[按：下文是邮件笔记的内容，略修订，标题是原有的。]

通过摘录体会原著的心思和价值...

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借用代数符号，将多分辨分析记作(φ,V_i,L²(R))或(φ,V_i)。很多代数对象用一个字作为名字，如群、环、域，不妨把多分辨分析称作“涟”，它满足四条“公理”，对应原著的 (2.1)-(2.4)。我也把多分辨分析称作“φ-计划”。

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p.11, “If one restricts oneself to the case where φ is a real function (as in all the examples above), then φ is determined uniquely, up to a sign, by the requirement that φ_0n be orthonormal.”

此句是原著中的注记2。按之前，有了φ，就能定义ψ(小波函数)。原著这句话显得突兀。假使已经写出了φ的表达式，比方说φ(x)=2x，无所谓“唯一确定”或“up to a sign”。这种情况反映出，作者在头脑里指向了某个地方，但又没有明说。仔细考察上下文，注记上方与φ有关的、距离最近的表达式是——

(2.15)   φ(x)=∑_nc_nφ(2x - n).

推测“唯一确定”是指系数c_n是唯一确定的，但等式仍允许把φ换成 -φ，从而“up to a sign”。

P.12, "One then also has ∫dxφ(x) = ±1; we shall fix the sign of φ so that  ∫dxφ(x) = 1."

此句紧接上句，那里说“φ_0n be orthonormal”，而φ_0n就是φ(x-n)，其中n遍历整数集合。由于是在L²(R)里说事，{φ(x-n)}是看作无穷维向量空间V₀里的正交基，所以内积<φ(x-n),φ(x-l)>的取值为1（若n=l）或0（n≠l）。取n=l=0，则有<φ(x),φ(x)> = ∫dxφ²(x) = 1. 看不出原著如何得到∫dxφ(x) = ±1，也不知道是从哪里算出来的(?)。该句后半部分没有疑问。

p.12, "In practice, one can often start the whole construction by choosing an appropriate φ, i.e., a function φ satisfying (2.15) for some c_n."

按之前，有了φ，就能定义ψ(小波函数)。那么怎么找φ呢？此句话指出，设法构造满足(2.15)的φ即可（φ和c_n都是未知的）。这句话提供了悬念和灯塔，或促使思考并求索当时已有的例子是怎么构造出来的，以及当一些文章不加说明地这样做的时候能知道作者在做什么。式子(2.15)称作“two-scale equation”，或戏称为“涟方程”，原著作者另有文章专述(注记1提到的[15])。

p.12,"Provided φ is 'reasonalble' (...), the closed linear spans V_m of the φ_mn (m fixed) then automatically satisfy (2.1)-(2.4) and there exists an associated orthonormal basis of wavelets."

这句话是对上句话的补充，此处我省略了括号内的解释。如果找到的φ是“合理的”，则由φ的平移伸缩得到那些的V_i能自动满足φ-计划，从而得到小波正交基。

以上摘录了注记2，总共四句话，前两句存疑。

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参考资料

小波分析与φ-计划 2024/7/8

多项式方程与高中数学 2024/6/20

m0之谜与特异形态 2024/6/9

小波分析是高中数学 2024/5/17

注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。