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Zmn-0425 薛问天：关于理解微分概念的问题14项，答新华先生的《0417》

已有 1736 次阅读 2021-1-25 09:07 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0425 薛问天：关于理解微分概念的问题14项，答新华先生的《0417》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对新华先生的《0417》文章的答复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

关于理解微分概念的问题14项，

答新华先生的《0417》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-s.jpg 这里关于理解微分概念的问题14项，是逐一对应回答新华先生的《0417》。大家可以对照原文来读。

1，对导数，微分的概念给出的严格的定义，就是相应概念的符号dy/dx=f'(x)和dy,dx的严格定义。

现行微积分即第二代微积分，继承了第一代微积分的基本思想，方法。同时也保留了很多概念的名称，如导数，微分等等。同时也延用了表示这些概念的符号，如导数dy/dx=f'(x)，微分dy,dx等。但是第一代微积分，由于没有引入极限概念。它的理论系统是有问题的。众所周知，由于说不清dx表示的无穷小是什么，从而存在着无穷小既等于0，又不等于0的【贝克萊悖论】。因而在第二代微积分中对导数和微分等基本概念都给出了严格的定义。这些对导数，微分的概念给出的严格的定义，就是导数概念的符号dy/dx=f'(x)和微分概念符号dy,dx的严格定义。所以说新华先生说【微分符号dy、dx和积分符号 ʃ 是莱布尼兹引入的符号，没有改变，因此表明这些符号已经有了确定的含义或者定义，没有必要重新定义。 】就不妥当了。符号是标记概念的，概念都重新严格定义了，相应的符号的含义也随之严格定义。怎么能说【符号已经有了确定的含义或者定义，没有必要重新定义。】

2，有【极限思想】并不等于有【极限理论】。

这里的【极限思想】【极限理论】有一个关键区别，在于理论要有严格的定义。第一代微积分的问题在于，导数和微分的定义是不严格的，是有矛盾的。有了极限理论后才使导数和微分有了严格的定义。因而新华先生认为【无论牛顿的∆y,∆x，还是莱布尼兹的微分符号dy,dx和积分符号 ʃ，表明都有本身确切的含义和定义。】是不对的。这些符号同它所表示的概念是连在一起，密不可分的。正是由于第一代微积分所表述的导数和微分概念及其所用的符号∆y、∆x，和微分符号dy,dx，定义不严格，含义不明确，才导致贝克萊悖论的存在。新华先生讲的不符合历史事实，在那个年代哪有∆y,∆x和dy,dx【确切的含义和定义】。请新华先生拿出事实來，说说它们都是怎么确切定义的？同我们现在的定义相同还是不同？

3，数学定义为数学概念提供了的确切含义，但仅仅了解概念的确切含义是不够的。

当然，学习数学概念，除了知道它的确切含义外，还要了解概念的直观含义，也就是说，要了解它反映的客观现实或应用领域中的哪些对象和模型的规律。深入学习数学还要了解它的概念和思想的形成过程和发展历史。不过我强调的是，数学定义为数学概念提供的确切含义，是完全的、充分的。

另外，定义和定理不同，它只是一种约定，它不需要说明理由，更不需要证明。唯一能对定义提出的挑战和质疑，是看它是否同理论的其它部分发生冲突，产生矛盾。如果定义在该系统中是自恰的。定义就不能认为有错。

各个数学理论都是由公理、定义、定理、证明等组成的:。定义只是理论的一个环节。系统的自恰，即无矛盾性(也称一致性、协调性)是一个理论的最重要的特性。当然讨论一个系统是否反映现实，是否有用，也是大家经常议论的话题。不过在作出一个结论说某某理论系统不反映现实没有用时，要特别慎重，因为理论在你所说的现实中可能不适合没有用，并不等于在你还没有涉及的现实中是适合的是有用的。例如非欧几何，内角和不等于360度，在常见的现实空间中不适合，但在特定解释下的现实空间中又是完全合适的。

