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Zmn-0447 杨六省: 数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解。

已有 350 次阅读 2021-2-12 11:31 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0447 杨六省: 数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解。

【编者按。下面是杨六省先生发来的文章。是对薛问天先生在《0414》文后跟帖的评论。经同意文后附作者的三篇文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解

杨六省( yangls728@163.com

     薛问天教授写道:“在用反证法证明【√2不是有理数】的证明中,只要由反证法的假定【√2是有理数】推出任何的矛盾,都可以推翻此假定,使定理得证。”(参见科学网《数学啄木鸟专栏》中“Zmn-0414 黄汝广:√2是无理数的反证法有效么?   2021-1-12 21:29”一帖后的“转发薛问天先生的评论”)

       笔者评析:关于反证法概念,一个基本的常识是——“在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。关于“√2不是有理数”的证明,原论题是“√2不是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq不全是整数)”;反论题是“√2是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq全是整数)”。

        由原假定“√2=p/qpq全是整数)”推出的新的假定“√2=p/qpq互质)”,已不再是原论题的反论题了,因为表达式“√2=p/qpq互质)”与原论题“√2不是有理数”并不是矛盾判断关系(理由参见笔者在“对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑”一贴中的分析),这就是说,薛问天教授已经犯了一个常识性的错误(注:你赞同,就是你犯错,不能甩锅给毕达哥拉斯学派)!

       接下来,关于“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论(注:姑且不论其推理是否有效),其虽与新假定“√2=p/qpq互质)”中的“pq互质”矛盾,但根据这个矛盾,并非像薛问天教授所说的,就能够推翻“√2是有理数”这个原假定,从而使“√2不是有理数”得证(理由参见笔者的上述帖子)。

       值得指出的是,“√2=p/qpq互质)”与“√2=p/qpq全是整数)”事实上存在着一种微妙的逻辑层次方面的差异——关于这一点,虽不能说,只可意会不可言传,但它确实需要人们“悟”,因为它属于思辨思维。

       如果我们的教师,尤其是我们的教科书,都像薛问天教授一样,教给学生一个关于反证法的糊涂观念——认为不管“推出”任何的矛盾都行,哪怕这种矛盾并不能否定反论题,并不能确立原论题;也不管这些“推出”是否都合理——这样的教学,岂不误人子弟?

        我们要教好、学好反证法,需要把握好3点:设定的反论题,务必与原论题是矛盾判断关系。务必做到每一步推理都是合理的。最终推出的矛盾,要能够否定反论题。

        基于上述原因,数学教育界,尤其是数学教学研究机构和教科书编写单位,应该正视目前普遍存在的对反证法概念的误解。为了对学生负责,有错必纠,不能麻木不仁!同时,要克服如下僵化思想:关于“√2不是有理数”的证明,是由著名的毕达哥拉斯学派给出的,经由逻辑学之父亚里士多德、几何学之父欧几里得等科学巨人转述,又经历了25个世纪之久的考验,怎么可能会错呢?就此,笔者要问,如果论证一个观点,可以“诉诸权威”、“诉诸大众”,那么,“地心说”就是真理了!因为“地心说”是由权威人士亚里士多德提出的,他被恩格斯誉为古希腊哲学家中“最博学的人物”;再说,“太阳绕着地球转”又是当时普天下人的共识。但问题是,“权威”和 “大众”这两个概念,与所论问题真有内在必然联系吗?因此笔者认为,作为数学行家(包括数学教育家)对于反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解,而应该科学严谨,有错必纠,切勿以讹传讹,误人子弟!

附件。文中涉及的三篇文章

对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑

杨六省

yangls728@163.com

    何为反证法?笔者先引述一个关于反证法的词条:

    反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下:首先提出论题:然后设定反论题,并依据推理规则进行推演,证明反论题的虚假;最后根据排中律,既然反论题为假,原论题便是真的。在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。(摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条)

    说明:

    ①在金岳霖主编的《形式逻辑》一书第291页中,也有与上述类似的表述:“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。”(笔者注:矛盾论题即反论题)

    ②矛盾判断是指,其中一个真则另一个假,一个假则另一个真。

笔者试问人教版《数学》(七年级下册)的编者:是谁在误导初中数学教师错误的应用反证法?

