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Zmn-0928 薛问天: 逻辑荒谬思维混乱，评沈卫国先生的错误文章《0927》。
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Zmn-0928 薛问天: 逻辑荒谬思维混乱，评沈卫国先生的错误文章《0927》。
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生的《Zmn-0927》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
逻辑荒谬思维混乱，
评沈卫国先生的错误文章《0927》。
薛问天
沈卫国先生的文章以逻辑荒谬思维混乱称著。这次尤为显著。康托尔定理的证明用的是反证法，只要证明推出矛盾，定理即可得证。而沈卫国先生长篇累牍地评论说康托没有真正证明实数不可数。这完全是对康托定理证明的误读。
特别是最后沈卫国先生竟说他给出了实数可数的最新证明。可笑的是沈先生竟然把反证法的假定当作是他所求证的不可相违的命题。这恐怕是我遇到的最不值得批驳的，可笑的最低级最差的错误！
现对沈卫国先生文章《0972》的错误，分述如下。
一，对一一对应和非一一对应理解的错误。
集合可数的定义是集合同自然数集合一一对应。关于集合A和集合B是一一对应的定义是〖在集合A同集合B间存在映射是双射，则称A和B一一对应。〗从而非一一对应的定义是〖在集合A同集合B间，所有的映射都不是双射，则称A和B非一一对应。〗因而沈卫国先生所论述的【即使还有无穷种对应方式，使得该集合的元素不能与自然数一一对应，也无所谓。】的概念是混乱的。不能把存在映射【不是双射】同【非一一对应】混为一谈，存在映射不是双射不等于就是非一一对应。不能说这是不能一一对应。一一对应是存在映射是双射。不能一一对应则要求是所有的映射都不是双射。只能说〖即使还有无穷种映射，使得该集合的元素不能与自然数形成双射，也无所谓。只要存在有映射是双射，就同自然数一一对应，就是可数。〗不能说【即使还有无穷种对应方式，使得该集合的元素不能与自然数一一对应，也无所谓。】这是不对的。不能把存在映射【不是双射】说成是【不能一一对应】，
二，沈卫国先生对康托尔定理证明的批评，是基于对定理证明的错误理解。
我们知道，康托尔定理的证明用的是反证法。先是假设了单位区间中的实数可数。即能够把整个实数都排成一列，也就是每一个实数都包括在了这个序列之中了。然后在此假定下′推出矛盾，根据这个矛盾推翻了这个反证法的假定，从而证明了实数不可数。
就是说，康托尔定理证明的核心是在反证法的假定下推出矛盾。即一方面推出【每一个实数都包括在了这个序列之中了】，一方面构造实数b，推出【存在实数b不包括在序列之中】。就是推出的这个矛盾，推翻了反证法的假定。康托尔定理的证明就是在证明存在这个矛盾，根本就不是在直接证明实数不可数。而沈卫国先生理解错误，化了很多文字来说明康托尔并没证明实数不可数。沈说【该实数绝对不会再出现在这张实数表中。但这并不意味着通常以为的实数集合就不可数了，】要知道康托尔定理用b不在数列中出现是在证明存在矛盾，根本就不是用此来证明实数集合不可数。
沈卫国在他的论述中说【康托对角线法依赖于一个特殊的对应方式，而在此对应方式下，表中所列出的，只能是一个实数集合的真子集，而不可能是全部实数。而所谓“在此对应方式下”，就说明这里“不能列出全部实数”的，并非就是实数不可数。实数不可数，必须在任何（有无穷种）对应方式下都不能与自然数一一对应，而不是某一个具体的（意味着可以明确被指明的）对应方式下，实数不能与自然数一一对应。】
沈卫国先生认为康托尔所证明的实数不可数是对【所谓“在此对应方式下”】进行的，而要证明实数不可数【必须在任何（有无穷种）对应方式下都不能与自然数一一对应】。
沈卫国先生还说【注意，可数的定义中，可没有“与小数的多值的位数一一对应才叫可数、否则不可数”这一条。因此当然地，按这个假设、前提得到的结果，也不能叫不可数。】
这完全是对康托尔证明的误解。我前面说了康托尔的证明是在证明存在矛盾。根本就没有直接证明实数不可数。沈所评论的证明完全是他对康托尔证明的误解。
另外，沈卫国先生还说康托尔在证明中引入了新的假定，他的这个说法也是错误的。他说【其实无意中引入了一个新的、否定了原先假设中的“无任何其它条件”的条件，建立了一个具体的、特殊的对应方式：所列实数与其每位多值的小数位数一一对应。这个东西，必须作为整个对角线法证明的前提引入其假设中。如此，等于改变了对角线法的原先的假设，把“无条件”隐性地、不知不觉之间地改成了“有条件”。】