4，不要把不同系统的东西搅在一起，引起概念混乱。

我完全同意新华先生说的这句话【我建议，不要把与我们讨论的不同系统的东西引进来参加讨论，会造成概念混乱】

而新华先生把程序语言中的等号【引进來参加讨论】就是典型一例。在程序语言的赋值语句中x=x+1的意思是把程序变量x的当前值加1后再赋给变量x，这是个赋值语句，根本不是函数，也不是通常意义下的等式。同我们数学上的无解方程x=ⅹ+1根本是两回事。

新华先生竟然说【在数学中就是悖论】。这根本不是什么悖论，而是新华先生自己:【把与我们讨论的不同系统的东西引进来参加讨论，】所【造成概念混乱】！

另外程序语言中的x=x是个赋值语句，经常作空循环时使用。不是【等值函数】，风马牛不相及，拿來作对比毫无意义。

等值函数y=I(x)=x，当然是数学中的函数。在定义自变量的微分时，把自变量x本身看作是x的等值函数x=I(x)=x。只要说明左边的x是函数因变量，右边的x是函数的自变量，这完全是可以允许的。

5，关于自变量微分dx=Δx。

对于自变量微分dx=Δx，是由微分的定义所决定的，并不是新华先生所说【按照y=x可以推出dx=∆x】。由函数y=x只能推出该函数因变量的微分dy=Δx，同样由函数y=kx也只能推出该函数因变量的微分dy=kΔx，这些都推不出函数自变量的微分dx=Δx。自变量微分dx=Δx，是由微分的定义所直接定义的。在另一种自变量微分的等价定义中，把自变量x看作是x的等值函数x=I(x)=x，把自变量的微分定义为这个等值函数的因变量的微分dx=I'(x)Δx=Δx。结果相等，都是dx=Δx，定义等价。

6，复合函数的问题迴避不了。

这不是你想不想引入复合函数的问题。复合函数的问题是迴避不过的。很多人就是在复合函数中，混淆了因变量微分同自变量微分的区别，从而提出了dx=Δx和dx≠Δx的矛盾。所以必须讨论复合函数的复杂情况。才能真正彻㡳地澄清这些基本概念。

7，关于导数的定义和微分的定义。

原來新华先生对导数的定义和微分的定义的态度，不是【厚此薄彼】，而是【信此疑彼】。对微分定义的看法不同，产生的质疑，认为它【同导数的定义不一致】。那就应直入主题，看有哪些不一致。

新华先生并未引用微分的定义，而是引用了一个所谓【微分算子】。说【微分算子d也起着限制x的取值范围，既然x=x0，表明在x0点x的值是唯一的，它们是相等关系，即dx为定值，】新华先生认这同它所论述的在导数定义中x=x0点的Δx是个变量相矛盾。既使新华先生的这段论述成立，那也只是说明导数定义同新华先生的所谓【微分算子】的说法相矛盾。而不是同微分的定义相矛盾。

按照真正的微分的定义，在x=x0点的微分dy=f'(x)Δx，dx=Δx，dy,dx是Δx的函数就是个变量，同Δx的属性一致，哪里來的微分定义【同导数的定义不一致】？

新华先生所谓的【微分算子】实际上是他对微分概念的错误理解，不能作为推论的根据。我己多次指出，由在ⅹ=ⅹ0点的导数dy/dx是定值，推不出dy,dx是定值。在x=x0点Δy,Δx是变量，在x=x0点dy,dx也是变量。

8，在第二代微积分中，所有的概念己经统一。

在第二代微积分中，导数，微分，积分都有统一的确定的定义。符号及其含义也都是统一的和一致的。并没有分牛顿的积分和萊布尼兹的积分。积分的定义只有一个，都需要通过极限概念严格定义。说什么牛顿的积分是极限分析的过程，而萊布尼兹的积分是个直接给出结果，它们是因果关系，...等。这都是新华先生个人的理解。在第二代微积分中没有这些内容，没有不用极限而直接表达的积分。我们讨论问题要以现行的第二代微积分中内容为准。从这些内容的分析得不出【∆y、∆x与dy、dx的属性是不同的，】的结论。

