Zmn-1218 李鸿仪 : 无限大长方矩阵与集合论

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无限大长方矩阵与集合论

 李鸿仪  Leehyb@139.com

科学研究和工程设计中比比皆是的无限大长方矩阵是指行数和列数都是无限的，且行数与列数不相等的矩阵。比如，若一个矩阵的行数不断增加且趋于无穷，列数也不断增加且趋于无穷，但两者增加的速度不同，最终使得该矩阵在无限的情况下，行数和列数不相等，那么这个矩阵就是无限大长方矩阵。

      例如，对于二进制小数，n位小数有m=2n个小数。当n→∞时，可形成一个mxn的长方形矩阵，且这个矩阵的宽（列标数）长（行标数）比趋于0，是无限狭长的。

       对任何矩阵，无论是行标还是列标都是自然数，因此，以小数位数为列标，小数个数为行标组成的无限大长方形矩阵的存在直接证明了:

      ①小数个数与行标集这一自然数集合一一对应即实数可数，

      ②小数位数与列标集这一自然数集合一一对应即小数位数可数

     ③由于长方形矩阵的行标集和列标集都是自然数集但并不相同，所以自然数集合不是唯一的。

      数学史必须重新改写？

      事实是最好的理论家。在事实面前，以往很多被尊为圣典的理论都变得十分愚蠢可笑。例如，众所周知，对角线只存在于有限或无限大的正方形矩阵中。由于小数位数即列数相同，所以上述无限大长方形矩阵与其包含的无限大正方形矩阵的宽相同，但所列出的实数即行数大不相同：与无限大长方形矩阵的行数比较起来，无限大正方形矩阵的行数犹如沧海之一粟，微不足道，但康托居然认为该微不足道的矩阵中已经列出了所有的实数，从而造成了人为的矛盾并建立他所谓实数不可数理论。^【1】

再例如，虽然自然数集合的定义是唯一的，但是由于自然数集合的元素是无穷无尽的，只能不断增加，而增加的速度又不一定一样，所以实际上看到的自然数集合并不唯一，比方说无限大长方形矩阵中的行标和列标都是自然数集合，但显然不同。这样康托建立在自然数集合唯一性基础上的理论全部崩塌，由该错误理论而造成的大量悖论，比如有理数既和自然数一样多，又比自然数多；偶数既和自然数一样多，又比自然数少；部分既小于又等于全体；一维空间和二维甚至多维空间的实数点数相同；一个无限旅馆可以既客满又不客滿......等等当然也都消失不见了。

剥去了所有光怪陆离又荒诞不经的反直觉的错误和悖论，真理才会崭露英姿。

在真理面前，最直接的受益者是未来的学生们:数学将变得简单易学，而且也不需要再为那些错误的东西无谓地耗费脑汁、并进而把自己的脑子搞坏:任何一个把错误当作真理的人哪里还会认识真正的真理啊？

在真理面前，未来的数学家们也是受益者，他们将不再被悖论所困，可以有更多的精力去做更有意义的事情。

在真理面前，最大的受益者是全人类，学生们和数学家们不再被错误误导，就会变得更加聪明，全人类当然受益。

然而，有的数学家或许会感到恐慌:不但他们心目中的神如康托，罗素，希尔伯特和戴德金一个个走下了神坛，而且他们所赖以生存的饭碗可能也会不保。

其实他们搞反了。如果数学中的一切都是那么完美，他们除了无聊地唱赞歌以外，还有什么事可做呢？相反，数学中存在错误，他们才有正经事可干:很多领域需要推倒重来，必然需要大量的数学家来做具体的工作，"就业岗位"当然会更多。

当然，那些毫无批判性思维能力、无原则地以维护错误为天职的人，比如说薛问天们，是否应该重新考虑一下自己的人生意义并改弦易辙或改弦更张了？ 毕竟，坚持错误是没有出路的。

包括知乎在内所有出版单位中的保守派们，是否也应该改变自己毫无逻辑判断力，只认书本知识、反对创新的错误政策取向了？

如果石器时代就有出版物且出版政策就是保守的，那么我们现在可能还停留在石器时代。

病树面前万木春。数学家们携起手来，向人类思维的更高峰前进吧！

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 ^【1】 事实上，对于以0~1之间的实小数为元素的集合A，随机任取A内的某一实数，将其与自然数集中的1对应，再任取A内的另一实数，将其与自然数集中的2对应......上述方法可以一直延续下去......在上述方法中，我们找不到任何一个实小数是不能用随机方法取到的，所以任何一个实小数都是可以对应到某一个自然数，同时实小数集中任意不同的两个实小数，都对应不同的自然数，这样就存在着实小数集到自然数集的单射；另一方面，我们也找不到任何一个自然数是无法与某一实数对应的，这是因为，实小数是无限多的，因此对于任何一个自然数，总会有一个实小数与其对应。这样我们就证明了用上述方法建立的从实小数集到自然数集的单射就是满射。即证明了实小数是可数的。

这里需要注意两个问题，①取一个数并不是取一个指定数值的数，而是取任意数值的数，只要取到的数和以前取到的数不重复就可以，如果重复的话可以重新取；②这个过程是永远不会完成的，这个很自然，就是自然数或有理数，我们也永远取不完，更不要说实数了，也就是说总会有一些实数是我们还没有取到的，但只要我们能保证不存在一个数是永远取不到的，就等于保证了任意一个数都是能取到的，这就足够了。

任何试图证明实数不可数的企图都不会成功，即使“证明”了， 也必然存在错误(例如康托的对角线论证)。

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