博文

Zmn-0428 薛问天：从概念上区别复合函数同构成复合函数的函数。评师教民先生《0419》

已有 3567 次阅读 2021-1-29 20:12 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0428 薛问天：从概念上区别复合函数同构成复合函数的函数。评师教民先生《0419》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生的《0419》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

从概念上区别复合函数同构成复合函数的函数。

评师教民先生《0419》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-s.jpg 有人不明白，问薛问天先生，你同师教民先生在争论什么问题？其实说來也很筒单。

师先生混淆了函数y=f(x)的因变量微分dy①同复合函数y=h(y)=f[g(y)]的因变量微分dy③。为了寻找依据，于是就从概念上混淆复合函数同构成复合函数的函数的区别。我们现在争论的就是他最近公然提出的【依据】。

他的观点是【y=f (x) [x=g (y)]符合以 x=g (y)为定义域的函数 y=f (x)的定义，】而且【函数 y=f (x) [x=g (y)] 也是以 x=g (y)为定义域的函数y=f(x)。】他这里指的函数的定义，是所谓的【解析式型的函数定义:】，按照师先生的说法，【解析式型的函数定义分为函数式和定义域两部分．前边的部分是函数式；后边括号内的部分是定义域，即是函数的自变量的取值范围。】

于是师先生观点是，由函数f和g构成的复合函数f(x)[x=g(y)]，是以f(x)为函数式，以函数x=g(y)为定义域的解析式型的定义的函数f(x)。

围绕着师先生的这个观点，我们有四点争论，这四点争论是:

(一)，用函数x=g(y)作为定义域，符合不符合解析式型的函数定义。

(二)，复合函数 y=f (x) [x=g (y)]．是不是用解析式型定义的函数 y=f (x)。

(三)，限制和改变函数的定义域，能否改变函数关系。

(四)，复合函数是由f(x)和g(x)【一起复合构成的】，还是由f(x)【变成的】。

这四点争论，相应于我《0408 》和师《0419》的2,3,4,5讨论的内容。现针对这四个问题继续阐明我的观点，并对师先生的错误论点分别评论如下。

(一)，用函数x=g(y)作为定义域，不符合解析式型的函数的定义。

以函数作为【定义域】，不符合解析式型的函数定义。因为【定义域】只能是集合不能是函数。

1)，函数的值域是集合，但函数本身不是集合。所以可以用函数的值域作为定义域，但不能以函数本身作为定义域。毕竟函数不等于函数的值域，不是集合。

2)，①，师先生所举的I,II,III,IV,四种定义域的表达式，表达的都是集合，所以符合解析式型的定义。而且II,III,IV都可以用x∈A的形式表达。我们判断是否符合定义的标准并不在于用的是什么符号，如等号不等号等。在于它表达的是计么，如果表达的是集合，则符合定义要求，如果表达的不是集合则不符合。例子III,IV中用等号表达的是集合，则符合定义要求，而师先生用等号表达是函数x=g(y)，则不符合定义要求。因为定义要求在【定义域】一栏中要填写的是一个集合，而不是一个函数。

②，师先生所述， y=f (x)当设 x=y (0≤y＜+∞)，这时从概念上讲，已形成由y=f(x)和等值函数y=x构成的复合函数y=f[x=y]，而不是，也不能由在解析式型的函数定义的【定义域】中填写等值函数y=x来完成。因为定义域只是x的取值范围的规定，不是自变量的规定。

换自变量，除了用复合函数的方法外，还可以考虑用下述定理來解释。

换元定理: 两个函数y=f(x)，s=f(t)，如果函数关系(映射)f相同而且x,t的定义域相同，则认为是同一个函数。

当然换元要公开申明是换元，而不是定义域的变化。:

3)，在定义域中填Rg符合定义要求，但不是师先生的原意。

①，我说的一点也没错，对于一般的复合函数的f和g【只要求 Rg⊆Df，并不要求 Rg=Df】，如果要求Rg=Df，自然是错误的。而正反函数是特殊的复合函数，特别要求Rg=Df，当然也没错。

②，在解析式型定义的定义域中填Rg，y=f(x)(x∈Rg)，当然符合定义的要求，是正确的。但並不是师先生的原意。因为它不等于师先生心目中的，所定义的复合函数，而是原原本本的f(x)。