    人教版《数学》七年级下册第58页有如下论述:

    假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数pq,使得

√2=p/q

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p2=2q2

    由2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

    因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即

                                     q2=2s2.

    所以q也是偶数. 这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾.

    这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数. 

    笔者评析:关于“√2不是有理数”的证明,原论题是“√2不是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq不全是整数)”;反论题是“√2是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq全是整数)”。把一个分数化成最简分数,本是一件“好事”。但列宁说的好,真理再向前迈出一步,就会变成谬误。下面我们将揭示,把反论题的表达式“√2=p/qpq全是整数)”中的“p/qpq全是整数)”改写成最简分数的形式是一种失误,因为它使得反证法能够得以有效应用的基本条件——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”——不复存在。

    “原论题真”是指,对于“√2=p/q而言,“pq不全是整数”成立。这时,谈论“pq互质”的真假是没有意义的。也许有人会说,不妨把“pq互质”没有意义“理解为假”。但问题是,在教科书中,“互质”与“非互质”概念都是针对两个整数而定义的,我们不可以违反同一律,在同一个论证过程中,对“pq互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此,上述那个“理解为假”是行不通的。简言之,如果“原论题真则反论题(指改写后的表达式“√2=p/qpq互质)”所代表的新的反论题,下同)假”成立,则前件要求认可“pq不全是整数”,后件则相反,矛盾,故“原论题真则反论题假”不成立。

    同理,“反论题假则原论题真”也不成立。

    综上分析,教科书中所设定的新的反论题与原论题并非矛盾判断关系,因此,教科书是在不合理的应用反证法。事实上,按照教科书的思路,由“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论(注:姑且不论其推理是否有效)只能否定“√2=p/qpq互质)”,而不能否定“√2=p/qpq全是整数)”,因为“p是偶数”和“q是偶数”与“√2=p/qpq全是整数)”中的“pq全是整数”并不矛盾;而由对“√2=p/qpq互质)”的否定,只能肯定“√2=p/qpq非互质)”,因为后者与前者是矛盾判断关系——由于“非互质”概念是针对两个整数而定义的,从而只能推出“pq全是整数”,而不能推出“pq不全是整数”,即不能推出√2不是有理数。但人教版教科书却写道——“这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾。这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数。”如上所述,“√2=p/qpq互质)”与 “√2=p/qpq不全是整数)”并非矛盾判断关系,试问人教版编者:“pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾”,那么,如何根据这个矛盾就能够说明“√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数”呢?如果这样的“说明”站不住脚,那就不能认可教科书中的证明是有效的,不管这个证明来源于哪里!

    我们还可以换一个角度来解释,为什么不可以把“√2不是有理数”的反论题“√2是有理数”的表达式“√2=p/qpq全是整数)”改写成“√2=p/qp,q互质)”?在“√2=p/qpq全是整数)”中,等式的左边是无理数√2,右边是一个分数表达式,所以,“√2=p/qpq全是整数)”是一个矛盾式。希尔伯特说,“如果一个概念具有矛盾的属性,那我就认为这概念在数学上不存在。”因此,表达式“√2=p/qpq全是整数)”不具有存在性。现今的人们都知道,√2具有客观存在性,再加上它又是我们所讨论的对象,所以,我们无疑的会认可√2在“√2=p/qpq全是整数)”中的存在性。这样说来,“√2=p/qpq全是整数)”之所以不存在,只是由于等式的右端不存在。试问,对于一个不具有存在性的东西,何以能够谈论分数的化简呢?还可以换一种说法,现今的人们都知道,对于“√2=p/q而言,其中的pq不可能全是整数,在这种情况下,谈论分数的化简有意义吗?也许有人会说:倘若你我都不知道√2是不是有理数,那么,凭什么理由反对我们把“√2=p/qpq全是整数)”中的“p/qpq全是整数)”改写成最简分数“p/qpq互质)”呢?笔者的回答是,对于一个独立存在的分数,或是在满足协调性的情况下,把一个分数“p/qpq全是整数)”化成最简分数“p/qpq互质)”,这是天经地义的事,笔者对此不持异议。但是,倘若我们并不知道√2是不是有理数,并不知道“√2=p/q中的pq是不是全是整数,在这种不明真相的情况下,贸然的对“√2=p/qpq全是整数)”中的“p/q(pq全是整数)”实施最简分数的化简,就是一种不合理的做法。理由是,务必把“无意义的判断”与“假的判断”区别开来,例如,“这只苹果是不甜的”可能是一个假的判断,但它是有意义的,因为味道(不管甜与否)毕竟是苹果的属性;但是,如果我们说,“这只苹果是深刻的”,或说“这只苹果是不深刻的”,这样的判断就是无意义的,因为思想不是苹果的属性。简言之,“pq是否全是整数”是表达式“√2=p/q的属性,但“pq是否互质”则不一定是“√2=p/q的属性(注:这里是指,假设我们尚不知道√2是不是有理数)。正是由于这个原因,上述“贸然的做法”可能会使我们陷于无意义的判断,从而陷于荒谬,因此,它是不合理的。

