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分析的起点在哪里？
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分析的起点在哪里？
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早先应同学要求推荐了几本书*，包括自己的三本藏书。这几天翻阅了其中的一本。注意到牛顿二项式定理似乎与微积分的创立有密切的关系。特别地，牛顿用自己的方法计算了pi值（小数点后16位），用到二项式定理及逆流数方法。（我）初步猜测，或许牛顿的起点是计算pi值，只不过写作的时候成了方法在前、计算在后的顺序（待考）。
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书中介绍，牛顿写过一本《论分析》。更早的时候（1591年），韦达出版过一部《分析方法入门》，也计算过pi值。牛顿的时代已经有了笛卡尔的解析几何，在这个框架下圆可以写成方程的形式。牛顿应该是从这个角度出发计算pi值，但书上没有明说。按照（我）对圆的理解，它是神权合一的象征。看来，圆的方程可能是一切分析的起点（待考）。
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（我的）另一个考虑是，古代人研究二项式的动机是什么呢？从形式上看，a+b是个“元模式”（该模式本身不能更简单了），它意味着某个完整事物由两个部分合成。按照亚里士多德的观点，从整体到部分，即意味着分析。在a+b这个“原子”的基础上，进一步引入“连乘”（也是一种“元模式”），就得到较一般的二项式(a+b)^n，其展开系数符合“杨辉三角”（或“帕斯卡三角”）。牛顿把二项式的幂次方推广为有理数。他考虑有理次幂肯定有某种原因，比如问题情境的刺激。至于他是怎么摸索出一般规律的，就不得而知了。（牛顿只写公式而没有给出证明，正如物理学家或工程师做的那样）。
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写第一本微积分教科书的人，头脑中本来是历史顺序，成书后就只留下逻辑顺序了。因为他当时身处历史中，对他和同时代的人而言，历史顺序有点像常识一样，用不着去写。但随着时间的推移和教科书的流通，历史顺序就为人们所淡忘了。忽然有一天，人们想起来追问这个事情，发现最初的情况完全是另一回事。那些天才们有没有预见到此等情况呢？可能，明摆在那里，人们也会相当然，非得费一番功夫才有意思。。。
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既然教科书遵循的是逻辑顺序，即事后整理的内容，就不大可能保留探索的痕迹了。这里面也有令人困惑的两难局面：逻辑顺序更紧凑、压缩，但会掩盖原始思想；历史顺序更符合认知顺序，但难免冗长费时。这有点像博物馆和文物现场的关系。可见，有必要引入“元学”，用它来“通观”知识。如果说事实和逻辑好比知识的身体，那么观点就是知识的灵魂了。
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总之，a+b可以视乎“分析”的抽象表达（之一），即“分割”。另一种表达则是“投影”。（我）推测，韦达的《分析方法入门》包含很多启发（即怎么看“分析”这个事情）。微积分的最终产品就是两套公式表，在“用”的层面完全可以不考虑背后的思想。但要在学术方向上发展，脱离有关思想及方法恐怕是不行的。所谓思想，就是“怎么看”（即牛顿的神学笔记？）；所谓方法，就是“怎么做”（即牛顿如何发明了微积分）。然后才是公式，即“怎么算”。教材里不会告诉你如何发明微积分，只能告诉你怎么算，而那些理论都是事后编出来的。
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二项式里包含“重复”之模式，我猜应该会对应着某种“群”理论，正如多项式方程蕴含着迦罗瓦理论那样...有时间的话，我想搞清楚微积分的起源、迦罗瓦理论的发明经过（即原著）、数论里做点发明，最好能写出一本“元学观点下的微积分”。研究方面，若能把货仓里现有的几个半成品完成就不错了。
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注：上文首发于群邮件[Graduate Gate]，原标题“论分析”。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1093825.html
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