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Zmn-0428 薛问天:从概念上区别复合函数同构成复合函数的函数。评师教民先生《0419》

已有 1709 次阅读 2021-1-29 20:12 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0428 薛问天:从概念上区别复合函数同构成复合函数的函数。评师教民先生《0419》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生的《0419》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

从概念上区别复合函数同构成复合函数的函数。

评师教民先生《0419》

 

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg有人不明白,问薛问天先生,你同师教民先生在争论什么问题?其实说來也很筒单。

师先生混淆了函数y=f(x)的因变量微分dy①同复合函数y=h(y)=f[g(y)]的因变量微分dy③。为了寻找依据,于是就从概念上混淆复合函数同构成复合函数的函数的区别。我们现在争论的就是他最近公然提出的【依据】。

他的观点是【y=f (x) [x=g (y)]符合以 x=g (y)为定义域的函数 y=f (x)的定义,】而且【函数 y=f (x) [x=g (y)] 也是以 x=g (y)为定义域的函数y=f(x)。】他这里指的函数的定义,是所谓的【解析式型的函数定义:】,按照师先生的说法,【解析式型的函数定义分为函数式和定义域两部分.前边的部分是函数式;后边括号内的部分是定义域,即是函数的自变量的取值范围。】

于是师先生观点是,由函数f和g构成的复合函数f(x)[x=g(y)],是以f(x)为函数式,以函数x=g(y)为定义域的解析式型的定义的函数f(x)。

围绕着师先生的这个观点,我们有四点争论,这四点争论是:

(一),用函数x=g(y)作为定义域,符合不符合解析式型的函数定义。

(二),复合函数 y=f (x) [x=g (y)].是不是用解析式型定义的函数 y=f (x)

(三),限制和改变函数的定义域,能否改变函数关系。

(四),复合函数是由f(x)和g(x)【一起复合构成的】,还是由f(x)【变成的】。

这四点争论,相应于我《0408 》和师《0419》 的2,3,4,5讨论的内容。现针对这四个问题继续阐明我的观点,并对师先生的错误论点分别评论如下。

 

(一),用函数x=g(y)作为定义域,不符合解析式型的函数的定义。

以函数作为【定义域】,不符合解析式型的函数定义。因为【定义域】只能是集合不能是函数。

1),函数的值域是集合,但函数本身不是集合。所以可以用函数的值域作为定义域,但不能以函数本身作为定义域。毕竟函数不等于函数的值域,不是集合。

2),①,师先生所举的I,II,III,IV,四种定义域的表达式,表达的都是集合,所以符合解析式型的定义。而且II,III,IV都可以用x∈A的形式表达。我们判断是否符合定义的标准并不在于用的是什么符号,如等号不等号等。在于它表达的是计么,如果表达的是集合,则符合定义要求,如果表达的不是集合则不符合。例子III,IV中用等号表达的是集合,则符合定义要求,而师先生用等号表达是函数x=g(y),则不符合定义要求。因为定义要求在【定义域】一栏中要填写的是一个集合,而不是一个函数。

        ②,师先生所述, y=f (x)当设 x=y (0≤y<+∞),这时从概念上讲,已形成由y=f(x)和等值函数y=x构成的复合函数y=f[x=y],而不是,也不能由在解析式型的函数定义的【定义域】中填写等值函数y=x来完成。因为定义域只是x的取值范围的规定,不是自变量的规定。

换自变量,除了用复合函数的方法外,还可以考虑用下述定理來解释。

换元定理: 两个函数y=f(x),s=f(t),如果函数关系(映射)f相同而且x,t的定义域相同,则认为是同一个函数。

当然换元要公开申明是换元,而不是定义域的变化。:

3),在定义域中填Rg符合定义要求,但不是师先生的原意。

    ①,我说的一点也没错,对于一般的复合函数的f和g【只要求 Rg⊆Df,并不要求 Rg=Df】,如果要求Rg=Df,自然是错误的。而正反函数是特殊的复合函数,特别要求Rg=Df,当然也没错。

    ②,在解析式型定义的定义域中填Rg,y=f(x)(x∈Rg),当然符合定义的要求,是正确的。但並不是师先生的原意。因为它不等于师先生心目中的,所定义的复合函数,而是原原本本的f(x)。

 

4),师先生常常在概念上是混乱的。要知道所谓【解析式型】只是一种函数定义的表达方式,一种定义形式,并不是函数的类型,师先生竟然说什么某某函数【是解析式型的函数】。这充分暴露了只会帽子滿天飞,给别人扣帽子的师先生,只不过是自己【没有读懂或没有学会】。

 

(二),任何用解析式型定义的函数 y=f (x),都不是复合函数 y=f (x) [x=g (y)].