4)，师先生常常在概念上是混乱的。要知道所谓【解析式型】只是一种函数定义的表达方式，一种定义形式，并不是函数的类型，师先生竟然说什么某某函数【是解析式型的函数】。这充分暴露了只会帽子滿天飞，给别人扣帽子的师先生，只不过是自己【没有读懂或没有学会】。

(二)，任何用解析式型定义的函数 y=f (x)，都不是复合函数 y=f (x) [x=g (y)]．

从师先生的回答看，他根本就没有弄清或故意搅混我们讨论的问题。我们讨论的是，有两个函数，一个是无论定义域中填写怎样的集合，以f(x)为函数式的解析式型定义的函数f(x)。另一个是由f(x)和g(y)构成的复合函数。这两个函数有没有可能是同一个函数。我认为不可能，因为函数的自变量不同，定义域不同和函数关系不同。

1)，由解析式型定义的函数f(x)的自变量是x，而复合函数的自变是是y不是x，x只是它的中间变量而不是自变量。因而这两个函数的自变量不一样。这有什么可置疑的。

2)， ①，以f(x)为函数式的解析式型定义的函数f(x)，当然是有定义域的。我的论断是无论此定义域是什么集合，所定义的函数都不可能是由f和g构成的复合函数。

②，函数式就决定了函数关系(映射)，函数f(x)的函数关系是f，而复合函数的函数关系(映射)是f·g，显然不一样。而师先生竟然把复合函数的函数关系(函数式)说成是f，同f(x)【完全相同】，这绝对是错误的。

3)，①.，师先生说【薛问天先生为什么不敢承认函数 x=g (y) 的值域是组成复合函数...的函数 y=f (x) 的定义域呢？】师先生的智商不会这么低吧！我早已说过对于互逆的正反函数f和g要求Df=Rg。按照这个符号的意思就是函数g的值域等于函数f的定义域。怎么叫【不敢承认】？

②，我己说过多遍「由解析式型定义的函数f(x)的自变量是x，而复合函数的自变量是y不是x，x只是它的中间变量而不是自变量。因而这两个函数的自变量不一样。」

4)，①，师先生说【我已经驳倒了薛问天先生说的】〔自变量不同，定义域不同，函数的映射也不同」。这完全是师先生的一厢情愿。怎么能驳倒。函数f(x)的自变量是x，复合函数的自变量是y，怎么能相同。函数f(x)的函数关系是f，复合函数的函数关系是f·g，怎么能相同。函数f(ⅹ)的定义域是x的变化范围，复合函数的定义域是y的变化范围，一般也不相同。所以由解析式型定义的函教f(x)不可能是由f和g构成的复合函数。

②.，实际上师先生讲的 I 是不对的，解析式型定义的函数 y=f (x)是组成复合函数的两个函数中的一个函数，这个解析式型定义的函数 y=f (x)，根本就不可能是由f和g构成的复合函数。在这里师先生把由f和g构成的复合函数，同构成复合函数的两个函数之一的f混为一谈了。

③，不知师先生在这里玩的是什么文字游戏。师先生说的【解析式型函数 y=f (x)是组成复合函数 y=f (x)[x=g (y)]的函数】同【薛问天先生却硬说〔师先生所说的【由解析式型函数定义的函数 f (x)】就是【组成复合函数 y=f (x) [x=g (y)]的函数 y=f (x)】】有什么区别。怎么就成了【强加】的了。简直不知所云。

5)，见(四)。

6)，师先生所说的【从复合函数 y=f (x)[x=g (y)]的角度观察，f 是函数关系，x 是自变量，x 随着 g (y) 里的 y 的取值而取的值的范围是定义域．】是错误的，不符合事实，复合函数的函数关系为f×g，自变量为x。同一个函数怎么会有不同的函数关系，不同的自变量．

师先生说【按照薛问天先生的说法，解析式型函数 y=f (x)和复合函数 y=f (x)[x=g (y)]因为函数关系分别为 f 和 f×g 而不同，所以解析式型函数 y=f (x)和复合函数 y=f (x) [x=g (y)]不是同一个函数.

