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Zmn-0470 薛问天:不是康托尔证明的错误,是欧阳耿先生认知的错误。评《0445》

已有 711 次阅读 2021-3-5 11:30 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0470 薛问天:不是康托尔证明的错误,是欧阳耿先生认知的错误。评《0445》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对欧阳耿先生《Zmn-0445》的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

不是康托尔证明的错误,

是欧阳耿先生认知的错误。评《0445 》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg欧阳耿先生的文章 《0445》说【康托实数不可数证明中的四种错误】。其实是由于他对康托实数不可数证明的重大理解错误。从他对这种理解的四个阐述,充分的暴露出他对一些基本概念出现的四个认识上的错误。这四个基本概念是,① 一一对应,②实无穷观和潛无穷观,③极限理论,④反证法。现在具体分析如下。

欧阳耿先生对「康托实数不可数证明」的重大错误曲解。

他叙述了两个证明。把证明分为三步。

第一步,欧阳耿先生说【构造出一种“不含有某些实数(比如那些可用区间套法或对角线法构造出的实数)的、但却又要人们相信(规定、约定、指定......)它可以代表整个实数集合的序列(1)或序列(2)”,

这个说法不符合事实。证明用的是反证法,首先假定【实数可数】,是根据这个假定,可数就是同自然数集N一一对应。才使所有的实数构成序列(1)或(2)的。並不是证明者自行构造的。而且根据假定,所有的实数都应属于(1)和(2)中,不存在它不含有的实数。这一切都是由反证法假定推出的,而不是由证明者所构造,所规定,约定和指定的。

第二步,欧阳耿说【然后进行发难-----假设由区间套法找到的所有实数 T1或用对角线法找到的所有实数 T2属于序列(1)或序列(2)。】显然说错了。这里不是证明者【有意发难】和【假设】找到了不属于(1)和(2)中的实数T1,T2。而是严格地,用正确的逻辑推理,证明了存在不属于(1)和(2)中的实数 T1和T2。

第三步,欧阳耿说【由区间套法找到的所有元素 T1或用对角线法找到的所有元素 T2不属于序列(1)或序列(2),由所给出的序列(1)或序列(2)的性质:它们代表整个实数集合、已经含有所要证明的实数集合的全部元素,亦即序列(1)或序列(2)本来就应该含有 T1或 T2。这又与假设矛盾.】这一步说得基本上是对的,正是由于证明由假定推出了矛盾,才推翻了【实数可数】的假定,证明了【实数不可数。】

也就是说欧阳耿对证明的第一步和第二步理解错了。把由反证法假定【实数可数】推出的全体实数构成序列(1)和(2),说成是证明者所构造,所规定,约定和指定的。把严格证明的存在实数T1,T2不属于(1)和(2),说成是证明者【有意发难】和【假设】。

欧阳耿的所有错误都是由对这些曲解所引起的。

 

    一一对应,

欧阳先生认识到证明用的反证法,开始有个【实数可数】的假定(欧阳先生称其为【假定1】)。他承认【首先是给出“假设 1”:如果所要证明的实数集合可数,则实数集合中的全部元素必定可排成一个与自然数集合中元素构成一 一对应的序列(这个假设是符合逻辑、正确的,符合反证法的证明程序);

但是欧阳先生接着说【其次是随心所欲地再给出“假设 2(或叫‘暗地里规定’)”:假设可以极限论方法或将每个实数写成无穷小数的方法写出该序列中的每一项,这样就构造出序列(1)或序列(2)(这个假设是不合逻辑的、错误的、毫无根据的),说序列(1)或序列(2)中含有所要证明的实数集合中的全部元素,定下仅对“假设 2”进行“反证”的反证法操作思路。

欧阳耿先生把 (论断A):【序列(1)或序列(2)中含有所要证明的实数集合中的全部元素,】看作是【再给出“假设 2(或叫‘暗地里规定’)”】。这是欧阳耿先生在认知上的严重错误。因为这个命题(A),已在假定1中给出了肯定,【实数集合中的全部元素必定可排成一个与自然数集合中元素构成一 一对应的序列。】就意味着(论断A):【序列(1)或序列(2)中含有所要证明的实数集合中的全部元素。】因为已说清楚【全部元素必定可排成】【序列(1)或序列(2)】。这里一定要请欧阳耿先生对【一一对应】的确切含义有正确的认识。一一对应就是存在双射,而双射就是无重复和无遗漏的映射。既然全体实数无重复无遗漏地同自然数,即序列的编号建立了双射,显然序列包含了全体实数。因而假定1完全蕴涵了假定2 。假定2完全没有必要【再给出】。