从师先生的回答看,他根本就没有弄清或故意搅混我们讨论的问题。我们讨论的是,有两个函数,一个是无论定义域中填写怎样的集合,以f(x)为函数式的解析式型定义的函数f(x)。另一个是由f(x)和g(y)构成的复合函数。这两个函数有没有可能是同一个函数。我认为不可能,因为函数的自变量不同,定义域不同和函数关系不同。

1),由解析式型定义的函数f(x)的自变量是x,而复合函数的自变是是y不是x,x只是它的中间变量而不是自变量。因而这两个函数的自变量不一样。这有什么可置疑的。

2) ①,以f(x)为函数式的解析式型定义的函数f(x),当然是有定义域的。我的论断是无论此定义域是什么集合,所定义的函数都不可能是由f和g构成的复合函数。

    ②,函数式就决定了函数关系(映射),函数f(x)的函数关系是f,而复合函数的函数关系(映射)是f·g,显然不一样。而师先生竟然把复合函数的函数关系(函数式)说成是f,同f(x)【完全相同】,这绝对是错误的。

3),①.,师先生说【薛问天先生为什么不敢承认函数 x=g (y) 的值域是组成复合函数...的函数 y=f (x) 的定义域呢?】师先生的智商不会这么低吧!我早已说过对于互逆的正反函数f和g要求Df=Rg。按照这个符号的意思就是函数g的值域等于函数f的定义域。怎么叫【不敢承认】?

     ②,我己说过多遍「由解析式型定义的函数f(x)的自变量是x,而复合函数的自变量是y不是x,x只是它的中间变量而不是自变量。因而这两个函数的自变量不一样。」

4),①,师先生说【我已经驳倒了薛问天先生说的〔自变量不同,定义域不同,函数的映射也不同」。这完全是师先生的一厢情愿。怎么能驳倒。函数f(x)的自变量是x,复合函数的自变量是y,怎么能相同。函数f(x)的函数关系是f,复合函数的函数关系是f·g,怎么能相同。函数f(ⅹ)的定义域是x的变化范围,复合函数的定义域是y的变化范围,一般也不相同。所以由解析式型定义的函教f(x)不可能是由f和g构成的复合函数。

    ②.,实际上师先生讲的 I 是不对的,解析式型定义的函数 y=f (x)是组成复合函数的两个函数中的一个函数,这个解析式型定义的函数 y=f (x),根本就不可能是由f和g构成的复合函数 。在这里师先生把由f和g构成的复合函数,同构成复合函数的两个函数之一的f混为一谈了。

    ③,不知师先生在这里玩的是什么文字游戏。师先生说的【解析式型函数 y=f (x)是组成复合函数 y=f (x)[x=g (y)]的函数】同【薛问天先生却硬说〔师先生所说的【由解析式型函数定义的函数 f (x)】就是【组成复合函数 y=f (x) [x=g (y)]的函数 y=f (x)】】有什么区别。怎么就成了【强加】的了。简直不知所云。

 

5),见(四)。

 

6),师先生所说的从复合函数 y=f (x)[x=g (y)]的角度观察,f 是函数关系,x 是自变量,x 随着 g (y) 里的 y 的取值而取的值的范围是定义域.】是错误的,不符合事实,复合函数的函数关系为f×g,自变量为x。同一个函数怎么会有不同的函数关系,不同的自变量.

师先生说【按照薛问天先生的说法,解析式型函数 y=f (x)和复合函数 y=f (x)[x=g (y)]因为函数关系分别为 f 和 f×g 而不同,所以解析式型函数 y=f (x)和复合函数 y=f (x) [x=g (y)]不是同一个函数.

但是,我们保持上述的复合函数 y=f (x) [x=g (y)]和解析式型函数 y=f (x)的函数关系不变,只是将解析式型函数 y=f (x)的定义域增加上 x=g (y)的内容,即令自变量 x 的取值范围和 g (y)的取值范围相同,从而使它成为 y=f (x) [x=g (y)].那么,尽管它们的函数关系还是因为分别是 f 和 f×g 而不同,但是因为解析式型函数 f (x) [x=g (y)]=复合函数 f (x) [x=g (y)],从而使得解析式型函数 f (x) [x=g (y)]和复合函数 f (x) [x=g (y)]就成为同一个函数了.

