[按：下文是邮件笔记的内容，标题是原有的。有点应景哦 ^_^]

“窈窕淑女，君子好逑。”

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例子3.1和例子3.2都是第三部分第一单元(3.A.,p.38)末尾给出的(例子(3.42)是例子3.2的特例)。这两个例子是怎么想出来的？原著没有明说。例子3.1由α(ξ) = β(ξ) = 2^-1/2给出，原著提示“The simplest possible example”。往前翻阅，看到α(ξ) , β(ξ) 满足条件——

(3.15)       α(0) = β(0) = 2^-1/2.

此条件是对所有可能的α(ξ) , β(ξ)而言的。推测例子3.1是从此条件衍生出来的，即α(ξ)和β(ξ)取为包含该条件的常函数。原著没有明说，实际上例子3.1是Haar函数的另一种形式，这可从对应的h(n)和g(n)看出(参笔记^*)。

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誊抄例子3.2之前，忽然想探究其中的原则。粗略地说，“断奶”后是用α(ξ) 和 β(ξ)来定义Mallat算法中的H和G。仔细阅读原著，有一段概括性的内容(3.A.,p.36) ——

It follows that any choice of 2π-periodic function α and β satisfying (3.14),(3.15) and ∑|a_n|<∞,∑|b_n|<∞, leads, via (3.13),(3.9) and (3.7), to two filter operators H and G satisfying (3.1)-(3.4). These filter operators can then be used for a decomposition and reconstruction algorithm "a la Mallat", without reference to multiresolution analysis.

注释：上述引用中的a_n和b_n应是指a(n)和b(n)。

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概括来说，Mallat算法涉及两个无穷维矩阵H和G，“断奶”前由φ和ψ定义，“断奶”后则由(3.1)-(3.4)刻画。特别地，“断奶”前两个无穷维矩阵是已知的，而“断奶”后则处于待定状态。更进一步，原著给出条件(3.A.,p.35)——

(3.14)      |α(ξ)|²+|β(ξ)|² = 1.

此条件结合(3.15)的零点条件，用于构造α(ξ)和β(ξ)。

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现在摘录例子3.2(3.A.,p.38)——

Example 3.2. The next simplest example is

α(ξ)=2^-1/2[ν(ν-1)+(ν+1)e^iξ]/(ν²+1),

β(ξ)=2^-1/2[(1-ν)+ν(ν+1)e^iξ]/(ν²+1),

where ν is an arbitrary real number.

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为了帮助记忆，把ν看作“窈窕淑女”，(ν-1)看作“君子”，(1-ν)看作“非君子”，(ν+1)看作“官人”(持有权杖e^iξ)；两个表达式体现出“窈窕淑女”在两种情境下的选择。

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例子3.2是怎么想到的呢？唯一的提示是"The next simplest example"。例子3.1是常函数...若在例子3.2里消除e^iξ，则恰好包含在内(取ν=-1)。换句话说，若考虑一次函数，包含e^iξ，并且以例子3.1为特例，则不难想出(ν+1)e^iξ，或(ν-1)e^iξ之类。单纯这样的项，模平方如(ν+1)²...则可能的表达式为 ——

α(ξ)=2^-1/2[(ν+1)e^iξ]/(ν+1),

β(ξ)=2^-1/2[(ν+1)e^iξ]/(ν+1),

此构造的问题之一是不能包含例子3.1，而且(ν+1)会约分掉...咦，表达式α(ξ)=β(ξ)=2^-1/2e^iξ满足(3.14)和(3.15)!那么，根据早先的公式H(ξ)=α(2ξ)+e^iξβ(2ξ)，可得H(ξ)=2^-1/2[e^i2ξ+e^iξe^i2ξ]=2^-1/2(1+e^iξ)e^i2ξ。接着根据早先的公式m₀(ξ)=2^-1/2H(ξ)，得到m₀(ξ)=1/2 (1+e^iξ)e^i2ξ.对照早先的公式 m₀(ξ)=[ 1/2 (1+e^iξ) ]^NQ(e^iξ)，得知N=1,Q(e^iξ)=e^i2ξ。而例子3.1有N=1,Q(e^iξ)=1。两个Q相差一个因子e^i2ξ。

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这样的话，今天现场构造了一个原著里没写的例子(记作例子3.1b)。不过呢，根据原著的暗示，例子3.1b和例子3.1是等价的。有关暗示摘录如下(4.B.,p.66)——

One can show (see [27]) that, up to an arbitrary phase factor ±e^iKξ，K∈Z, all the polynomials B satisfying (4.11) are necessarily of the form (4.12).

这句话来自原著的引理4.2之注记2，此处加黑了重点部分。依照上下文，这句话中的B对应于m₀(ξ)的因式Q(e^iξ)。不难想象，两个量的模的平方和为1，则给这两个量乘以±e^iKξ，模的平方和仍为1。

注释：文献[27]是Polya和Szego写的一本德文书(1971)，书名英译：Problems and Lessons from Analysis，Vol. II。

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关于Q的±e^iKξ因子(称为“相位因子”)，在原著靠后的地方还有一处提示(4.C.,p.70)——

...For N∈lN, N>1 fixed, this determines Q unambiguously, up to a phase factor e^iKξ，K∈Z. For the sake of definiteness we fix this phase factor so that Q contains only positive frequencies, starting from zero,...

从这句话里，目前来说只须知道可以设置规则来固定Q的相位因子e^iKξ。

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以上探索了构造例子3.2的部分思路，期间得到例子3.1的另一个解；例子3.2的全部构造思路仍是一个谜。

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现在回到今天的主题：例子（3.42）的验证。这是在原著第四部分第二单元(4.B.,p.68)的上下文里来说的。例子(3.42)是例子3.2的特例，包含两个解：取ν=±1/√3，最早出现在3.B.,p.48。

(4.13)          P_N(y)=∑_j=0,N-1C ^j_N-1+jy^j.

