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“重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么”
精选
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比例是个元模式。
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《几何原本》中专门讨论过“比例”。此概念可能出现在更早以前。到了牛顿的时代，出现了以“坐标系”为特征的解析几何，于是就有可能在这个框架里重新考察比例。当然，“坐标系”也是个元模式，这是笛卡尔的“元贡献”。但笛卡尔不会孤零零地拿出坐标系的概念，他肯定要用它来做一些事情，把这个贡献以某种方式固定下来。我相信他藉此解决了前人未能解决的重要问题，从而展示出坐标系的威力，并获得了广泛的赏识。从现代的观点来看，笛卡尔坐标系就是个(向量)空间，相当于给数理界的房地产大佬们准备了全部的“地皮”。
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牛顿要用数学来研究和表达天体的运动，就不得不面对弯曲的线，最简单的就是圆了。我推测彼时笛卡尔已经写出了圆的方程，但他有没有写出圆上的切线方程呢？这个事情值得考察。但有一点我敢肯定，笛卡尔没有用坐标系去计算pi值（否则就没有牛顿的事儿了）。在《天才引导的历程》这本书中展示过一副“截图”（牛顿的《论分析》），内中显示牛顿考察过幂函数，还给出了求积法则。推测“流数法”也包含在其中。
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牛顿熟读过《几何原本》，又读过笛卡尔、韦达等人的著作，因而把其中的内容结合起来考虑似乎是很自然的事情。特别是，为了计算天体在轨道上的精确速度，就得计算曲线上任意一点的斜率，它是个比例的形式。牛顿曾说过“画直线、画圆是问题，但不是几何问题”（见《原理》自序），可以看出他对于问题的归属有着清晰的划分。因按此，速度是物理概念，但“计算速度”这个事情则是（新）几何学的问题了。
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刚才想拿出《原理》翻看，里外找了三遍，不见了。这是个奇怪的事情，印象中它就在我的手边。。。噢，找到了——就在我左臂伸展的范围之内——压在另外两本书下面了（费恩曼的前两卷讲义）。“初量与终量的比值方法，由此可以证明下述命题”，这是《原理》第一编“物体的运动”里第一章的标题——到目前为止，我还压根没读过这里的内容。回头得仔细看看了。
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不难推测，牛顿所说的“初量与终量的比值方法”就是“导数”的概念和方法，里面也蕴含着“极限”的思想。可以看出，导数是个元模式，它建立在两个量的比例上 (d-c)/(b-a)，其中a、b是自变量的两个值，c、d是应变量的两个值。这种形式的比例只能在解析几何的框架下出现，也称作“差分”。导数的另一个基础是“极限”，它也是个元模式。但对于极限的准确严格刻画要到很久之后，其实就是关于“初量”和“终量”的两个不等式。也许是去年，我买了一本厚厚的书《建立不等式的方法》，里面有一句quotation （Ch 3.8） —— “有时我有这样的感觉，数学（特别是分析学）就是不等式” (M. Hazewinkel)。这本书也收录了一些数学名言，比如“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.(毕达哥拉斯)” —— 深刻。很多时候，现代的大学老师赶不上古代人的思想水平...
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据我所知，函数、自变量、变量的概念最早是由欧拉给出的，好像是好久以后的事情了，但牛顿的《论分析》中已经有了ax^(m/n)=y 这种表达式，甚至给出了该曲线所围成面积的计算公式：an/(m+n)x^[(m+n)/n]。从体例上看，牛顿写的《原理》和《光学》，风格上有点模仿《几何原本》的痕迹，体现出一种“对接”（或“承接”）的意识和倾向。这个事情值得引起注意。古代人对于著书立说相当重视，出版著作更是很“隆重”的事情。不管什么人，都不轻易出书，于是一旦有人拿出著作，会引起所有人的注意，因为人们知道里面肯定有些什么（应该是类似于“元模式”的内容）。
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其实，压住自己的学问不发表，这也是一种元模式。比如，牛顿的《光学》推迟了二十年才出版，而他的有些研究甚至推迟了四十年之久—— 当一众人阅读这类著作时，心里可能会生出些许的庆幸——这可是那些死去的人看不到的啊！可能，作者也会有一种快感 —— 我看到了你们的，你们却看不着我的。
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注：上文首发于群邮件[Graduate Gate]，“论比例”。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1094306.html
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