但是，我们保持上述的复合函数 y=f (x) [x=g (y)]和解析式型函数 y=f (x)的函数关系不变，只是将解析式型函数 y=f (x)的定义域增加上 x=g (y)的内容，即令自变量 x 的取值范围和 g (y)的取值范围相同，从而使它成为 y=f (x) [x=g (y)]．那么，尽管它们的函数关系还是因为分别是 f 和 f×g 而不同，但是因为解析式型函数 f (x) [x=g (y)]=复合函数 f (x) [x=g (y)]，从而使得解析式型函数 f (x) [x=g (y)]和复合函数 f (x) [x=g (y)]就成为同一个函数了．

事实上把解析式型函数 f (x) [x=g (y)]中的 x=g (y)代入解析式型函数 y=f (x)里得函数 y=y，把复合函数 f (x) [x=g(y)]中的 x=g (y)代入复合函数 f (x) [x=g (y)]的 f (x)里得函数 y=y，这样，解析式型函数 f (x) [x=g (y)]和复合函数 f (x)[x=g (y)]就都成为 y=y 而使得函数关系、自变量、定义域都相同、而完完全全地、彻彻底底地成为同一个函数了．】

这一长段文字是典型的逻辑混乱的诡辩。师先生既然承认【它们的函数关系还是因为分别是 f 和 f×g 而不同】，就应该立即得出它们不是同一函数的结论。可又诡辩说【保持...函数关系不变，只是将解析式型函数 y=f (x)的定义域增加上 x=g (y)的内容，即令自变量 x 的取值范围和 g (y)的取值范围相同，从而使它成为 y=f (x) [x=g (y)]．】这根本就是师先生的主观臆想，保持函数关系不变，使f(x)的定义域为Rg(薛注。本來就要求Df等于Rg)，并不能使f(x)成为复合函数。因为定义域只能规定x的取值范围，不能【增加上x=g(y)的内容】改变函数关系使f成为f·g，使函数f(x)成为复合函数,【就成为同一个函数了】。这是严重的逻辑混乱。

至于后面说的【代入】操作，这是构成复合函数的方法。它并不是解析式型定义函数的方法。一经代入.就是复合函数而不是函数f(x)了。

7)，正反函数都必须是单值函数．

这是数学的基本常识，凡指函数皆指单值函数。只有在特殊用到多值函数的概念时，需要特别声明所指是多值函数。

在复合函数，正反函数，可导函数，连续函数，......等包括函数本身的定义中未提及是多值函数，就意味着它们都是单值函数:。

(三) ，函数f(x)的定义域，既使因受到约束和限制而改变，只要它是个集合，仍然是自变量x的变化范围，它就仍然是函数f(x)的定义域。函数f(x)仍然是个独立的函数。函数 f 的定义域 Df受到 Df⊇Rg或 Df=Rg的限制，但它仍然是独立的函数．

1)，回答师先生提出的两个问题。

师先生问【当【函数 y=f (x)的自变量 x，不能在其定义域中任意取值】时，该函数 y=f (x)还是【独立的函数】吗？】

回答很明确，不是【独立的函数】，而且就不是函数。因为凡是函数都有自变量，函数的自变量之所以称为自变量，它必须在它的定义域中自由任意取值。不存在沒有在它的定义域中能自由取值的自变量的函数。

师先生又问【假如我们对函数 y=f (x)的自变量 x 做一下限制，即要求自变量 x 按照 x=g (y)=2y 的规律取值．例如，当 y 取 1 时，x 就必须取 2 而不能任意地取 4，5，6 等值；当 y 取 2 时，x 就必须取 4 而不能任意地取 7，8，9 等值．此时，不能任意地取值的函数 y=f (x)还是【独立的函数】吗？】

答案也很明确，不存在这样的自变量x【不能任意地取值的函数 y=f (x)】，这样的f(x)，它已不是函数。自然也就不是而且也不存在这样的【独立函数】。师先生说的情况，一旦令这:x=g(y)，就形成了由f和g共同构成的复合函数。此复合函数当然不是f(x)，而是以y为自变量的函数，y可以在它的定义域中任意取值。

2)，我说的这句话没有错:【任何一个函数 y=f (x)，无论你怎么限制和改变它的定义域，只是自变量 x 的变化范围进行了改变，它的自变量仍然是 x，自变量是 x 是不会变成 y．映射关系也是不会变的，仍然是 f 而不是 f×g．而复合函数的自变是 y 不是 x，它的定义域是 y 变化的范围而不是 x 的变化范围，同时映射关系是复合映射 f×g，而不是 f．】