事实上把解析式型函数 f (x) [x=g (y)]中的 x=g (y)代入解析式型函数 y=f (x)里得函数 y=y,把复合函数 f (x) [x=g(y)]中的 x=g (y)代入复合函数 f (x) [x=g (y)]的 f (x)里得函数 y=y,这样,解析式型函数 f (x) [x=g (y)]和复合函数 f (x)[x=g (y)]就都成为 y=y 而使得函数关系、自变量、定义域都相同、而完完全全地、彻彻底底地成为同一个函数了.

这一长段文字是典型的逻辑混乱的诡辩。师先生既然承认【它们的函数关系还是因为分别是 f 和 f×g 而不同】,就应该立即得出它们不是同一函数的结论。可又诡辩说【保持...函数关系不变,只是将解析式型函数 y=f (x)的定义域增加上 x=g (y)的内容,即令自变量 x 的取值范围和 g (y)的取值范围相同,从而使它成为 y=f (x) [x=g (y)]】这根本就是师先生的主观臆想,保持函数关系不变,使f(x)的定义域为Rg(薛注。本來就要求Df等于Rg),并不能使f(x)成为复合函数。因为定义域只能规定x的取值范围,不能【增加上x=g(y)的内容】改变函数关系使f成为f·g,使函数f(x)成为复合函数,【就成为同一个函数了】。这是严重的逻辑混乱。

至于后面说的【代入】操作,这是构成复合函数的方法。它并不是解析式型定义函数的方法。一经代入.就是复合函数而不是函数f(x)了。

 

7),正反函数都必须是单值函数.

这是数学的基本常识,凡指函数皆指单值函数。只有在特殊用到多值函数的概念时,需要特别声明所指是多值函数。

在复合函数,正反函数,可导函数,连续函数,......等包括函数本身的定义中未提及是多值函数,就意味着它们都是单值函数:。

 

(三) ,函数f(x)的定义域,既使因受到约束和限制而改变,只要它是个集合,仍然是自变量x的变化范围,它就仍然是函数f(x)的定义域。函数f(x)仍然是个独立的函数。函数 f 的定义域 Df受到 Df⊇Rg或 Df=Rg的限制,但它仍然是独立的函数.

1),回答师先生提出的两个问题。

师先生问【当【函数 y=f (x)的自变量 x,不能在其定义域中任意取值】时,该函数 y=f (x)还是【独立的函数】吗?

回答很明确,不是【独立的函数】,而且就不是函数。因为凡是函数都有自变量,函数的自变量之所以称为自变量,它必须在它的定义域中自由任意取值。不存在沒有在它的定义域中自由取值的自变量的函数。

 

师先生又问【假如我们对函数 y=f (x)的自变量 x 做一下限制,即要求自变量 x 按照 x=g (y)=2y 的规律取值.例如,当 y 取 1 时,x 就必须取 2 而不能任意地取 4,5,6 等值;当 y 取 2 时,x 就必须取 4 而不能任意地取 7,8,9 等值.此时,不能任意地取值的函数 y=f (x)还是【独立的函数】吗?

答案也很明确,不存在这样的自变量x【不能任意地取值的函数 y=f (x)】,这样的f(x),它已不是函数。自然也就不是而且也不存在这样的【独立函数】。师先生说的情况,一旦令这:x=g(y),就形成了由f和g共同构成的复合函数。此复合函数当然不是f(x),而是以y为自变量的函数,y可以在它的定义域中任意取值。

 

2),我说的这句话没有错:【任何一个函数 y=f (x),无论你怎么限制和改变它的定义域,只是自变量 x 的变化范围进行了改变,它的自变量仍然是 x,自变量是 x 是不会变成 y.映射关系也是不会变的,仍然是 f 而不是 f×g.而复合函数的自变是 y 不是 x,它的定义域是 y 变化的范围而不是 x 的变化范围,同时映射关系是复合映射 f×g,而不是 f.】

这句话是非常明确的。其中讲的【无论你怎么限制和改变它的定义域】,讲的当然只是对定义域的限制和改变。限制和改变后当然还是函数的定义域,只不过是定义域的改变而已。可师先生却说【我怎么限制和改变【任何一个函数 y=f (x)】的定义域您就阻挡不住了!根据〖函数的定义知,函数式相同、定义域不同的函数也非同一个函数〗的知识知,我限制和改变了函数 y=f (x)的定义域后,函数 y=f (x)就肯定成为一个新函数而不再是原来的函数 y=f (x)了!那么这个新函数相比于旧函数来说,是定义域变了、还是函数式变了、或是定义域和函数式都变了?

