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小波分析是高中数学

已有 671 次阅读 2024-5-17 07:37 |个人分类:科学研究|系统分类:科研笔记

[按:下文是邮件笔记的内容,标题是新拟的。原标题“数学在哪里?”。]

研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程... —— 柯尔莫哥洛夫*

* * *

  数学的入口应该在 "名作" 当中,但这并不是一个本质的回答,只是划定了 "搜索空间"。对于任何人,以大学入学年代为中心,密切考察前后5年出现的名作,有可能遇到那个入口。"好"的数学 (作品) 是从简单开始,并以简单结束。如果希望从整个数学的历史中获得启发,则应当考察最显著的名人及其名作。比如,牛顿的《原理》。数学中的简单模式包括 0,1,倒数,方,圆,等等。微积分所联系的简单模式是 "矩形"。而Daubechies小波恰恰是从矩形出发。不知道有没有人从这个角度看:在分析学中,Daubechies 或与牛顿比肩。她给出的 "图形递归" 扮演了极为重要的角色:从矩形出发,结合两尺度方程,构造出新的函数。比如,假设出一种函数η,你不知道它是什么样子,那你可以把这个函数看作 "未知量"。然后赋予某种法则,比如η(x)=η(2x),就得到一个方程。这就是函数方程。你要做的事情是把 η 解出来。对,你没看错,解函数方程,就是解出函数。强调这一点是因为所有的书都不讲这一点,就好像这没什么好讲的。当你明白了一个事情,又把它 "内化" 了以后,你就不会去讲它了。在我看来这并不是一种 "本事",而是 "分辨率" 降低的表现 —— 你看不见了,熟视无睹。所有的小波分析教科书 (小波十讲除外),都不讲"图形递归"。最后,Daubechies好像也忘记了这个事情。她和牛顿比肩的地方,就是那个"图形递归"。

  刚才写的η(x)=η(2x)是简化的形式,是打个比方,以免看花眼。自变量 x 前面的倍数叫做 “尺度”(scaling)。函数方程的两边,自变量的倍数不一样,就叫"两尺度方程",若是解出其中的函数,此函数就称作 "尺度函数"。这件事情人们也不讲,都是直接"端上来":考察如下的两尺度方程...。很可能,你既没注意 "方程" 二字暗示了要解出未知函数,也不知道尺度是说啥,因为你可能给想得复杂掉了,然后你还不承认。全部的小波分析文献中,包括Daubechies本人,都不说要做的事情是什么,也没有 "未知函数" 这样的字眼。其实要做的事情就是从函数方程中解出未知函数。

  图形递归是从最简单的图形开始,此最简单图形不是别的,是"标准矩形"——χ[-1/2, 1/2] 。如果你要谈论一个简单的事情,又不希望受到轻视,最好的办法是诉诸希腊字母。希腊字母会传递暗示——“喂,这可不是看上去那么简单!”。好,这个事情,不妨把它叫做 "学术心理学"。还有一个办法,那就是把书写得厚厚的——读不完就评判不了。忘记说了,这个希腊字母表示的函数就是Haar函数,即矩形的函数表示。简单地,令η0=χ[-1/2, 1/2]

  最后,就来到了"图形递归" —— ηk(x)=∑h(n)ηk-1(2x - n) ,而 k=0对应η0。注:下划线表示下标。k趋向于无穷,得到φ(x):=η 。把φ代回方程,就有了φ(x)=∑h(n)φ(2x - n)。然后,为啥会出来紧支撑呢?Daubechies的核心假定,就是让 h(n)为有限个非零值。比方, h(1)=1,h(2)=2, h(3)=3, h(4)=4,其余的h(n)都是零,代入图形递归,你就能以任何精度画出φ了,得到的这个φ是紧支撑了。

  以上是粗略揭示,Daubechies 小波为何是从矩形出发算出尺度函数φ。强烈推荐阅读和推导Daubechies的成名作(1988),里头有很多高中数学。强烈不推荐《小波十讲》,太厚了。



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