[按：下文是邮件笔记的内容，略修订，标题是原有的。]

“鹊巢三枝，君子三思。”

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原著的例子3.1(p.38)在第三部分第一单元(3.A.)。该单元篇幅约8页，标题是"Weaning Mallat's algorithm from its multiresolution parent"，直译为“马拉算法从它的多分辨父母断奶”。你没看错，“Weaning”的直译的确是“断奶”。这样的表达似乎带有双关意味：作者的学术研究和哺育“婴儿”发生交集。在该单元的末尾，Daubechies突然拿出两个例子，然后嘎然而止；没有给出任何说明，也没有说后文要用到的话。原著如此。

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例子3.1.α(ξ) = β(ξ) = 2^-1/2，对应于h(0)=2^-1/2，g(0)=2^-1/2，h(1)=2^-1/2，g(1)=-2^-1/2，其余的h(n)和g(n)均为零。

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为了看懂这个例子，需要知道α(ξ)和β(ξ)代表什么。尽管有明确的表达式，但原著通篇暗示这样的约定：设有无穷数列u(n)，则总能关联2π-周期函数U(ξ)=∑_nu(n)e^inξ。确实，原著里写着(3.A.,p.34)——

α(ξ) = ∑_na(n)e^inξ,

β(ξ) = ∑_nb(n)e^inξ .

然后你需要知道a(n)和b(n)代表什么(3.A.,p.34)——

a(n) = h(2n),

b(n) = h(2n+1).

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此处需要追问h是干什么的？插一句，h是h(n)的简写，两者是一回事。实际上，之前的笔记^*已经有了h(n)的表达式，是用φ函数的内积定义的。可那是在原著的第二部分第三单元(2.C.)，是在多分辨分析的意义下定义的（即使用φ函数），而当下是在“断奶”的上下文里说事。怎么个断法呢？大意是(3.A.,p.31)"we extract the properties of H and G that make the scheme work, without reference to multiresolution analysis."

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上面引用的句子出现在3.A.的最开头，是接着2.C.说话，而这句话里出现了H和G。在2.C.里，h(n)是已知的(φ函数的内积)，并用它定义了算子H。现在(3.A.)“断奶”了嘛，φ用不了，所以h(n)是不知道的，而是看作“待定”。尽管如此，从形式上，仍然可以写出H。该H的表达式在2.C.和3.A.都是一样的(2.C.,p.28；3.C.,p.31) ——

(Ha)_k = ∑_nh(n-2k)a_n.

此表达式需要仔细理解。式子中的a_n表示任意的无穷序列a（理解为无穷维列向量）的第n个分量；注意不要跟之前的a(n)混淆起来，后者的简写也是a，跟此处的a不是一回事(原著里的符号滥用)。式子左边的Ha表示算子H作用于a，其第k个分量写为(Ha)_k ；这样的写法不常见，或是原著作者的发明，也可能是比利时写法。总之，无穷维列向量a经过H作用得到无穷维列向量Ha，由此可以把H看作无穷维矩阵。特别地，H的第“0”行由无穷序列h(n)填充，H的第“1”行由无穷序列h(n)向右平移两列来填充，依此类推（可以有第“-1”行，等等）。(注：引用的话里也提到G，定义的时候只须把h换成g)。

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以上讲清楚了如何用h定义出算子H。要强调的是，在3.A.的设定中，h(n)是待定的，而在2.C.的设定中h(n)是由φ函数确定的。(顺带可以看出，如果无穷序列h(n)中只有少量的有限项取非零值，那么算子H就是一个稀疏矩阵。由于实际中的a是有限维向量，则H也成为有限维矩阵。这样的h(n)对应于紧支撑的φ，从而得到紧支撑的ψ。可见，紧支撑小波方便实际计算。)

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现在回到今天的主题：例子3.1的验证。验证什么呢？这是在原著第四部分第二单元(4.B.)的上下文里来说的。为此，需要写出式子(4.B.,p.68) ——

(4.13)          P_N(y)=∑_j=0,N-1C ^j_N-1+jy^j.

原著里写道(p.68)"Example 3.1...correspond exactly to a polynomial of type (4.13), with N=1..."。可是，从上文开头给出的例子3.1，直接是看不出来的。原著里继续写道(p.68)"For Example 3.1 one has m₀(ξ)=1/2 (1+e^iξ)，i.e., N=1, and Q(e^iξ)=1, hence P(y)=1=P₁(y)"。这样，就需要搞清楚例子3.1中的α(ξ), β(ξ)和m₀(ξ)的关系，即如何由前者得到后者？印象中在原著的某个地方给出了m₀(ξ)的表达式。在浏览寻找的过程中，惊愕地发现，原著里第一次提及m₀(ξ)是在p.37，即上次笔记末尾的注释。感到惊愕是因为，截止p.37，之前压根没提到过m₀(ξ)。按照该处的提法我们有(p.37)：m₀(ξ)=2^-1/2H(ξ)，其中2π-周期函数H(ξ)=∑_nh(n)e^inξ出现在前一页(p.36)。特别地，p.36有个公式 ——

H(ξ)=α(2ξ)+e^iξβ(2ξ).

试着把例子3.1中的α(ξ) = β(ξ) = 2^-1/2代入上述公式，得H(ξ)=2^-1/2(1+e^iξ)。按照天蓝色公式，m₀(ξ)= 2^-1/2H(ξ) = 1/2 (1+e^iξ)。按照原著的设定，m₀(ξ)的一般形式是(4.B.,p.64)——

(4.8)        m₀(ξ)=[ 1/2 (1+e^iξ) ]^NQ(e^iξ)

经对照可知，例子3.1对应的N=1，Q(e^iξ)=1。把N=1代入(4.13)，得到P_N(y)=1。最后，如何验证P(y)=1？直接代入(4.9)即可验证。问题是，怎么知道P(y)=1？应该来自P和P_N的关系，待考。

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回顾上述验证，可以看到另一条验证路径，即把例子3.1的h(n)代入2π-周期函数H(ξ)=∑_nh(n)e^inξ，接着使用天蓝色公式，之后同上。上面说了一大圈，发现存在两种H。它们都是由h(n)定义，但彼此之间的关系暂不清楚，值得探究。如果仅仅是为了验证例子3.1，则无穷维矩阵H没有任何可见的用处；用到的是2π-周期函数H(ξ)，它和m₀(ξ)仅差个倍数2^-1/2。在原著的命题3.3里也给出了m₀(ξ)的定义(3.B.,p.43)——

m₀(ξ)=2^-1/2∑_nh(n)e^inξ

该公式跟天蓝色公式是一回事。由于紧支撑正交小波完全地且全部地由原著刻画，因此一切紧支撑正交小波的例子，其m₀(ξ)的表达式必然符合公式(4.8)。因此，验证例子的路径只不过是设法写出m₀(ξ)的表达式，换句话说，只要知道h(n)，然后结合红色公式与橙色公式对照即可。需要指出的是，原著并没有清楚地表述验证的路径，仅简单地给出验证的结果。

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参考资料

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注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。