在这里师先生又陷入了一片逻辑的混乱,任何一个函数,改变了定义域,形成一个新的不同函数,当然只能是定义域变了,函数关系不变,怎么还能问【是定义域变了、还是函数式变了、或是定义域和函数式都变了?

师先生后面举的正反函数的例子,令x=g(x),是复合函数的例子,根本就不是对定义域的限制和改变。这些都不能成为反驳我上面这段话的依据。

 

(四),复合函数不是由f(x)【变成的】,而是由f(x)和g(x)一起共同复合而构成的。

师先生概括了一长段话,问我是否有错。这段话是·

函数 y=f (x) [设该函数的标号为 1]中的 x 是函数 y=f (x) [标号为 1]的自变量时,函数 y=f (x) [标号为 1]才是函数 y=f (x) [标号为 1].在用函数 y=f (x) [标号为 1] 组成复合函数时,为求复合函数的映射 f ×g,按复合函数的定义,才令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y).一旦令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y)后,函数 y=f (x) [标号为 1] 就变成一个新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 2}了.这个新函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}中的 x 就已不是这个新函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}的自变量了,此时的新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 2}的自变量是 y 不是 x,x 是新函数即复合函数 y=f (x)[x=g (y)]{标号为 2}的中间变量.也就是说,令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y) 后,函数 y=f (x) [标号为 1]就变成复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}即 y=h (y)而不再是旧函数 y=f (x) [标号为 1]了.

这里有两个问题。

第一,复合函数是由两个函数构成的,y=f(x)标号为1,另一个函数x=g(y)标号为2,构成的复合函数标号为3。所以上段中所有把复合函数称为[标号为2]的,应改为[标号为3]。不能故意忽视标号为2的函数x=g(y)的存在。把【在用函数 y=f (x) [标号为 1] 组成复合函数时,】应改为【在用函数 y=f (x) [标号为 1] 和函数x=g(y)[标号为2]共同组成复合函数[标号为3]时,

第二,这是最严重的错误。复合函数不是由f(x)【变成的】,而是由f(x)和g(x)一起共同复合而构成的。所以上段有两处中的【一旦令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y)后,函数 y=f (x) [标号为 1] 就变成一个新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 2}了.这个新函数...】,应改为【一旦令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y) [标号为2]后,函数 y=f (x) [标号为 1]同函数x=g(y)[标号为2] 就共同组成了一个新函数 y=f (x) [x=g (y)]{标号为 3 }.这个新函数...】。

令函数 y=f (x) [标号为 1] 的自变量 x=g (y) 后,函数 y=f (x) [标号为 1]就变成复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}即 y=h (y)而不再是旧函数 y=f (x) [标号为 1]了.】应改为【令函数 y=f (x) [标号为1] 的自变量 x=g (y) [标号为2] 后,函数 y=f (x) [标号为 1]就同函数x=g(y)[标号为2]共同组成了一个新的函数-复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为3}即 y=h (y)了.它既不是函数 y=f (x) [标号为1],也不是函数x=g (y) [标号为2]。

师先生终于最后说出了他想得出的结论:【组成复合函数 y=f (x)[x=g (y)]{标号为3 }的函数y=f (x)[标号为1]就与复合函数y=f (x) [x=g (y)] {标号为 3 }即 y=h (y)是同一个函数了.

显然指出师先生的概括的错误,作了政正,就使师先生的企图混淆函数f(x)和复合函数的的梦想彻底落空了。

为什么师先生总要把复合函数[标号为3 ]同构成复合函数的两个函数之一的f(x)[标号为1]故意搞混,千方百计地把这两个不同标号的函数说成是【同一个函数】呢?就是想把它们的微分变量dy③和dy①搞混。为他制造的二代微积分的矛盾寻找依据。师先生的这段话已充分地暴露了他的意图。当我们揭穿了他的这个错误之后。他的这样的计划就彻底破产了。这才是我同师先生争论的核心所在。




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