[按：下文是邮件笔记的内容，标题是原有的。]

有杕之杜,其叶湑湑。

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这几天考虑回到原著第四部分第二单元(4.B.)，包含三个引理和一个命题。在5月和6月未公开的笔记中已经验证了三个引理的推导，写过一篇邮件笔记^*。原著提出并证明两个组合引理之后，立刻指向两个例子，它们出现在原著的第三部分。为了看清楚两个例子，又跑到p.38和p.48。这期间关于因子(1+e^iξ)做了一些摘录，来自原著第二部分，附后。

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这些摘录围绕一个谜。设有无穷序列w(n)，今按偶数项和奇数项分别求和，若这两个和相等，则W(ξ)含有因式(1+e^iξ)，其中W(ξ)=∑_nw(n)e^inξ。

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若孤立地看，因式(1+e^iξ)显得微不足道，但在原著中起到关键作用。我让chatGPT从《诗经》中列举类似的情状，答曰“有杕之杜,其叶湑湑”。Daubechies在原著中对m₀(ξ)施加条件，令其能被(1+e^iξ)^N整除，其中N是任意自然数。如果把m₀(ξ)比作“有杕之杜”，则(1+e^iξ)^N对应“其叶湑湑”。还真有点像！“有杕”是“杕杕”的另一种表达，意思是“孤立生长貌”，“杜”是指“赤棠”。确实，阅读原著发现(下面最后一条注释/摘录)，Meyer最早考虑了m₀(ξ)，彼时是孤立存在。至于最初的“叶子”何时何处出现，有待细考。

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最后，(1+e^iξ)的数学意义在于，它能给φ和ψ带上“正则性”，而重复出现这个因式越多，正则性越高。

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以下是原著中的相关摘录，隔行罗列以避免“满眼花”。

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备用p.15：(2.25)          ∑_nw(2n) = ∑_nw(2n+1).

We shall come back below to the mathematical significance of this requirement.

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备用p.19：This surprising feature is in fact due, in large part, to the special form (2.26) of the coefficients w(n), and in particular, to condition (2.25).

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备用 p.24： Because of the constraint (2.25), one finds that W(ξ) is divisible by (1 + e^iξ),

W(ξ) = 1/2 (1 + e^iξ) Q(ξ) = e^iξ/2cosξ/2 Q(ξ).

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备用 p.37： 5. Note that ∑_nh(2n) = ∑_nh(2n+1), which is a consequence of (3.18)-(3.19) (see Remark 2 above) implies that all the possible H(ξ), satisfying all the above conditions, necessarily are divisible by (1+e^iξ) (see subsection 2B).

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注释：去往(3.18)和(3.19)过程中，发现(p.37) “It can be found in [16], where m₀(ξ) =2^-1/2H(ξ) is used, rather than H.” 注：[16]即Meyer(1986)。

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注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。