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Zmn-0476 反对伊战:关于“1=0.999…”问题等

已有 864 次阅读 2021-3-9 11:28 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0476 反对伊战:关于“1=0.999…”问题等

【编者按。下面是反对伊战先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

  关于“1=0.999…”问题等

                反对伊战

最近,专栏里有不少关于“1=0.999…”问题的讨论。我曾写过一篇关于这个问题的文章:Zmn-068,先将此文抄写如下:

Zmn-068关于林益先生《“1=0.999…”的困惑》的讨论

林益先生“1=0.999…”的困惑涉及到了实数的定义的问题。我在本科一年级时学数学分析,书中是用有理数的柯西列来定义实数的。书中的定义大致如下:

 定义1. 一个有理数序列,第n项为a_n, 如果当n,m趋于无穷时,(a_n-a_m) 趋于0,则我们称此序列为一柯西列。

 定义2. 两个有理数柯西列,第n项分别为a_n,b_n,如果当n趋于无穷时,(a_n-b_n) 趋于0,则我们说这两个有理数柯西列等价。

 定义3. 实数集是所有有理数柯西列之集模掉定义2中的等价关系后得到的商空间。用通俗一些的话说,一个有理数柯西列表示一个实数,两个等价的有理数柯西列表示同一个实数(或者说表示的两个实数相等)。

 表示1的柯西列是1,1,1…,表示0.999…的柯西列是0.9,0.99,0.999… 。这两个柯西列第n项之差为(1-0.999…9),等于10的(-n)次方,而当n趋于无穷时,10的(-n)次方 趋于0,所以说这两个有理数序列等价, 从而由定义3可知 1=0.999… 。

不知道林益先生所用的实数定义是什么。我想,要回答林益先生的问题,应先确定实数的定义。

抄写完毕。

 Zmn-0068 反对伊战;关于林益先生《“1=0.999…”的困惑》的讨论   2019-11-14 09:31


薛问天在Zmn-0474中说“在无穷小数的定义中,把无穷小数0.999...,看作是「无穷级数的和」0.999...=0.9+0.09+0.009+...。而「无穷级数的和」定义为「部分和序列」0..9,0.99,0.999,...的极限。”把无穷小数定义为「部分和序列」的极限,实际上就是我上述把无穷小数定义为柯西列的定义。

我上述定义把无穷小数定义为柯西列,比如,把0.1415926…定义为柯西列0.1,0.14,0.141,0.1415…,即把无穷小数0.1415926定义为一个从自然数集到有限小数集的映射f,f满足f(0)= 0.1,f(1)= 0.14, f(2)= 0.141…。这里,f是一个确定的东西,没有不确定性。这里也不涉及极限概念。

 

顺便说一下,有人说将有理数定义为循环的无穷小数,将无理数定义为不循环的无穷小数,这种说法是不对的。因为,人们首先定义有理数(为两个整数之比),然后把分母为10的方次的有理数写为有限小数,比如将14/100写为0.14,然后通过有限小数来定义无穷小数。现在,将有理数定义为循环的无穷小数,犯了循环定义的错误。有理数是循环的无穷小数,无理数是不循环的无穷小数,这只能作为有理数、无理数的性质,不能当作有理数、无理数的定义。

 

虽然我在Zmn-068中介绍的实数的定义简单、漂亮,从林益先生的Zmn-070一文看,他对Zmn-068中介绍的等价关系、商空间等术语接受不了。其实,积空间、等价关系、等价类、商空间,这些术语并不难,一般的抽象代数(近世代数)或点集拓扑的入门书的开头部分都会介绍上述这些概念。高等数学中定义新的数学对象时常常用到上面的这些概念。所以,如果真的想弄明白高等数学中数学对象的定义,就需要弄明白上面这些概念的意思,好比一个想学中学数学的人,需要弄明白“凾数”的意思。




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