说明：因杨六省老师之邀，先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》和《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》2篇质疑论述进行了转载，分别已经有800多人次的浏览量。今天杨六省老师又寄来对于人民教育出版社中学数学编辑室对他质疑回信的一些看法，我本人对数学一窍不通，仅仅出于帮助开展讨论，明辨是非，弄清正误之目的，再次将其转载于下，敬请数学行家进行评议，也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力

杨六省

yangls728@163.com

    笔者对初中数学教科书中关于“√2不是有理数”的证明存在质疑(已经托诸平老师在科学网博客进行转发：对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑 2021-01-25；又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的 2021-01-26)。

    例如，人教版数学七年级下册第58页引用的是欧几里得《原本》中的证明方法如下：

    假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得

                                    √2=p/q，

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p²=2q².

    由2q²是偶数，可得p²是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

    因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即

                                     q²=2s².

    所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.

    这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

    我的质疑是：

    ①把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题，是合理的吗？

    说明：关于反证法，一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足：原论题真则反论题假；反论题假则原论题真。

    ②由假设√2=p/q（p和q全是整数）能够推出“p和q都是偶数”吗？

    ③由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能推出“√2不是有理数”吗？

    笔者数次向人教社中学数学编辑室反映我的质疑，2021-1-19收到回复如下：

杨老师：

       你好。

       收到你的邮件，感谢你对我们教材的关注。

       邮件对我室编写的义务教育教科书数学七年级下册中关于根号2不是有理数的证明提出质疑。经研究，我们认为上述教科书中关于根号2不是有理数的证明没有问题，这也是通常使用的证明方法。

       再次感谢你对我们教材的关注。

                                                                                        人民教育出版社中学数学编辑室

                                                                                                      2021年1月19日

    笔者认为，上述回复缺乏说服力，因为我最想看到的是对我的质疑的具体反驳。

    例如，我认为，由p和q都是偶数（注：姑且不论证明中关于这种结论的推出是否有效）与假设p，q互质矛盾，是推不出“√2不是有理数”的，理由是：由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能确立“√2=p/q（p，q非互质）”（——从而可以推出p和q全是整数，因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的），而不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”，因为只有“√2=p/q（p，q非互质）”与“√2=p/q（p，q互质）”才是矛盾判断关系，而“√2=p/q（p和q不全是整数）”与“√2=p/q（p，q互质）”，如上文所述，并不构成矛盾判断关系。因此，由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定（注：姑且不论推理是否有效），并不能否定反论题“√2=p/q（p和q全是整数），并不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”为真，即并不能说明“√2不是有理数”。

    如果对方认为，我的质疑是站不住脚的，就应该指出我错在何处，为什么错？如果对方认为，教科书的说法没有问题，就应该很有底气的展示出推理细节，而不可以有如下想法：教科书是转引自欧几里得《原本》中的证明，欧几里得可是几何学之父呀！再说，其他的数学文献也都是这样证明的呀！关于第一次数学危机，2500年以来，数学史已早有定论呀！——是毕达哥拉斯学派发现并证明了“√2不是有理数”。如果有这样的想法，那就是“诉诸权威”、“诉诸大众”了。如果论证一个观点，可以“诉诸权威”、“诉诸大众”，而且有效，那么，“地心说”就是真理了！因为“地心说”是由逻辑学之父亚里士多德提出的，他被恩格斯誉为古希腊哲学家中“最博学的人物”；再说，“太阳绕着地球转”也是当时普天下人的共识。《中国科学院关于科学理念的宣言》说得好，它说——“科学精神是对真理的追求。不懈追求真理和捍卫真理是科学的本质。科学精神体现为继承与怀疑批判的态度，科学尊重已有认识，同时崇尚理性质疑，要求随时准备否定那些看似天经地义实则囿于认识局限的断言，接受那些看似离经叛道实则蕴含科学内涵的观点，不承认有任何亘古不变的教条，认为科学有永无止境的前沿。”

       不能认为，应用反证法，无论推出了什么样的矛盾，都表示原论题得证，而不考虑反论题的设定是否正确，每一步的推理是否合理，这种含混的观点在教学中是有害的，因为它误人子弟！