原著里写道(p.68)“Example... (3.42)...correspond exactly to a polynomial of type (4.13), with N=...2...”。验证的第一步是写出对应的m₀(ξ)。由于有两个解，分别处理 ——

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① 取ν=1/√3，代入例子3.2(见上文高亮处)，得：

α(ξ)=[1-√3+(√3+3)e^iξ]/(4√2),

β(ξ)=[3-√3+(1+√3)e^iξ]/(4√2),

为了得到m₀(ξ)，可以使用紫色公式直接计算H(ξ)，然后使用天蓝色公式。另一个办法是，由α(ξ)和β(ξ)得到h(n)，公式参见笔记^*：a(0)=(1-√3)/(4√2)，a(1)=(√3+3)/(4√2)；b(0)=(3-√3)/(4√2)，b(1)=(1+√3)/(4√2)。由此得到h(0)=(1-√3)/(4√2)，h(1)=(3-√3)/(4√2)，h(2)=(√3+3)/(4√2)，h(3)=(1+√3)/(4√2)。由公式，m₀(ξ)=2^-1/2∑_nh(n)e^inξ=1/8[1-√3+(3-√3)e^iξ+(√3+3)e^i2ξ+(1+√3)e^i3ξ]。现在需要从中分离出因式(1+e^iξ)。摸索一下——

把e^iξ和e^i3ξ的项分到一个组，提取出e^iξ：((3-√3)+(1+√3)e^iξ)e^i2ξ。好像行不通。为了凑出(1+e^iξ)，尝试方括号内全部打开：1-√3+3e^iξ-√3e^iξ+√3e^i2ξ+3e^i2ξ+e^i3ξ+√3e^i3ξ。分组如下——

1，-√3-√3e^iξ，3e^iξ+3e^i2ξ，√3e^i2ξ+√3e^i3ξ，e^i3ξ。

观察：5个组中，第2组到第4组都有因子(1+e^iξ)；第1组和第5组合并，也会包含因子(1+e^iξ)。方括号内按此分组，各组提取公因式，得——

(1+e^iξ)(1 - e^iξ  + e^i2ξ) -√3(1+e^iξ) + 3(1+e^iξ)e^iξ + √3(1+e^iξ)e^i2ξ =  (1+e^iξ)[1 - √3 + 2e^iξ  + (1+ √3)e^i2ξ] 

上式右端的方括号内，继续考虑配方或因式分解——

1 - √3 + 2e^iξ  + (1+ √3)e^i2ξ

= [(1+ √3)²e^i2ξ + 2 (1+ √3)e^iξ +1 -3]/(1+ √3)

= {[(1+ √3)e^iξ+ 1]² -(√3)² }/(1+ √3)

= [(1+ √3)e^iξ+ 1 + √3][(1+ √3)e^iξ+ 1 - √3]/(1+ √3) 

= (1+e^iξ)[(1+ √3)e^iξ+ 1 - √3]

综合以上推导，得m₀(ξ)= [1/2 (1+e^iξ)]² ·1/2[(1+ √3)e^iξ+ 1 - √3]。

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注释：得到上述m₀(ξ)的结果后，对照发现与原著结果(p.68)不一致，后确认为原著笔误：实际上原著p.58给出的结果(4.4)与上文的结果完全一致。引用原著如下(4.B.,p.68)——

For the second example (3.42), we find (see (4.4)) m₀(ξ)=[1/2 (1+e^iξ)]² ·1/2[(1∓ √3)e^iξ], corresponding to N=2 and |Q(e^iξ)|²=2 – cosξ = 1 + 2sin² ξ/2; hence P(y) = 1 + 2y = P₂(y). (原著笔误由灰色字体标出)

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上述引用中计算了——|Q(e^iξ)|²

=1/4 [(1+ √3)e^iξ+ 1 - √3][(1+ √3)e^-iξ+ 1 - √3]

=1/4 [(1+ √3)²+ (1 - √3)² -2e^iξ -2 e^-iξ]

=2 - 1/2(e^iξ + e^-iξ)

=2-cosξ

=1 + 2sin² ξ/2

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原著计算|Q(e^iξ)|²的意义不明显，因为从m₀(ξ)的因式分解已经能确定N=2，从而写出P_N。如果是为了写出P，则 |Q(e^iξ)|²= 1 + 2(1 - cos²ξ/2) = 1 + 2(1 - y) = 3 - 2y。这是P(1-y)。代入(4.9)验证 ——

左端：y^NP(1-y) + (1-y)^NP(y) 

= y²(3-2y) + (1-y)²(1 + 2y) 

= 3y² - 2y³ + (1 - 2y + y²)(1 + 2y) 

= 3y² - 2y³ + (1 - 4y² + y² + 2y³)

=1

现在清楚了。计算|Q(e^iξ)|²是为了：写出P(1-y)，由此写出P(y)，进而代入(4.9)完成验证。

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② 取ν= -1/√3，情况应该是类似的。值得考虑的是，Q(e^iξ)是否只差个相位因子e^iKξ，其中K是某个整数。待后续探究。

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小结：例子3.2的构造思路是个谜，而在无穷多参数取值中如何选出ν= ±1/√3则是另一个谜。

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参考资料

例子3.1的验证  2024/7/20

三角因式之谜 2024/7/18

惊奇是一种能力 2024/7/14

原著、原著、原著... 2024/7/13

φ-计划之若干摘录 2024/7/10

小波分析与φ-计划 2024/7/8

多项式方程与高中数学 2024/6/20

m0之谜与特异形态 2024/6/9

小波分析是高中数学 2024/5/17

注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。