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[按:下文是邮件笔记的内容,标题是原有的。]
有意义的方程都是特殊的...
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之前提到多项式方程 yNP(1-y) + (1-y)NP(y) =1,其中 P(y)≥0,y∈[0, 1]。解出此方程涉及到两个组合引理,最近在笔记中做了验证式推导。奇怪的是,作者在这个地方没有给出任何参考文献或任何启发来源。一般来说,总会有相关的启发来源。为此,向人工智能提出问题 (列出上述方程并指示它"谈谈")。
chatGPT-3.5 首先认为此方程与二项分布有关。再次发问,并强调 P(·)是多项式。此时它提到 "这种形式通常与概率分布或组合数学有关"。我进一步强调与概率无关。此时它先是把方程描述了一番,又提出此形式在 "逼近或解析数学中可能会出现",并提出要在上下文中确定。我又转向百度的 "文心一言",列出方程并限定 P(·) 是多项式、与概率无关。"文心一言" 列出了二项分布的公式,做了一些推导,有点像但并未真正解出方程。(像的两点:一是设出 N 阶多项式 P(y) =∑k=0,Nakyk;二是用组合数 C kN 作为 ak)
回顾以上互动,终于认识到启发很可能来源于二项分布。特别是,P(y)≥0 和 y∈[0, 1] 的条件与概率兼容:把 y 看作事件A发生的概率,1-y看作事件A不发生的概率。在摸索之前,把那两个组合引理列出来是公平的,因为在做摸索的时候已经做了验证式推导。
引理 4.3. ∑j=0,kC jn+j = C kn+k+1.
引理 4.4. ∑j=0,nC jn+j[y j(1-y)n+1 + yn+1(1-y) j] = 1.
写出并证明引理后,Daubechies 变出了魔术:N-1 阶多项式 PN(y) = ∑j=0,N-1C jN-1+j y j 是开头那个多项式方程的解。(此处再次强调,前述多项式方程 不是 求多项式的根,而是找出满足那个关系式的多项式本身。呐,就是要确定多项式的系数)。上述引理的证明有一定技巧,但不超出高中数学。困难在于没办法知道作者当年是如何得到引理本身。
现在写出二项分布公式:P{X = j} = C jny j(1-y)n-j. 对照原方程, 考虑 P(y) 的 y j 项,会出现 yN(1-y) j 这样的形式。按二项分布考虑,相当于试验次数 n = N + j。于是二项分布变成 C jN+jy j(1-y)N。这跟引理中的形式有点像了。必须强调,作者摸索的时候,引理的陈述还没有形成,应该是在摸索的过程中形成的。 现在设 PN(y) = ∑j=0,N-1 aj y j,代入原方程,得 yN∑j=0,N-1 aj (1-y) j + (1-y)N∑j=0,N-1 aj y j =1,整理得 ——
∑j=0,N-1 aj [(1-y) j yN+ (1-y)N y j] = 1.
上述形式与引理4.4很接近了,只要确定 aj 即可。早先作者提到用“猜”的办法,可能就是猜出 aj 与二项组合系数有关。恰好,N + j 次的二项分布为 C jN+jy j(1-y)N,于是可以猜测 aj = C jN+j。代入验证,发现需要修改为 aj = C jN-1+j。修改是可以预期的,因为二项分布求和为 1 的通项里只有一项,而此处的通项里包含了互补的两项。猜出正确的系数后,就能提出引理4.4了,而引理 4.3 是证明后者时分离出来的。
最后要注意的一点是,PN(y) 设置为 N - 1 阶多项式而不是 N 阶,可能也是试出来的。在整个猜测和试验的过程中,也可能取过具体的 N,比如 N = 1 或 2,以便快速排错,而不是计算整个公式。
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参考资料
m0之谜与特异形态 2024/6/9
小波分析是高中数学 2024/5/17
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GMT+8, 2024-10-10 03:29
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