9，误解了自变量微分的等价定义，

新华先生说【而现行微积分用特殊情况y=x这一特殊情况的结论dx=∆x去代替一般情况下dx与∆x的关系，显然是违背探讨事物发展规律原则的，...】把自变量x看作是它自己的函数，当然是个特殊函数(等值函数)，怎么能是【特殊代替一般】呢？

新华先生说【在第一代微积分中已经有了微分定义又进行重新定义，】这显然不符合事实，正是没有严格的定义才给出定义。你说有，拿出來大家看看！

新华先生说【微分定义：dy=f′(x)∆x，这样定义的微分显然不能进行积分，只有dy=f′(x)dx才能积分。】这问得真是莫明其妙。按照自变量微分的定义dx=Δx，不是刚好dy=f′(x)∆x =f′(x)dx吗，还问个什么？

10，第一代微积分沒能给出微分dy,dx的确切的定义。

新华先生的这段(第十段)正好说明第一代微积分沒能给出微分dy,dx的确切的定义，说不清dx是什么。只有在第二代微积分中才给出微分的确切严格的定义。

导数的严格定义的物理解释是，导数是运动物体某点的瞬时速度，瞬时速度是该点附近点的平均速度的极限。Δs,Δt是物体实际运动的位移和时移，而微分ds,dt则是按该点的瞬时速度作勻速运动的位移和时移。

11，关于微分dy,dx的几何解释。

新华先生至今还沒有认识到微分dy,dx的几何解释「是切线上的函数增量和自变量增量，」他说【如果这样认为，就不应该通过求∆y⁄∆x的极限去求dy⁄dx，就应该根据函数y=f(x)在点(x，y)直接去求dy和dx，去求切线斜率dy⁄dx，确定y=f(x)在点(x，y)处的变化率不是更简单吗？】新华先生想的太筒单了，你怎么直接去求dy,dx？你求求看。还是得先求出斜率(导数)才能求出dy,dx。因为dy=f'(x)Δx。

至于说【我们研究的是y=f(x)在点(x，y)处的变化率，不是研究切线，结果更不是研究切线与割线对应∆x的取值∆y与f′(x)∆x的大小关系，】这只是新华先生个人的看法，并不是微积分学实际的本意，微分是线性主部，就是探讨线性函数和曲线函数之间的关系。

按照新华先生的解释，他所说的【如果dx发生变化，dy也随之变化，dy⁄dx也随之变化，】，应该改写为「我们所求的导数dy/dx=f'(x)和微分dy,dx，都是针对x的某个点而求的。当这个点变化时，相应的导数dy/dx=f'(x)的值也随之而变。因而微分dy=f'(x)Δx作为Δx的线性函数，它的系数也相应改变。但dx=Δx这个关系并不改变。」说清楚了不会引起分歧和麻烦。

在这里还需要说明一点。仅仅认识到Δy,Δx的几何解释是所论曲线的函数增量和自变量增量，Δy=f'(x)Δx+o(Δx)。微分dy,dx的几何解释是该点切线上的函数增量和自变量增量，dy=f'(x)dy，是不够的。还要认识到这两条线上的这两套增量，并不是互不相关，独立变化的。我们规定这两套增量必须是同步变化。即dx=Δx，dy=f'(x)Δx。这样才能真正搞清微分dy是Δy的「线性主部」的确切关系。

两套增量各自有自己的符号，这很正常。为了使它们同步，令dx=Δx，这样的概念非常清晰。只要认识清楚，不会产生任何歧义和麻烦。

12，关于微分算子，

新华先生对「:微分算子」的理解是错误的。「微分算子」并不是对「微分变量」而言的。「微分算子」的对象并不是x，y，并不是形成「微分变量」dy、dx的算子。

「微分算子」中的微分二字不是指的「微分变量」，而是指「微分运算」。通常是把求函数f(x)的导函数f'(x)的运算称为「微分运算」。于是「微分算子」是指由原函数f(x)到导函数f'(x)的映射，D(f)=f'。「微分算子」的作用对象是原函数，作用的结果是导函数。这同「微分变量」的形成没有直接关系。与此相逆的「积分算子」，它是由导函数到原函数的映射。