这种说法是完全错误的。康托尔证明推出矛盾只是根据反证法的假定，实数集合可数，与自然数一一对应。排成一个数列。数列中的任何实数an都有它的第n位数ann的存在。从而用逐位求异所得到的实数b就可证明它不包含在数列之中。从而得出矛盾。这里根本不需要也没有【隐性地、不知不觉之间地】引任何新的假定。沈卫国所说的完全是他的主观臆想和虚构。
三，我们知道，多进制无穷小数的位数(自然数)，“小于”这个多进制数的全体小数这个事实，不是自明的，需要证明。
康托尔定理本身就是在证明这个事实，实数不可数。多进制无穷小数的位数(自然数)，同这个多进制数的全体小数集合(实数集合)不能一一对应。不是自明的，不是【由多进制下的位数的功用所决定的。】问【否则还要多进制干嘛？】这些都决定不了。它们的非一一对应必须严格证明。因而表达多进制下的位数的自然数与一般意义的自然数都是自然数，并无什么区别。
四，正确认识康托尔证明的思路。
沈卫国先生的这一段充分说明他对康托尔定理证明的误解。
.1，有穷小数的结果不能不加证明的直接推广到无穷小数，要通过证明。
n位2进制有穷小数的个数是2n，显然2n>n。n位10进制有穷小数的个数是10n，显然10n>n。由此你能说不用证明，自然就延伸出无穷小数集合(即单位区间中的实数集合)的基数大于无穷小数的位数的基数(无穷可数)吗？显然不可以。康托尔定理本身就是在证明实教集合的基数不可数，要通过严格地证明。因而沈先生所说的【这个结论，无论对有限位还是无限位都是成立的。因为康托对角线法所依赖的原则，也同样是把有限时的结论推广到无限。无此，就没有什么对角线法。】是完全错误的。不能不加证明的地【把有限时的结论推广到无限。】
2，沈卫国先生不懂反证法推出矛盾，就可推翻反证法的假定使命题得证。
沈先生认识到康托尔定理推出矛盾，但他说【这等于是说，实数可以以某种方式与自然数一一对应（可数），当且仅当实数在某具体对应方式下不能与自然数一一对应”，这当然是自相矛盾的。注意，这个矛盾是隐藏在康托对角线法的证明假设与过程之中的，而不是其证明的结果，因此整个证明无效。其结论是错的。】
沈先生不懂得反证法推出矛盾，定理即已得证，却说【证明无效】。
3，康托尔的证明用的是反证法，核心是推出矛盾即可使定理得证，根本就没有在直接证明实数集合不可数。
但沈卫国却在评论说【实数不能与自然数（此时体现为每位多值的位数）一一对应，并不就是不可数。不可数要求所有的无穷种对应方式下都不能与自然数一一对应才行。】
【康托对角线法究竟证明实数不可数（在任何对应方式下都不能与自然数一一对应）没有？当然没有。】
用反证法只需要推出矛盾即可使定理得证。根本不需要去证明实数不可数。而沈先生评论说康托尔没有证明实数不可数，这完全是对定理证明的误解和无理要求。
4，另外，沈卫国先生还认为在证明中另有隐含假定。他说【康托对角线法的“证明结论”，是包含在其隐含假设之中的，......康托本人以及后世不少人，是没有看出这个“隐含的假设”（证明的前提条件），因此误认为其结论是证明出来的，这在逻辑上的错误是是因果倒置、循环论证。】
他的这些说法完全是他的主观臆想，毫无事实根据。
五，沈卫国先生对反证法的错误认识。
沈先生错误地认为【反证法并不是那么靠得住】。这是对反证法相当错误的认识。反证法当然是靠得住的，正确的逻辑证明方法，并为广大业界所公识，所采用。
当然，如沈先生所说，如果在反证法证明中，【证明过程中无意中引入了隐含的其它假设，致使整个反证法的证明失效。】但这是反证法的证明所禁止使用的情况。是反证法错误的使用。正确地使用反证法时，不允许隐含其它假设。这样正确地使用反证法的证明，是绝对可靠的，不存在任何【并不是那么靠得住】的地方。“x≤2”的否定，当然就是“x＞2”。那种说“我没吃饭”也是“x≤2”的否定，的这种隐含的错误假定是很容易被人发现不被使用。
康托尔定理的证明使用的反证法，没有任何隐含假定，证明完全正确。那种认为证明中有隐含假定的说法完全是故弄玄虚，任凭主观臆想的揑造，毫无根据。
康托尔的幂集的基数大于原集基数的定理，可以㸔作是比实数不可数定理更广泛的定理。涉及到更高级的不可数基数。证明中用到类似对角线但已不是对角线的证明方法。
沈卫国先生认识的局限性【康托定理的证明，到头来还是基于可数集的，它的结论起码不能推广到任何不可数集。】需要进一步的思想开放。
