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[转载]对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑

已有 2109 次阅读 2021-1-8 22:02 |个人分类:数学研究|系统分类:教学心得|文章来源:转载

说明,应邀将杨六省老师的质疑一文转载于下,仅供参考。欢迎大家与杨六省老师直接联系。

对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑

杨六省

yangls728@163.com

    何为反证法?笔者先引述一个关于反证法的词条:

    反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下:首先提出论题:然后设定反论题,并依据推理规则进行推演,证明反论题的虚假;最后根据排中律,既然反论题为假,原论题便是真的。在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。(摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条)

    说明:

    ①在金岳霖主编的《形式逻辑》一书第291页中,也有与上述类似的表述:“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。”(笔者注:矛盾论题即反论题)

    ②矛盾判断是指,其中一个真则另一个假,一个假则另一个真。

笔者试问人教版《数学》(七年级下册)的编者:是谁在误导初中数学教师错误的应用反证法?

    人教版《数学》七年级下册第58页有如下论述:

    假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数pq,使得

√2=p/q

于是                                 p=√2q.

两边平方得                           p2=2q2

    由2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

    因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即

                                     q2=2s2.

    所以q也是偶数. 这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾.

    这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数. 

    笔者评析:关于“√2不是有理数”的证明,原论题是“√2不是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq不全是整数)”;反论题是“√2是有理数”,其表达式是“√2=p/qpq全是整数)”。把一个分数化成最简分数,本是一件“好事”。但列宁说的好,真理再向前迈出一步,就会变成谬误。下面我们将揭示,把反论题的表达式“√2=p/qpq全是整数)”中的“p/qpq全是整数)”改写成最简分数的形式是一种失误,因为它使得反证法能够得以有效应用的基本条件——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”——不复存在。

    “原论题真”是指,对于“√2=p/q”而言,“pq不全是整数”成立。这时,谈论“pq互质”的真假是没有意义的。也许有人会说,不妨把“pq互质”没有意义“理解为假”。但问题是,在教科书中,“互质”与“非互质”概念都是针对两个整数而定义的,我们不可以违反同一律,在同一个论证过程中,对“pq互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此,上述那个“理解为假”是行不通的。简言之,如果“原论题真则反论题(指改写后的表达式“√2=p/qpq互质)”所代表的新的反论题,下同)假”成立,则前件要求认可“pq不全是整数”,后件则相反,矛盾,故“原论题真则反论题假”不成立。

    同理,“反论题假则原论题真”也不成立。

    综上分析,教科书中所设定的新的反论题与原论题并非矛盾判断关系,因此,教科书是在不合理的应用反证法。事实上,按照教科书的思路,由“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论(注:姑且不论其推理是否有效)只能否定“√2=p/qpq互质)”,而不能否定“√2=p/qpq全是整数)”,因为“p是偶数”和“q是偶数”与“√2=p/qpq全是整数)”中的“pq全是整数”并不矛盾;而由对“√2=p/qpq互质)”的否定,只能肯定“√2=p/qpq非互质)”,因为后者与前者是矛盾判断关系——由于“非互质”概念是针对两个整数而定义的,从而只能推出“pq全是整数”,而不能推出“pq不全是整数”,即不能推出√2不是有理数。但人教版教科书却写道——“这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾。这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数。”如上所述,“√2=p/qpq互质)”与 “√2=p/qpq不全是整数)”并非矛盾判断关系,试问人教版编者:“pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾”,那么,如何根据这个矛盾就能够说明“√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数”呢?如果这样的“说明”站不住脚,那就不能认可教科书中的证明是有效的,不管这个证明来源于哪里!

    我们还可以换一个角度来解释,为什么不可以把“√2不是有理数”的反论题“√2是有理数”的表达式“√2=p/qpq全是整数)”改写成“√2=p/qp,q互质)”?在“√2=p/qpq全是整数)”中,等式的左边是无理数√2,右边是一个分数表达式,所以,“√2=p/qpq全是整数)”是一个矛盾式。希尔伯特说,“如果一个概念具有矛盾的属性,那我就认为这概念在数学上不存在。”因此,表达式“√2=p/qpq全是整数)”不具有存在性。现今的人们都知道,√2具有客观存在性,再加上它又是我们所讨论的对象,所以,我们无疑的会认可√2在“√2=p/qpq全是整数)”中的存在性。这样说来,“√2=p/qpq全是整数)”之所以不存在,只是由于等式的右端不存在。试问,对于一个不具有存在性的东西,何以能够谈论分数的化简呢?还可以换一种说法,现今的人们都知道,对于“√2=p/q”而言,其中的pq不可能全是整数,在这种情况下,谈论分数的化简有意义吗?也许有人会说:倘若你我都不知道√2是不是有理数,那么,凭什么理由反对我们把“√2=p/qpq全是整数)”中的“p/qpq全是整数)”改写成最简分数“p/qpq互质)”呢?笔者的回答是,对于一个独立存在的分数,或是在满足协调性的情况下,把一个分数“p/qpq全是整数)”化成最简分数“p/qpq互质)”,这是天经地义的事,笔者对此不持异议。但是,倘若我们并不知道√2是不是有理数,并不知道“√2=p/q”中的pq是不是全是整数,在这种不明真相的情况下,贸然的对“√2=p/qpq全是整数)”中的“p/q(pq全是整数)”实施最简分数的化简,就是一种不合理的做法。理由是,务必把“无意义的判断”与“假的判断”区别开来,例如,“这只苹果是不甜的”可能是一个假的判断,但它是有意义的,因为味道(不管甜与否)毕竟是苹果的属性;但是,如果我们说,“这只苹果是深刻的”,或说“这只苹果是不深刻的”,这样的判断就是无意义的,因为思想不是苹果的属性。简言之,“pq是否全是整数”是表达式“√2=p/q”的属性,但“pq是否互质”则不一定是“√2=p/q”的属性(注:这里是指,假设我们尚不知道√2是不是有理数)。正是由于这个原因,上述“贸然的做法”可能会使我们陷于无意义的判断,从而陷于荒谬,因此,它是不合理的。

    我们不仅要知道反证法的定义是什么,更要能够把握其思想要旨——被设定的反论题,务必与原论题是矛盾判断关系。但是,我们的教科书(注:不只人教版),强调了这一点吗?

 

附:本文作者的证明

命题:对于√2= p/q ,其中的pq不可能全是整数。

证明:我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2q是整数)的形式。

① p不可能是偶数

       假设p是偶数,设p=2rr是整数),代入p2=2q2,得p2=2r2。如果p2=2q2q是整数)中的p是偶数,那么,p2=2r2r是整数)中的q也是偶数;……这样下去,就会推出pq均含有无穷多个因数2(注:例如,关于p,开始假设p=2r;后面还会假设r=2t;……),从而说明pq均不是整数,但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾,故对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是偶数。

② p不可能是奇数

        理由是,奇数的平方不可能是偶数。

        综上所述,对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是整数,换一种说法,对于√2= p/q ,其中的pq不可能全是整数。

       担心在转载过程中出现差错,特将杨六省老师的原文作为附件带上,以便参考。

杨六省修改稿.doc





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