注：纠正了一处链接。

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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。

提示：收信人满员，下回分组投放邮件。|| 新闻+ || 符号大全、上下标.

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如何理解一切数学？

(接上回Φ) 第三段（逐句评论）：

Since ti pulls back to αi, the zero divisor of ti pulls back to the zero divisor of αi, that is, π*Hi = Ri. 

评论： “pulls back” 指某种映射，之前拿不准箭头方向。翻到 Sect.4 最后一句 “...hence Rs and R|s both pull back to Rs'...” 可以判断，箭头远离 “pull back to” 之后的对象。

---- 由此可知： αi --> ti  （之前弄反了）

---- αi, ti 称作 “global sections”, 各带有 “zero divisor”.

---- 分别为 Ri 和 Hi （Ri 是既有的，Hi 是另设的）.

---- 于是有：Ri --> Hi.

---- 其中，映射是之前构造的 π. (不是指圆周率).

---- π: Ri --> Hi.

---- 换句话说，Hi 是通过映射 π 产生的.

---- 或许，这就是为何要用 π*Hi = Ri 表达Hi.

---- 该表达有”方程“的意味.

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Thus π(Ri) = Hi which in turn gives π(Si) = Hi. 

---- 后一个式子可能与 Ri 的构造有关：

---- Ri = Di + Si.

---- 看上去 π 是个线性映射，并且 π(Di) = 0.(待考)

（原作没有说，大概是平凡的知识）

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Moreover, since z:= (1:0:...:0) = ∩Hi, we get π⁻¹{z} = ∩π⁻¹Hi = ∩Ri which shows π(x) = z as x∈∩Si ⊆ ∩Ri. 

---- d 个 Hi 的交集是一个单位点，定义为 z .

---- 两边取映射 π⁻¹，其中用到 π⁻¹Hi=Ri.

---- 之前只提到π surjective, 而 Ri 和 Si 都映到 Hi.

---- 这可能是原作使用包含关系而没使用 π⁻¹Hi=Si 的理由所在.

(疑问：π* 和 π⁻¹的区别是什么？).

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小结：第三段证明了 “约束1” 和 “约束2”.

---- 命题中的条件 “x∈∩Si” 提示考虑集合关系.

---- ∩Hi 体现出 “normalisation”的意味.

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图解：Hi 是本段的核心关键。

αi  -->  ti 

  |           |

Ri --> Hi.

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本段的证明概括为“核” (关乎 z 及其核). 

Leonhard Euler  Carl Friedrich Gauss  Grothendieck   

Glossary (AG) 

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第一轮读写链接（按目录顺序）

Abstract 8/4

Introduction

  Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5

  Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6

  Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7

  Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8

  Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9

  Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9

  Jordan property of Cremona groups 8/10

  Lc thresholds of lR-linear systems   8/11

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1)  8/12

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2)  8/13

  Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree  8/14

  Complements near a divisor  8/15

....

....

.Proposition 5.2 11/9