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Zmn-0477 沈卫国:传统瞬时速度及导数会产生的“传统问题”

已有 681 次阅读 2021-3-11 16:17 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0477 沈卫国:传统瞬时速度及导数会产生的“传统问题”

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

传统瞬时速度及导数会产生的“传统问题”

沈卫国

综上,如果按照传统的瞬时速度和导数定义,也就是非要把速度和斜率这两个概念定义所需要的两个点(非0距离)直接定义在变速运动或曲线上,而前文已述,变速运动和曲线,永远也不可能直接化为匀速直线运动和直线。哪怕是无穷小段。只要还是不为0的线段,无论多小,甚至无穷小,也会涉及两个点,只不过二点之间的距离为无穷小罢了,一个点,不可能有距离,甚至无穷小的距离。因此,只要涉及两个点,就会有建立在这两个点之上的曲线与割线。因为空间的二点之间,可以有无穷多条曲线和唯一的一条直线,也即是曲线的割线。如果曲线确定了,曲线与其割线之间,在长度上就会有误差,不可能重合。无穷小,就会有无穷小的误差。误差,也可以无穷小。谁又能说误差本身就不可以无穷小了?在无穷小上,就不会有误差了?误差总有,只不过趋于无穷小而已。那么,如果不用不可达极限观点(问题很多,前面已述),只有两个办法(没有办法的办法)去说明并试图消弭所产生的矛盾。一个是“点中有点”方案,还有一个就是“近似值方案”,也就是导数、瞬时速度不过就是一个舍弃了所谓“高阶无穷小”的近似值。这一方案,实际牛顿早就是这么说的了。实际上,这两个方案的区别仅仅是表述或表面上的,就是第一个方案,也最终免除不了一个近似的处理过程。比如非标准分析,提出了一大堆眼花缭乱的概念,什么超实数。但最终一个“取标准数”步骤、过程,就等价于牛顿的“舍弃无穷小”,把其近似的本质,掩盖在了根本不提“近似”二字的系列等值概念中了。这个所谓的点中有点(非标准分析也是如此),认为点中之点与点外之点不同,前者是精确的,后者不精确云云。但这仍旧是一个假设,等价于曲线在无穷小段是折线的思路,本质仍免不了是一个近似值。因此,解决方案,最终本质上只有公开声明的近似,与迂回隐晦的“不提近似二字”的近似之分罢了。总之,都不行。

 不少人认为,误差既然是无穷小了,舍弃无妨。但在理论上,这个方案不行。因为在积分时,涉及这无穷多个无穷小误差,相加后(积分后)究竟还是不是无穷小的问题。无穷多个无穷小误差相加,难道不会加出一个宏观的、非无穷小的误差吗?如果不,难道不需要一个严格的证明吗?尽管现实中这种趋于无穷小线段的相加,可以实际证明误差还是无穷小,比如用折线逼近圆的周长,积分求一段曲线的高度等等。但这是现实中根据实际操作推出来的,不是积分理论本身所推出来的。也就是,与其说是理论说明的,推出的,还不如说是“理论”所规定的。比如在积分中,尽管每一个小线段都有误差,但在这个小线段趋于0(实际只能是无限小)时,线段数趋于无穷多,积分,也就是相加,就认为得到了一个精确值,起码也是误差无穷小的值。这个结论,根本就不是理论的推导,而仅仅是规定、定义。积分的定义。在理论本身中,并没有一个有说服力的证明或说明。其依据,不过是在现实中确实可以实现这样的操作罢了。因此,不是理论阐述了、说明了现实,而是反过来,理论依据、依赖了现实去说明。说白了,就是理论反倒要由原本应该由它去说明的现实来说明。这叫什么理论?不过是现实的未经说明的描述罢了。在微积分中,甚至实变函数中,往往装模作样地进行一番令人眼花缭乱的定义、规定、摆弄含义隐晦的术语、层层定义的行话的操作后,很少有学生甚至教师再提出什么,就算理论通过了,似乎(给人的假象)现实就得到了理论的说明、证明。但实际上,根本不是如此,对求真知或较真的少数人而言,理论中的漏洞依然存在。其仅仅依赖它本应去说明的现实的这个现实,依然存在。因此,作为理论,它不够格。但作为对现实的客观描述,它是成功的,这也就是微积分在现实应用中之所以大行其道的原因。

 

在新的瞬时速度及导数定义下直接求导

——彻底摈弃分母的求导新思路

沈卫国

     笔者对微积分导数问题的彻底澄清,是建立在瞬时速度进而导数全新定义基础上的,并不是简单的返回牛顿。是在新的诠释下,去解释牛顿、莱布尼兹究竟做出来的是什么,为什么会如马克思所言,“用看似明显错误的方式,求得了完全正确、精确的结果”(大意)。如果一味地拘泥于导数、瞬时速度的传统定义,单纯地只是用这个定义来套笔者的做法,那永远不可能理解笔者思路,也不可能彻底解决微积分求导中的问题——无论是明显的,还是隐晦的。这也是为什么笔者愿意重申或较为深入地讨论定义问题的初衷。