    我们不仅要知道反证法的定义是什么,更要能够把握其思想要旨——被设定的反论题,务必与原论题是矛盾判断关系。但是,我们的教科书(注:不只人教版),强调了这一点吗?

 附:本文作者的证明

命题:对于√2= p/q ,其中的pq不可能全是整数。

证明:我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2q是整数)的形式。

① p不可能是偶数

       假设p是偶数,设p=2rr是整数),代入p2=2q2,p2=2r2。如果p2=2q2q是整数)中的p是偶数,那么,p2=2r2r是整数)中的q也是偶数;……这样下去,就会推出pq均含有无穷多个因数2(注:例如,关于p,开始假设p=2r;后面还会假设r=2t;……),从而说明pq均不是整数,但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾,故对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

        理由是,奇数的平方不可能是偶数。

        综上所述,对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是整数,换一种说法,对于√2= p/q ,其中的pq不可能全是整数。

本文来自诸平科学网博客
链接地址:
http://blog.sciencenet.cn/blog-212210-1266331.html 

 

人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力

杨六省

yangls728@163.com

笔者对初中数学教科书中关于“√2不是有理数”的证明存在质疑(已经托诸平老师在科学网博客进行转发:

对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑   2021-01-25

又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的 2021-01-26)

    例如,人教版数学七年级下册第58页引用的是欧几里得《原本》中的证明方法如下:

    假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数pq,使得

                                    √2=p/q

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p2=2q2.

    由2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

    因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即

                                     q2=2s2.

    所以q也是偶数. 这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾.

    这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数.

    我的质疑是:

    ①把√2=p/qpq互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题,是合理的吗?

    说明:关于反证法,一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”(摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条)。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述:“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足:原论题真则反论题假;反论题假则原论题真。

    ②由假设√2=p/qpq全是整数)能够推出“pq都是偶数”吗?

    ③由pq都是偶数与假设pq互质矛盾,能推出“√2不是有理数”吗?

    笔者数次向人教社中学数学编辑室反映我的质疑,2021-1-19收到回复如下:

杨老师:

       你好。

       收到你的邮件,感谢你对我们教材的关注。

       邮件对我室编写的义务教育教科书数学七年级下册中关于根号2不是有理数的证明提出质疑。经研究,我们认为上述教科书中关于根号2不是有理数的证明没有问题,这也是通常使用的证明方法。

       再次感谢你对我们教材的关注。

                                                                                        人民教育出版社中学数学编辑室

                                                                                                    2021年1月19日

    笔者认为,上述回复缺乏说服力,因为我最想看到的是对我的质疑的具体反驳。

    例如,我认为,由pq都是偶数(注:姑且不论证明中关于这种结论的推出是否有效)与假设pq互质矛盾,是推不出“√2不是有理数”的,理由是:由pq都是偶数只能否定“√2=p/qpq互质)”,而不能否定“√2=p/qpq全是整数)”,因为pq都是偶数与“√2=p/qpq全是整数)”中的“pq全是整数”并不矛盾;而由对“√2=p/qpq互质)”的否定,只能确立“√2=p/qpq非互质)”(——从而可以推出pq全是整数,因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的),而不能确立“√2=p/qpq不全是整数)”,因为只有“√2=p/qpq非互质)”与“√2=p/qpq互质)”才是矛盾判断关系,而“√2=p/qpq不全是整数)”与“√2=p/qpq互质)”,如上文所述,并不构成矛盾判断关系。因此,由对“√2=p/qpq互质)”的否定(注:姑且不论推理是否有效),并不能否定反论题“√2=p/qpq全是整数),并不能确立“√2=p/qpq不全是整数)”为真,即并不能说明“√2不是有理数”。