这句话是非常明确的。其中讲的【无论你怎么限制和改变它的定义域】，讲的当然只是对定义域的限制和改变。限制和改变后当然还是函数的定义域，只不过是定义域的改变而已。可师先生却说【我怎么限制和改变【任何一个函数 y=f (x)】的定义域您就阻挡不住了！根据〖函数的定义知，函数式相同、定义域不同的函数也非同一个函数〗的知识知，我限制和改变了函数 y=f (x)的定义域后，函数 y=f (x)就肯定成为一个新函数而不再是原来的函数 y=f (x)了！那么这个新函数相比于旧函数来说，是定义域变了、还是函数式变了、或是定义域和函数式都变了？】

在这里师先生又陷入了一片逻辑的混乱，任何一个函数，改变了定义域，形成一个新的不同函数，当然只能是定义域变了，函数关系不变，怎么还能问【是定义域变了、还是函数式变了、或是定义域和函数式都变了？】

师先生后面举的正反函数的例子，令x=g(x)，是复合函数的例子，根本就不是对定义域的限制和改变。这些都不能成为反驳我上面这段话的依据。

(四)，复合函数不是由f(x)【变成的】，而是由f(x)和g(x)一起共同复合而构成的。

师先生概括了一长段话，问我是否有错。这段话是·

【函数 y=f (x) [设该函数的标号为 1]中的 x 是函数 y=f (x) [标号为 1]的自变量时，函数 y=f (x) [标号为 1]才是函数 y=f (x) [标号为 1]．在用函数 y=f (x) [标号为 1] 组成复合函数时，为求复合函数的映射 f ×g，按复合函数的定义，才令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y)．一旦令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y)后，函数 y=f (x) [标号为 1] 就变成一个新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 2}了．这个新函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}中的 x 就已不是这个新函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}的自变量了，此时的新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 2}的自变量是 y 不是 x，x 是新函数即复合函数 y=f (x)[x=g (y)]{标号为 2}的中间变量.也就是说，令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y) 后，函数 y=f (x) [标号为 1]就变成复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}即 y=h (y)而不再是旧函数 y=f (x) [标号为 1]了．】

这里有两个问题。

第一，复合函数是由两个函数构成的，y=f(x)标号为1，另一个函数x=g(y)标号为2，构成的复合函数标号为3。所以上段中所有把复合函数称为[标号为2]的，应改为[标号为3]。不能故意忽视标号为2的函数x=g(y)的存在。把【在用函数 y=f (x) [标号为 1] 组成复合函数时，】应改为【在用函数 y=f (x) [标号为 1] 和函数x=g(y)[标号为2]共同组成复合函数[标号为3]时，】

第二，这是最严重的错误。复合函数不是由f(x)【变成的】，而是由f(x)和g(x)一起共同复合而构成的。所以上段有两处中的【一旦令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y)后，函数 y=f (x) [标号为 1] 就变成一个新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 2}了．这个新函数...】，应改为【一旦令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y) [标号为2]后，函数 y=f (x) [标号为 1]同函数x=g(y)[标号为2] 就共同组成了一个新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 3 }．这个新函数...】。

【令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y) 后，函数 y=f (x) [标号为 1]就变成复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}即 y=h (y)而不再是旧函数 y=f (x) [标号为 1]了．】应改为【令函数 y=f (x) [标号为1] 的自变量 x=g (y) [标号为2] 后，函数 y=f (x) [标号为 1]就同函数x=g(y)[标号为2]共同组成了一个新的函数-复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为3}即 y=h (y)了．它既不是函数 y=f (x) [标号为1]，也不是函数x=g (y) [标号为2]。】

师先生终于最后说出了他想得出的结论：【组成复合函数 y=f (x)[x=g (y)]{标号为3 }的函数y=f (x)[标号为1]就与复合函数y=f (x) [x=g (y)] {标号为 3 }即 y=h (y)是同一个函数了．】

显然指出师先生的概括的错误，作了政正，就使师先生的企图混淆函数f(x)和复合函数的的梦想彻底落空了。

为什么师先生总要把复合函数[标号为3 ]同构成复合函数的两个函数之一的f(x)[标号为1]故意搞混，千方百计地把这两个不同标号的函数说成是【同一个函数】呢？就是想把它们的微分变量dy③和dy①搞混。为他制造的二代微积分的矛盾寻找依据。师先生的这段话已充分地暴露了他的意图。当我们揭穿了他的这个错误之后。他的这样的计划就彻底破产了。这才是我同师先生争论的核心所在。

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录