[按：下文是邮件笔记的内容，略有修订，原标题"ψ是怎么来的？"。]

前段时间从第四部分开始学习，逐步往前回溯...

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备忘：p.27, (2.47) 后附的 “h(n) = 2^-1/2∫dxφ(x/2)φ(x – n).”

备忘：p.27, (2.48) 后附的 “g(n) = 2^-1/2∫dxψ(x/2)φ(x – n).”

问题：ψ是怎么来的？

    原著的大意是：绕开多分辨分析，直接拿出 Mallat 算法工作的条件( h 和 g 满足的条件)，并机缘巧合地刻画出全套的紧支撑正交小波。第四部分是主创 (原著的真正入口)，第三部分是绕开多分辨分析 (含主定理)，第二部分是多分辨分析的综述。在回溯到第三部分时，忽然想知道 h 和 g 的来源，于是在 p.27页找到两个式子，如上 (粘贴自笔记)。

    回答问题 —— ψ是由φ定义出来的，而φ 是多分辨分析自带的函数。

    "多分辨分析" 被视作小波分析"数学化"的标志，简单讲，就是将小波分析浓缩为 —— 集合与映射。从名称上来说，"多分辨分析" 会给人造成一种误解，让人以为是一套理论，而实际上只是一个定义而已，作为小波分析的理论起点。此定义是 “事后” 归纳出来的，而不是一开始就有的。好比 “拓扑”、“流形”、“概率”、“群”、“同态”等，这些都是事后归纳出来的，从集合与/或映射的角度加以定义，从而明确地规定这些数学概念。

    多分辨分析的定义由 L^2 空间及有关映射的若干条目组成。L^2 空间嘛，无非是平方可积函数的集合。正如每个数学定义都有自己的特色，多分辨分析的特色之一是考虑一串嵌套的子空间(p.7)：

 ...⊂ V₂ ⊂V₁ ⊂ V₀ ⊂ V_-1 ⊂ V_-2 ⊂...

其中，各个子空间V的下标代表尺度，数值越大尺度越粗。标准的尺度基数是2，这样用 2^k表示尺度，k 对应 V 的下标。定义的第二个条目，是关于这个子空间序列的交集和并集：

∩V_i = {0}, ∪V_i = L^2

对于无穷多个集合，考虑它们的交集和并集是自然的；特别地，它们交集和并集都是唯一的，分别是 {0} 和全集 L^2，体现出某种  “规范性”。定义的第三个条目，是关于 V_i 中的一般元素 f：

f ∈ V_i <=> f(2·) ∈ V_i-1 

这是用元素 f 的归属关系刻画分辨率相邻的子空间；给 f 的自变量乘以2，就进入了更细一级的尺度空间。定义的第四个条目，是关于一个特殊元素，要求：

存在φ∈V₀，使得 { φ_mn } 构成 V_m 的基

并且满足 Riesz 有界条件 (略)。此时就称 {V_i} 和 φ 构成 L^2 的多分辨分析。(受到代数几何的启发，我倾向于称 {Vi} 和 φ 构成 L^2 的多尺度计划或者“φ-计划”)。

    上面的 φ_mn 是函数 φ_mn(x)的简写，是由 φ 派生出来的，即 φ_mn(x) = 2^-m/2φ(2^-mx - n)。m 和 n 取自整数集合，但多数时候考虑固定的 m，而让 n 遍历整数集合。比如，取 m = 0，则有  φ_0n(x) = φ(x - n)，按定义第四条  { φ_0n(x) } 构成 V₀ 的基。换句话说，拿 φ(x) 做个整数平移就能得到 V₀的基，体现出 “大道至简” 的思想方法。以下假定 { φ_0n(x) } 构成 V₀ 的正交基，按照原著 p.8 (2.5) 这总是能办到的。

    回到开头。早先回答问题 ——  ψ是由φ定义出来的，而φ 是多分辨分析自带的函数。这就引出另一个问题： ψ是如何由φ定义出来的？定义如下(p.11) ——

Ψ(x) = ∑_n(-1)ⁿ c_n+1φ(2x + n).

式子中的 c_n+1 不是任意取的，而是来自 V₀ 和 V_-1的关系：V₀ ⊂ V_-1。具体来说，对于 φ∈V₀，按定义第三条有φ(2·)∈V_-1。而由定义第四条，{ φ(2x - n) } 构成 V-1的基。特别地， φ∈ V₀ ⊂ V_-1，于是 φ 可由 { φ(2x - n) } 线性表示(p.11)——

φ(x) = ∑_n c_nφ(2x - n). 

式子中的 c_n 拿来定义ψ，只不过  c_n+1 往右偏移了1个位置。由此可见，构造小波函数归结为构造多分辨分析 {Vi} 和 φ。特别地，按照[16][19]的理论，ψ_0n 构成 W₀的正交基，而ψ_mn 构成 W_m 的正交基。小波分析的要义是要构造 L^2 空间的正交基，要求由某个函数 ψ 的平移和伸缩得到，而 { ψ_mn(x) } 就是这样的正交基，此处 m 和 n 都不固定，而是遍历整数集合。

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参考资料

多项式方程与高中数学 2024/6/20

m0之谜与特异形态 2024/6/9

小波分析是高中数学 2024/5/17

注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。