    如果对方认为,我的质疑是站不住脚的,就应该指出我错在何处,为什么错?如果对方认为,教科书的说法没有问题,就应该很有底气的展示出推理细节,而不可以有如下想法:教科书是转引自欧几里得《原本》中的证明,欧几里得可是几何学之父呀!再说,其他的数学文献也都是这样证明的呀!关于第一次数学危机,2500年以来,数学史已早有定论呀!——是毕达哥拉斯学派发现并证明了“√2不是有理数”。如果有这样的想法,那就是“诉诸权威”、“诉诸大众”了。如果论证一个观点,可以“诉诸权威”、“诉诸大众”,而且有效,那么,“地心说”就是真理了!因为“地心说”是由逻辑学之父亚里士多德提出的,他被恩格斯誉为古希腊哲学家中“最博学的人物”;再说,“太阳绕着地球转”也是当时普天下人的共识。《中国科学院关于科学理念的宣言》说得好,它说——“科学精神是对真理的追求。不懈追求真理和捍卫真理是科学的本质。科学精神体现为继承与怀疑批判的态度,科学尊重已有认识,同时崇尚理性质疑,要求随时准备否定那些看似天经地义实则囿于认识局限的断言,接受那些看似离经叛道实则蕴含科学内涵的观点,不承认有任何亘古不变的教条,认为科学有永无止境的前沿。”

       不能认为,应用反证法,无论推出了什么样的矛盾,都表示原论题得证,而不考虑反论题的设定是否正确,每一步的推理是否合理,这种含混的观点在教学中是有害的,因为它误人子弟!

本文来自诸平科学网博客。
链接地址:
http://blog.sciencenet.cn/blog-212210-1269914.html 

对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑

杨六省

yangls728@163.com

    笔者于2017-1-1在“数学中国论坛上发过一个帖子,题目叫“质疑第一次数学危机的真相摘要中写道——“在推理前提——√2 =α:β(α,β互质)中,写入 ‘α,β互质’是不合理的,因为不相关,尤其是,它使得√2不是有理数的证明变为不可能。”这个观点此后没有变化,但在说理方面,笔者反复修订。现在,笔者终于能够做到应用反证法的定义来解释上述摘要中的观点了,真可谓“真传一句话(指反论题与原论题必须是矛盾判断关系,笔者加),假传万卷书(指“毕达哥拉斯学派证明了√2不是有理数”这一虚假的史实,为所有的数学书所认同,笔者加)”。

(1)把√2=p/qpq互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题,是违反反证法基本要求的

    关于反证法,一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”(摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条)。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述:“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足:原论题真则反论题假;反论题假则原论题真

    “√2不是有理数”是原论题,其表达式√2=p/qpq不全是整数);反论题是“√2是有理数”,其表达式应该是√2=p/qpq全是整数)。但是,人教版数学七年级下册第58页(以下简称人教书)是把√2=p/qpq互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题。为了区别起见,我们把表达式√2=p/qpq互质)所代表的论题记作“反论题(新)”。下面我们将揭示,反论题(新)√2=p/qpq互质)与原论题√2=p/qpq不全是整数)并不构成矛盾判断关系。

     “原论题真”是指,对于“√2=p/q”而言,“pq不全是整数”成立。这时,谈论“pq互质”的真假是没有意义的。也许有人会说,不妨把pq互质没有意义“理解为假”。但问题是,在所有数学文献中,“互质”和“非互质”概念都是针对两个整数而定义的,我们不可以违反同一律,在同一个论证过程中,对“pq互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此,上述那个“理解为假”的主意是行不通的。于是,如果“原论题真则反论题(新)假”成立,则前件要求认可“pq不全是整数”,后件则相反,矛盾,故“原论题真则反论题(新)假”不成立。

    同理,“反论题(新)假则原论题真”也不成立。

    上述分析说明,人教书(注:当然也包括其他文献)把√2=p/qpq互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题,是违反反证法基本要求的,这样的做法是不被允许的,其证明自然不会是有效的。