总之一句话,紧紧抓住新求导法的要点,也就直接在这个导数或瞬时速度的定义下求导,也就是直接求瞬时速度、求切线斜率或就是线性的切线的根本无涉分母的增量方程的系数(系数就是斜率,没有什么分母,或分母是1)。不用管牛顿、莱布尼兹怎么求的,极限法微积分怎么求的。自己求。就是一道初中习题。问题:求一条曲线与一条作为其割线的直线的两个交点最后变为只有一个交点时该直线(也就是该曲线的切线)的宏观意义(切线上二点间距不为0)的斜率,或切线增量方程的系数。就这么一道题。即,所有曲线,都会有其与一条直线的交点,也就是都有其割线。对于两个交点的增量,曲线与割线当然是“共用”的、一致的。列出这个割线的增量函数,因为是直线方程,当然就有其系数k(斜率),主意,这个系数也就是割线的斜率,当然不是固定的,它随其与曲线的两个交点的距离△x不同而变化,也就是它也是自变量△x的函数。于是显然,求这个系数、也仅仅是这个系数中的自变量△x等于0时的数值,就是切线的系数k。也就是由在k(△x)中令这个k中的、也仅仅是k中的△x=0,求得k(0),即可得到曲线在该点的切线的系数k(0),就是其切线的斜率或增量比。对应一条直线,斜率当然是固定的,与其增量无关。增量为0,只是该直线上取一个点,该直线本身也没有化成一个点,它仍旧是一条直线,也就仍旧有其斜率。即其斜率也就是方程的系数仍旧存在,可以写成0=k(0)·0,其中k(0)一般并不也跟着为0。上式只是反映了一条有斜率k的直线上的一个点,x的增量为0,y的增量也必为0,但斜率仍是该直线固有的,不会因为只取了该直线的一个点该直线就没有斜率了。总之,只要直线还存在,就有其系数、斜率。求导就是直接求这个系数即可。特别要强调,线性方程的系数还有分母吗?就是有,分母不是1?与之对应的斜率,自然也不一定非是分数。因为它是由分母不为0的一个比值决定的,因此都可以把分母折合成1,也就是没有分母。笔者在与人讨论中,很多人居然非要把曲线的割线、切线斜率与曲线与切线的交点绑定,这在割线时没有问题,但切线时只有一个交点,直接由这一个交点求斜率就是分母为0。但难道一个直线的斜率,只能取决、定义于其与期曲线的交点吗?当然不是,任何一条直线上的任何两个距离不为0的点,都可以决定这条直线的斜率。因此把切线斜率与其与曲线的交点唯一地绑定,毫无道理。这点居然是很多人搞不清楚的地方,必须彻底澄清。

总之,新导数或瞬时速度定义下的直接求导法的原则及过程,可以归纳如下:

任何曲线方程,都可以有其割线。即有直线与其相交于两个点。因此,对这两个交点的距离也就是增量而言,是曲线和割线所共有的。即:过两个交点的曲线的增量,就等于过两个交点的割线的增量。列出曲线的增量函数方程(注意,这时不是增量比值函数的方程了),又由于任何一条直线的增量方程(为线性方程)的自变量都是一次的,于是在曲线增量方程中提出一个自变量作为因子(如由二次曲线增量方程2x△x+△x2中提出一个△x以得到(2x+△x)△x),这个最右边的△x就是该曲线的割线增量方程的自变量。除了这个割线增量方程自变量因子△x的其余部分,构成该割线增量方程的另一个因子,实际就是该割线增量方程的系数k,也就是其斜率,如前式中的(2x+△x),显然k(△x)=(2x+△x)。当此系数或斜率式中的自变量△x为0时,割线变切线,该系数就是切线斜率。这就是在新定义下的导数。笔者这个求导法,本质上不过是说,上面提及的0=k(0)·0中k(0)不为0(对应于二次函数,就是0=k(0)=(2x+0)0,k此时为2x,当然不为0),该式也成立。记住,我们求的可是k(0),而不是等号左边的那个0。而传统导数定义下的求导,却不能不是由0/0=k(0)来求导,从0/0当然无法求出k(0)。那么,为什么传统求导法虽然会产生矛盾,但居然会求出导数k(0)的?那就是因为它们实际上(无论第一代还是第二代微积分)都有一个约分消分母的必要步骤,而这一步骤,等于实际消除了0/0的问题,分母实际上等于1了。因此实际上是求出了k(0)的,但无法解释清楚为什么。这是没有意识到约分消分母的真正含义所致。笔者前期论文已经阐述的很清楚了。

对于这个新的求导法,看似与传统求导法差别不大,但实际却有本质的区别。因为其所依赖的原则,是新的导数或瞬时速度定义。否则这么做用传统导数定义无法解释。传统求法中的所谓约分消去分母,等价于(仍以二次函数为例)令增量比值函数△y/△x=(2x+△x)△x/△x中的△x/△x=1/1=1。对应于增量函数(2x+△x)△x(仍以二次函数为例),就是最右边的那个△x此时为1了。只剩下系数(2x+△x)了。这就是k,其中自变量△x仍是交点的横坐标距离差。其为0时,就是切线斜率2x。

对于这个新的求导法,通过以上对比,完全可以认为,所有传统求导法可以求出的导数,它都已无例外地可以求出。而且在解释上不会再有0/0有关的贝克莱悖论问题。唯一要变动的,就是导数的定义,瞬时速度的定义。且这个新的定义,也从根本上消除了原定义的内在矛盾。而实际上,原定义的内在矛盾,就是原求导方式会产生贝克莱悖论的根本原因。至此,这个问题才算彻底得到解决。而微积分问题,得以彻底简化和无矛盾化。




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