y=x^2,而不能是y=y。

而师先生把例子写成y=x^2(0<x<+∞且x=√y),本身就是错误的,把一个函数x=√y填写在定义域的地方,就不符合解析式型函数定义的要求。令x=√y,这是复合函数的写法。师先生生在这里把函数f的定义同由f和g构成复合函数这两个不同的概念混淆了。

 

(5),函数就是由f和g一起共同构成的的复合函数

针对我说的这句话〖函数 y=f (x) 的 x 是「自变量」时,才是函数 y=f (x).在组成复合函数时,为求复合函数的映射f·g,按复合函数的定义,才令 x=g (y).一旦令 x=g (y),x 就已不是 「自变量」 了,此时的自变量是 y 不是 x, x 是复合函数的中间变量.也就是说,令 x=g (y) 后,函数 [师先生在引用时在这里加了本文作者注--函数是指 y=f (x)] 己是复合函数 y=h (y)了,而不是函数 y=f (x)

1),师先生问【您说的「函数己是复合函数 y=h (y)了」里的「己是复合函数 y=h (y)了」的【函数】是谁(即哪个函数)呢?

我的答案很明确,这个函数就是用「令函数y=f(x)中的自变量x=g(y)」的方法而构成的函数,即对任意给定自变量y的值,第一步求x=g(y),第二步求y=f(x)。这样定义的函数就是由f和g一起共同构成的的复合函数。

2),师先生问【您说的谁(即哪个函数)是〔组成复合函数〕的函数呢?您说的〔才令 x=g (y)〕里的 x 是谁(即哪个函数)的什么变量呢?

这里说得很明确,在构成复合函数中,是由f和g两个函数一起共同构成复合函数的。在第二步,用第一步求出的结果x=g(y),再用函数y=f(x)求出最终结果。当然这第二步中的函数是f,自变量是x。

3),针对我说的〖一旦令 x=g (y),x 就已不是「自变量」了,此时的自变量是 y 不是 x,x 是复合函数的中间变量.

师先生问【请问薛问天先生,您在上述这一段中说的 x 由谁(即哪个函数)的「自变量」就变成〔已不是「自变量」了〕?非此时的自变量是 x 吗?它是谁(即哪个函数)的自变量?

这也是相当清楚的,在没有要求「令f(x)的自变量x=g(y)」的情况下,函数f(x)的自变量是x。既使在此命令的表述和推论中,函数f(x)的自变量都始终是x。不过一旦令f(x)的自变量x=g(y),由f和g构成了复合函数,此时x并不是所构成的复合函数的自变量,此时的复合函数的自变量是 y 不是 x,x 是复合函数的中间变量。因而复合函数绝对不可能同f(x)是同一函数。

另外师先生说复合函数的自变量是函数f(x)的自变量【变成的】,这样表述的用词不妥。因为复合函数并不是由函数f(x)【变成的】,而是由f和g两个函数一起共同构成的。函数f函数g和复合函数这是三个不同的函数,各有各的因变量自变量定义域值域和函数关系,谁都不会改变。

4),师先生问【请问薛问天先生,您说的「己是复合函数 y=h (y)了」的「函数」是谁(即哪个函数)呢?

这个问题同1)一样,我已经回答过了。

可见,令f(x)中的自变量 x=g (y) 后,函数指的是由f和g两个函数一起共同构成的复合函数,不是师先生所注的f(x).

其实讨论來讨论去,怎么表述并不重要,实质上就是要明确回答一个问题,由f和g构造的复合函数是不是同其中的f是同一个函数。我的回答很明确· 不是同一个函数。现在请问师先生,你是否现在还坚持认为,复合函数和构成它的函数之一f是同一个函数?

 

M6,7),问题要一个个解决,不要长篇大作。什么都想解决,结果什么都解决不了,抓核心抓重点。可否先把这两个问题讨论清楚。(1),用函数x=g(y)作为定义域,符合不符合解析式型函数的定义。(2),是否认同任何用解析式型定义的函数y=f(x),都不是复合函数y=f(x)[x=g(y)]。

 

(全文完)



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