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数学命题的巧合具有“完整性”。
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数学命题的巧合具有“完整性”。
---- 之前提到，整个命题的实际出发点是 Ox(A).
---- 从Ox(A)出发，试图建立到 Opd(1)的映射.
---- 令此映射记作 π，并采用“待定”的思想.
---- 希望：Ox(A) ≃ π*Opd(1).
---- 上式可以看做Ox(A)的某种表示.
（一切映射都可以看做“表示”）
---- 右端的 Opd(1) 该是较简单/具体.
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建立映射的思路是“形式对应原则”：
---- 取Opd(1)中的超平面 H₁...Hd.
---- 再取它们的交 ∩Hᵢ = (1:0:...:0), 记作 z.
---- 而Opd(1) 中的超平面都是“zero divisors”.
---- 它们联系着 Opd(1) 的 “global sections”.
---- 类似于“基”的作用，记作：t₁,...td.
---- 为了建立对应，假设Ox(A) 中有 Rᵢ.
---- 让 Rᵢ 作为 Ox(A) 的 zero divisors, 对应Hᵢ.
（这是形式对应原则的运用）
---- 它们联系着 Ox(A) 的 “global sections”.
---- 同样类似于“基”，记作 α₁,...αd.
---- 为了对应，该有个 x = ∩Rᵢ 对应到 z.
---- 但是，Ox(A) 比 Opd(1) 更一般.
---- ∩Rᵢ 的元素未必是唯一的.
---- 于是退一步, 只要 x∈∩Rᵢ, 对应到 z.
---- 但是，由于某种原因（参后文），原作并没有止于此（即没有把 x∈∩Rᵢ 作为假设条件）.
（先按下其中的原因不表）
---- 为了建立映射 π, 作者需要 Ox(A) 的 “global sections” 没有公共消失点.
---- 确实，Opd(1) 里头还有个 t₀有待对应.
---- 于是假设 R₀ 是Ox(A) 的某个 (对应到 t₀的) global section α₀ 的 zero divisor 使得 ∩₀Rᵢ为空集.
---- 原作在证明过程中引入了R₀的这个假设，但并未做更多解释(?). 有了这个假设，原作说 α0,...αd 没有公共的消失点，它们就可以定义出映射 π (?).
(这样就有了映射 π )
---- 上面让 Rᵢ 对应Hᵢ. 即 Rᵢ =π*(Hᵢ) 或 π(Rᵢ) = Hᵢ.
---- 也许原作从这里看出，Ri 可能包含着子集 Si 使得 π(Sᵢ) = Hᵢ. 于是假定 x∈∩Sᵢ, 这就是命题中第一个条件的来由（我是这么猜）.
---- 既然 Rᵢ 包含着子集 Sᵢ, 就该有个 Dᵢ = Rᵢ - Sᵢ.
---- 事实上，原作是从 A - Sᵢ 出发，取 Dᵢ ∈ |A - Sᵢ|，并令 Rᵢ = Sᵢ + Dᵢ. 而这样构造出的 Rᵢ 恰好是属于 Ox(A) 的 zero divisors.
---- 从以上分析可以看出，命题的第一个和第三个条件有微妙的关联性.
---- 原作没有直接假定 Rᵢ 是 zero divisors, 大概是出于推演到“尽头”的考虑，也就是（类似）从“公设”出发的思想.
---- 另外，“Rᵢ 等价于 A” 也不方便直接假设.
（后文还有以 “A - ?” 作为条件的命题）.
评论：前两段除了构造 Rᵢ 的巧合外，还有 (X, ΣSᵢ) 和 (X, ΣRᵢ) 保持 “log smooth” 和 “禁” 的巧合.
---- 或许可以推测，数学命题的巧合具有某种完整性（即从一部分能看出全部）.
（所谓“技巧”大概是指“构造巧合的技术”）
第三到五段的轴心是发掘 π⁻¹{z} 的性质，参上回*.
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小结：命题的条件及证明的前五段理解接近 “通透” 了；配对的“log smooth” 和 “禁” 这两个假设的来由.
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1162620.html
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