至于在第二步证明中要用到的一些实数的性质,如序列(1)中每个实数可以用ωn表示,可以对任何区间(α,β)判断ωn是否属于(α,β),以及任何递增的有界序列存在上确界等性质,在证明中都是已知的实数性质,不需要作任何新的假定。再例如,序列(2)中任何实数都可用无穷小数表示,任何第n个小数a_n的第n位,a_nn都存在,任何两个无穷小数只要有一位不相等它俩就不相等。以及任一无穷小数b,如果对任何n位bn都可以某种方法给定,则就认为此无穷小数b=0.b1b2...,已被给定。这些性质在证明中都是已知的实数性质,不需要作任何新的假定。

所以说,欧阳先生认为康托证明中的【逻辑上的错误】并不存在,而是欧阳耿先生对一一对应认知上的错误。

我现在來回答欧阳先生提出的所谓采用【异物替换法】的两个问题。【问题 1. 如果像在第一个步骤中所告诉我们的那样,所要证明的实数集合中的全部元素真的可以用经典极限论方法或无穷小数方法写出,那为什么用这类方法所构造的序列(1)或序列(2)没有蕴含可用区间套法或对角线法构造出的实数,为什么会想到用区间套法或对角线法去寻找序列(1)或序列(2)中所无法包容的实数,并且居然还真的找出一些?

回答很简单,全体实数都在序列(1),(2)中,这都是反证法的假定所推出的。由于反证法假定【实数是可数的】,才推出全体实数都在序列(1),(2)中。第二步用事实证明存在实数不在(1),(2)中,从而推翻了此假定,才使【实数不可数】得证。

存在实数不在(1),(2)中,这是严格证明的结论,并不是欧阳先生想像的什么【采用了罗素悖论中的 T:={x|xx}】。这里的证明与罗素悖论没有一点关系。在这里我建议欧阳先生说话要负责任,你如果真的认为康托尔的证明【采用了罗素悖论】,请你具体说出來,是怎么【采用】的?

欧阳先生的第二问是【问题 2. 如果像在第二个步骤中所告诉我们的那样,实数集合中的全部元素确实不可能用经典极限论方法或无穷小数方法写出,人们可以用复杂的区间套法或对角线法去寻找所构造的序列(1)或序列(2)中所无法包容的实数,说明序列(1)或序列(2)确实仅含所要证明的实数集合中的部分元素,那就不允许用它们来代表(替换)所要证明的实数集合,整个证明一开始就无法开展、无法操作、不可能存在。

从这个问题可以看出,欧阳先生不懂反证法的思路。反证法的思路就是先假定【实数可数】。在此假定下推出了全体实数组成了序列(1)或(2)。但是在第二步中证明了存在实数不在(1)和(2)中,产生了矛盾,推翻了此假定,才使定理得证。

欧阳先生由于后面会证明产生矛盾,就【不允许】这么做,【不允许】作这样的反证法假定。那不是在反对使用「反证法」么!

另外欧阳先生在文中提出了一个关于「存在实数不在(1)和(2)中:」的错误证明。他问道【为何不允许用一句非常简单的语句来完成整个证明:“根据任何两个实数之间必存在其他实数这一性质,可推出序列(1)或序列(2)中任何两个元素之间肯定存在许多与该序列中的任何一个元素都不同的实数,这说明序列(1)或序列(2)不可能包含所要证明的实数集合中的全部元素。

欧阳先生提出的这个证明是错误的。我们知道有一种序列称为【保序的序列】,即按大小顺序排成的序列。如果一个序列是按大小顺序排列的话,无疑序列不可能包括所有的实数,因为序列中任何两个相邻的实数间有无数个实数不在序列之中。然而,一个序列如果不是【保序的序列】,不是按大小顺序排成的序列,就不能用此方法证明存在实数不在此序列之中。

要知道【实数可数】的假定只能推出全体实数排成【序列】,而不能保证推出的这个序列是【保序的序列】,是按大小顺序排列的序列,所以这样的【证明】就是明显错误的。

当然,如果在反证法中真有一个隐蔽的【假定2】,那么推出的矛盾推翻的就不是【假定1】了。证明就出现了【逻辑错误】。但是欧阳先生所说的【假定2】并不存在,其中的(论断A):【序列(1)或序列(2)中含有所要证明的实数集合中的全部元素,】是【假定1】的推论,是论断【实数集合中的全部元素必定可排成一个与自然数集合中元素构成一 一对应的序列。】所蕴涵的,所推出的。而其它的一些也都是在证明中已知的实数的性质,不需要在证明中【再给出】假定。