新华先生的错误在于，【硬要把微分算子D，同求微分变量联在一起】，认为微分变量dy,dx是「微分算子」作用到函数上而形成的。才错误地认为【所谓“自变量的微分”严格说来是没有意义的。】实际上自变量的微分和因变量的微分都有严格的定义，都是有意义的。

关于这个「微分算子」究竟是什么的问题，不是观点问题，不需要争论，是个名词解释，简单地查一查就清楚了。一查便知，一目了然。

13，两个定义是等价的，是什么意思。

两个定义是等价的，是说同一个概念有两种定义，它的方法不同，但是可以证明所定义的结果是相同的。例如有理数的定义，一个是「如果存在整数m和n，使a=m/n，则称a是有理数。」另一个是「如果存在互素的整数m和n，使a=m/n，则称a是有理数。」显然这两个定义的方法是不同的，但是结果相同，即由第一种定义的有理数也满足第二个定义，反之亦然。所以称这两个定义是等价的。

同理关于自变量的微分，「把Δx称为自变量的微分，即dx=Δx。」另一种是「把自变量x看作是x的等值函数x=I(x)，把x=I(x)的因变量的微分定义为自变量的微分dx，即dx=I'(x)Δx。」显然由于I'(x)=1，所以两个定义的结果都是dx=Δx。因而说这两个定义是等价的。

【为什么不定义“dy=∆y”呢？】道理很简单。dy按定义是函数y=f(x)的因变量的微分，而f(x)是x的函数，dy=f'(x)Δx，dy是Δy的线性主部，它们相差是Δx的高阶无穷小，所以一般不相等。dy并不是等值函数y=I(y)的微分，所以没有dy=Δy。而自变量ⅹ则不同，是把dx定义为等值函数x=I(x)的微分，所以有dx=Δx。这是不同的情况，因而不是【对同一种情况，采用两种方法处理，】不存在【太不公平】的问题。

14，微分dy,dx不是增量Δy,Δx的极限。

新华先生说【「增量(差分)」通过极限运算可得微分，如Δy =f′(x)∆x+o(∆x),两边取极限，就可得到dy=f′(x)dx。】

在这里又犯了一个错误。左右两边的极限都是0 ，得不到此式，而是0=0。我们知道Δy/Δx的极限是dy/dx，绝不能由此得出结论说Δy的极限是dy，Δx的极限是dx。这是对极限理解的严重误解。当Δx→0时，Δy,dy,dx的极限都是0。

另外，这两套增量Δy,Δx和dy,dx之间的关联，是为了让它们同步变化，在微分定义中，令dx=Δx，dy=f'(x)Δx，而Δy=f'(x)Δx+o(Δx)。才建立了它们之间的关联。它们之间的这种关联关系，既不是等价，又不是完全相等。

最后，关于如何对待书本知识的问题，绝不能走极端。一方面要认识到【写上书本的不一定都是正确的】，不能【认为凡是书上的观点都是正确的。】这些看法当然一般都是正确的。但另一方面又要尊重知识尊重科学，要保持一种谦虚谨慎的态度，不要一概把自己一时没有理解学懂或理解错误的内容，统统都认为是书本上的错。甚至讥讽坚持书上正确内容的人是【背书】，是【失去独立思考是作为人所必须具备的品质】，是【没有自己的思维和主见】...等。

所以不要一概而论，走极端。而是要具体问题具体分析。不要上纲上线乱扣帽子，而是就事论事，谈具体问题的真假对错，摆事实讲道理，追求真理，开诚布公地讨论问题。

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