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[按:下文是邮件笔记的内容,标题是原有的。]
刚才正在做笔记,忽然想明白一个事情。
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在 Daubechies的那篇著名文章中,到处都可以看到 m0,它扮演核心角色。为什么会采用小写字母 m 和下标 0 呢?此问题在心中存在了二十年之久。
刚才做完笔记后,正在回顾,脑子溜达到有关符号... P 和 Q、A 和 B、h 和 g 等等,认识到作者采用这些符号,表明所代表事物之“非特异性”,或者“一般性”。然后又想起 m0 的事情。之前注意到在当前上下文靠后的地方,作者给出了 Meyer 早先构造的特例,当时没细看,此时猛然意识到 m 是暗指 Meyer。赶紧又翻到那个地方,仔细观察。Daubechies 的方法得到的结果,包含了 Meyer 最初的特例。然后有点附会地想,下标 0 可能暗示“起源”。特别地,如果简单地采用 m,不足以表达“特异性”。这样做法,有“微妙地”承认和致敬的意味。应该就是这么回事。注释:微妙之处在于,明言会给人一种错觉,让人误以为是 follow 或 自然推广,或误以为作者把一切归功于 Meyer。“承认/致敬”和“归功”是两码事。
这里插一句“评奖的逻辑”:新人做出重大突破后,评奖时会往前追,给奠基人发奖,先摆平老一代。注释:当然有时候会先给新人颁奖,但后得的奖项会更大。新和老不以年龄论,而以先后论。
她这篇文章里有个“主方程”: |m0(ξ)|2 + |m0 (ξ + π) |2 = 1. 你也可以把它命名为“Daubechies小波中心方程”或者“紧支撑正交小波中心方程”。如果要起个短名字,不妨命名为 m0-方程。既然是方程,就得有个未知量,此处的未知量是函数 m0,呐,这就是个函数方程,要把函数 m0 给解出来。你没看错,Daubechies真是这么干的。她解决这个函数方程的重要一环,是将 m0-方程转化为如下的 P-方程 ——
yN P(1 – y) + (1 – y)N P(y) = 1
其中 P 是多项式。可以看到,交换 y 和 1 - y 方程不变。为了得到 P-方程,需要用到一个“中介”,谓之Q-结构:m0(ξ) = [ (1 + eiξ)/2]NQ (eiξ). 可见,P-方程对应m0的一个子类。Daubchies证明,全部的紧支撑正交小波都落在这个子类里头!那么如何求解 P-方程呢?涉及到两个组合引理,以及“猜”的办法。最后的话,会得到一个终极的 R-方程,从里头解出具体结果,这里就不写出了。整个来说,她的这套构造可以总结为一个四角图 ——
P R
m0 Q
书中暗表,这又是一个王侯将相的故事。
最后,让脑子串个门。提到说书,你的头脑中会出现一种或几种特异的声音或腔调,谓之声音的“特异形态”。实际上做学问就是追求这种特异形态。
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GMT+8, 2024-10-12 12:41
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