(2)即使反论题的设定是正确的,但如果推理过程有错,那么,就无法保证推出的矛盾能够否定反论题,也就无法确立原论题为真

    “√2不是有理数”是原论题,其表达式是√2=p/qpq不全是整数)。如果人们把√2=p/qpq全是整数)认作是反论题“√2是有理数”的表达式,这是正确的做法。但是,如果由√2=p/qpq全是整数)又推出了√2=p/qpq互质)和pq都是偶数,这就走入歧途了。

    当人们由√2=p/qpq全是整数)推出√2=p/qpq互质),很明显,是把p/q从√2=p/q中割裂开来,然后加上“pq全是整数”这一条件进行推理的。如果这样做是合理的,那么,结论“pq都是偶数”同样也应该由p/q和“pq全是整数”这一条件推出,但这显然是不可能的!事实上,由人教书可知,“pq都是偶数”之结论是根据√2=p/qpq全是整数)进行推理的。下面我们将揭示,由√2=p/qpq全是整数)既推不出√2=p/qpq互质),也推不出pq都是偶数,理由如下:

    ①在“√2=p/qpq全是整数)”中,等式的左边是无理数√2,右边是一个分数表达式,所以,“√2=p/qpq全是整数)”是一个矛盾式。希尔伯特说,“如果一个概念具有矛盾的属性,那我就认为这概念在数学上不存在。”因此,表达式“√2=p/qpq全是整数)”不具有存在性。现今的人们都知道,√2具有客观存在性,再加上它又是我们所讨论的对象,所以,我们无疑的会认可√2在“√2=p/qpq全是整数)”中的存在性。这样说来,“√2=p/qpq全是整数)”之所以不存在,只是由于等式的右端不存在。试问,对于一个不具有存在性的东西,何以能够谈论分数的化简呢?还可以换一种说法,现今的人们都知道,对于“√2=p/q”而言,其中的pq不可能全是整数,在这种情况下,谈论分数的化简有意义吗?因此,依据上述理由,由√2=p/qpq全是整数)是推不出√2=p/qpq互质)的(注:下文中“笔者的证明”与毕达哥拉斯学派的证明没有关系,所以,我们可以应用“√2不是有理数”这一结论进行论证)。

    ②由下文“笔者的证明”可知,由√2=p/qpq全是整数)是推不出pq都是偶数的。

    下面我们将揭示,由pq都是偶数与假设pq互质矛盾,并不像人教书所说的,可以说明√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数。理由是:由pq都是偶数只能否定“√2=p/qpq互质)”,而不能否定“√2=p/qpq全是整数)”,因为pq都是偶数与“√2=p/qpq全是整数)”中的“pq全是整数”并不矛盾;而由对“√2=p/qpq互质)”的否定,只能确立“√2=p/qpq非互质)”(——从而可以推出pq全是整数,因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的),而不能确立“√2=p/qpq不全是整数)”,因为只有“√2=p/qpq非互质)”与“√2=p/qpq互质)”才是矛盾判断关系,而“√2=p/qpq不全是整数)”与“√2=p/qpq互质)”,如上文所述,并不构成矛盾判断关系。因此,由对“√2=p/qpq互质)”的否定(注:姑且不论推理是否有效),并不能否定反论题“√2=p/qpq全是整数),并不能确立“√2=p/qpq不全是整数)”为真,即并不能说明“√2不是有理数”。

附1:人教版数学七年级下册第58页中的证明:

    假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数pq,使得

                                    √2=p/q

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p2=2q2.

    由2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

    因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即

                                     q2=2s2.

    所以q也是偶数. 这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾.

    这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数.

附2:笔者的证明

命题:对于√2= p/q ,其中的pq不可能全是整数。

证明:我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2q是整数)的形式。

① p不可能是偶数

假设p是偶数,设p=2rr是整数),代入p2=2q2,q2 =2r2 。如果p2=2q2q是整数)中的p是偶数,那么,q2 =2r2r是整数)中的q也是偶数;……这样下去,就会推出pq均含有无穷多个因数2(注:例如,关于p,开始假设p=2r;后面还会假设r=2t;……),从而说明pq均不是整数,但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾,故对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

理由是,奇数的平方不可能是偶数。

综上所述,对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是整数,换一种说法,对于√2= p/q 而言,其中的pq不可能全是整数。

说明:上述证明见拙著《悖论是什么——70个悖论的消解》,汉斯出版社,2020.6. 

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