沈卫国先生说【我们其实也只能与可数无穷趋比较，不可能真的在两个不可数无穷间来比较大小。】
这是对无穷基数的错误认识，不可数的无穷基数还有很多很多，它们之间当然还可以比较大小。
六，数学中严格定义的基数，看来是反映无穷集合【元素个数】这个人们想严格定义的模糊概念最理想的数学概念。但是很多人想定义一种【元素个数】，使无穷集合的【元素个数】大于它的所有真子集的【元素个数】。这样的企图都失败了。不可能对所有的集合定义这样的【元素个数】的严格数学概念。要知道基数不满足这个条件，即无穷集合的基数并不完全大于它真子集合的基数。
沈卫国先生说【怎么可能一个集合与其真子集的元素一样多？所以，这个概念是不准确的。】
这只是沈先生的空想而已。不可能真正地建立准确的严格的数学概念使集合的【元素个数】大于真子集。这已是大家公认的事实。
另外，沈卫国先生否认康托尔定理证明的实数不可数这个事实。实数的基数是连续统，它大于自然数的可数无穷多的基数。显然直观地说实数的个数比自然数的个数要多很多很多。但沈先生不承认这个事实，认为是不协调的。他说【理论实际上是不协调的，不一致的。实际上，只有认识到康托对角线法证明实数与自然数不同基（不可数）是错的，才可以使理论消除上述不协调、不一致性成为可能。】显然沈先生的观点是完全错误的。
七，沈先生所证明的实数可数，显然是严重错误。具体如下。
1，我们看沈先生的叙述【......显然，这个数我们只能通过康托对角线法的逐位求异来得到。或其与康托对角线法得到的那个实数是同一个实数。但我们前面已经说了，这不可能，因为在此表中，实数的每一位的状态是不能再变的，因此“逐位求异”操作在“全部实数都已经在此表中”的假设相违，不再被允许使用，因此，在此表中必然没有丢失任何实数，因此，此表是一张完备的实数表，也就是实数可数。得证。】
可笑的是沈先生竟然把反证法的假定当作是他所求证的不可相违的命题。因为是不能同【“全部实数都已经在此表中”的假设相违，】【因此，此表是一张完备的实数表，也就是实数可数。得证。】把反证法的假定当作是不能相违的得证的命题。使实数可数得证。这恐怕是我遇到的最不值得批驳的可笑的最低级最差的错误！
2，沈卫国先生歪曲了康托尔的证明，他说【......既然我们已经假设了此表包含了全部实数，就不应该再直接改动此表本身以获得不在表中的那个实数。一句话，此表不能再动，有本事请到表外去找不在表中的那个实数去。既然此表不能动了，其每位就不能再改变状态，也就是每位是固定不变的了，如此，康托对角线法还能用否？即：在全部实数都在此表中的假设下，康托对角线法直接不可用、不能再用、不允许再用。】
康托尔对实数b的构造，是使b的第n位bn不同于表中的第n个实数的第n位ann，并没有改动原表，不是【直接改动此表本身以获得不在表中的那个实数。】此实数的构造和获得并不需要【改动此表】，此表根本未动，并未使表【改变状态】。所以藉此说明不能构造实数b，是完全错误的。实数b就是在此表之外构造的，证明存在这样的实数不在表中。从而推出B【全部实数在表中】，同乛B【存在实数b不在表中】的矛盾，使定理得证。
3，这就是沈卫国先生荒谬的逻辑，他说【既然不可能证明在“无遗漏”的假设下可以证明“有遗漏”，就等于证明了在“无遗漏”的假设下只能得到（其实也是被证明了）无遗漏。也就是所谓“可数”。】
也就是说，沈卫国的逻辑是既然康托尔证明不了实数不可数，那么沈卫国先生就证明了实数可数。【既然实数不可数没有也不可能被证明，那就是这个“实数不可数”的结论不存在，这就等于反证了“实数可数”的结论。】
要知道这个荒谬的逻辑根本就是错的。康托尔用反证法证明了实数不可数。而沈卫国先生宣布证明的实数可数更是错加错。
4，沈卫国先生说【欲从A证明┓A，但却发现这里只有┓A才可以证明┓A，A证明不了┓A，于是等于证明了A只有证明A。此处的A为“无遗漏”解，而┓A为“有遗漏”解。也可以表示为欲有A → ┓A，但发现只能有┓A → ┓A，不能A → ┓A，于是等于证明了只有A → A。】
这根本是错误的，在康托尔定理的反证法证明中，用反证法是假定A(实数可数)。根本不是用A去推乛A。而是在此假定A下推出B(全体实数都在列表中)。同时构造实数b证明b不等于全部列表实数。从而证明乛B(存在实数b不在列表中)。由A→(B∧乛B)，即A推出矛盾。证明乛A为真。定理得证，即实数不可数。沈卫国根本把反证法就没有学懂。
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