[按：下文是邮件笔记的内容，标题是新拟的。原标题“数学在哪里？”。]

研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程... —— 柯尔莫哥洛夫*

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  数学的入口应该在 "名作" 当中，但这并不是一个本质的回答，只是划定了 "搜索空间"。对于任何人，以大学入学年代为中心，密切考察前后5年出现的名作，有可能遇到那个入口。"好"的数学 (作品) 是从简单开始，并以简单结束。如果希望从整个数学的历史中获得启发，则应当考察最显著的名人及其名作。比如，牛顿的《原理》。数学中的简单模式包括 0，1，倒数，方，圆，等等。微积分所联系的简单模式是 "矩形"。而Daubechies小波恰恰是从矩形出发。不知道有没有人从这个角度看：在分析学中，Daubechies 或与牛顿比肩。她给出的 "图形递归" 扮演了极为重要的角色：从矩形出发，结合两尺度方程，构造出新的函数。比如，假设出一种函数η，你不知道它是什么样子，那你可以把这个函数看作 "未知量"。然后赋予某种法则，比如η(x)=η(2x)，就得到一个方程。这就是函数方程。你要做的事情是把 η 解出来。对，你没看错，解函数方程，就是解出函数。强调这一点是因为所有的书都不讲这一点，就好像这没什么好讲的。当你明白了一个事情，又把它 "内化" 了以后，你就不会去讲它了。在我看来这并不是一种 "本事"，而是 "分辨率" 降低的表现 —— 你看不见了，熟视无睹。所有的小波分析教科书 (小波十讲除外)，都不讲"图形递归"。最后，Daubechies好像也忘记了这个事情。她和牛顿比肩的地方，就是那个"图形递归"。

  刚才写的η(x)=η(2x)是简化的形式，是打个比方，以免看花眼。自变量 x 前面的倍数叫做 “尺度”(scaling)。函数方程的两边，自变量的倍数不一样，就叫"两尺度方程"，若是解出其中的函数，此函数就称作 "尺度函数"。这件事情人们也不讲，都是直接"端上来"：考察如下的两尺度方程...。很可能，你既没注意 "方程" 二字暗示了要解出未知函数，也不知道尺度是说啥，因为你可能给想得复杂掉了，然后你还不承认。全部的小波分析文献中，包括Daubechies本人，都不说要做的事情是什么，也没有 "未知函数" 这样的字眼。其实要做的事情就是从函数方程中解出未知函数。

  图形递归是从最简单的图形开始，此最简单图形不是别的，是"标准矩形"——χ[-1/2, 1/2] 。如果你要谈论一个简单的事情，又不希望受到轻视，最好的办法是诉诸希腊字母。希腊字母会传递暗示——“喂，这可不是看上去那么简单！”。好，这个事情，不妨把它叫做 "学术心理学"。还有一个办法，那就是把书写得厚厚的——读不完就评判不了。忘记说了，这个希腊字母表示的函数就是Haar函数，即矩形的函数表示。简单地，令η0=χ[-1/2, 1/2]。

  最后，就来到了"图形递归" —— ηk(x)=∑h(n)ηk-1(2x - n) ，而 k=0对应η0。注：下划线表示下标。k趋向于无穷，得到φ(x):=η∞ 。把φ代回方程，就有了φ(x)=∑h(n)φ(2x - n)。然后，为啥会出来紧支撑呢？Daubechies的核心假定，就是让 h(n)为有限个非零值。比方， h(1)=1，h(2)=2, h(3)=3, h(4)=4，其余的h(n)都是零，代入图形递归，你就能以任何精度画出φ了，得到的这个φ是紧支撑了。

  以上是粗略揭示，Daubechies 小波为何是从矩形出发算出尺度函数φ。强烈推荐阅读和推导Daubechies的成名作(1988)，里头有很多高中数学。强烈不推荐《小波十讲》，太厚了。