由于【假定2】不存在。这里的证明没有【逻辑上的错误】。认为有【假定2】的存在,是由于欧阳耿先生对于【一一对应】概念的认知的错误。没有认识到双射是无重复无遗漏的映射,所以序列中包含全体实数。

 

② 实无穷观和潛无穷观,

欧阳耿先生对康托尔的证明严重曲解,把由反证法的假定【实数可数】所推出的论断:【实数集合中的全部元素必定可排成一个与自然数集合中元素构成一 一对应的序列。】和(论断A):【序列(1)或序列(2)中含有所要证明的实数集合中的全部元素。】说成是康托尔【随心所欲、不负责任地规定】所构造,约定和指定的。

欧阳耿先生在本节中又进一步在此错误的基础上作进步的歪曲。

欧阳先生说【康托在第一个步骤中用“实无穷”的思路构造出“不含那些可用区间套法或对角线法找出的实数”的序列(1)或序列(2),并随心所欲地规定它们“已经包含所要证明的实数集合中的全部元素,

要知道,康托尔是为了证明【实数不可数】,才在反证法中假定【实数可数】。而全体实数组成序列(1)和(2),这是假定推出的结论。 而这个【假定】是康托要推翻的命题,怎么在欧阳的眼里,却变成了康托尔要【构造出】的命题。而又胡乱地说成是【用“实无穷”的思路】构造的。说什么【是“实无穷”与“潜无穷”概念的混乱,导致“部分”与“整体”概念不分】。

实际上是欧阳先生基于对实无穷观和潜无穷观的错误认识,所进行的错误评语。

康托尔主张实无穷观,承认确定的无穷集合的存在,承认确定的实数的存在,这些以及整个集合论,都需要持实无穷观。在实无穷观中不存在什么【部分”与“整体”概念不分。

康托尔是反对潜无穷观的。持潜无穷观,无法理解任何集合论的概念,包括实数理论。

欧阳耿先生认为康托尔【以“潜无穷”的思路用区间套法或对角线法在第二个步骤中严格证明“序列(1)或序列(2)不含所要证明的实数集合中的全部元素”。】的看法也是完全错误的。第二步的证明,如无穷区间套的存在,无穷小数b的存在,没有实无穷观根本就不可能证明,在证明中必须毫无保留地抛棄潜无穷观,这是无可争辩的事实。

我们知道,实无穷观承认无穷集合的存在,但并不承认有个【实无穷小常数】。现代分析理论认为无穷小是个变量,不是常量。欧阳耿以此认定【作为实无穷论者,从康托一贯反对实无穷小数这一事实可看出康托的无穷观是有偏见的,我们可称康托的这种有偏见的无穷观为“偏无穷观”。而他的这种“偏无穷观”必然导致他的实无穷理论不够彻底、导致他的整个无穷理论无法自成体系,从而影响到他的某些数学工作内容的客观性及科学性,导致他的某些数学创造活动出现失误或互相矛盾,

请问欧阳先生,你认为无穷小同实数不可数的证明有关系吗?把这些毫无关系的议题放在这里,目的何在?如果你质疑无穷小是变量,认为无穷小是常量,把你的具体意见摆出來让大家评评。不要在这里乱发议论。

 

欧阳耿在后面一段说明他对实无穷观和潜无穷观问认识是错误的。我们知道集合论有个外延公理。是说两个集合当且仅当它们包含的元素完全一样时,称为这两个集合是相同的集合。欧阳先生说元素的【长相】相同。严格地说不只是长相而是元素是同一的元素。两个集合只有包括的元素完全相同,才是相同的集合。

欧阳耿先生举出例子,自然数集N,偶数集,奇数集,10的幂数集,平方数集,质数集等当然都是不同的集合。但是它们之间可以一一对应,是基数相等的集合,是等势的集合。这些概念,不相同的集合可以一一对应,基数相等。这很正常,很清晰。可欧阳耿先生却说【在这里我们则看到康托自己在“一一对应”原则上非常的混乱。】【证实了康托实际上是非常无可奈何地游走于“实无穷”与“潜无穷”之间。

欧阳先生把这种由元素不同而断定集合不相同的方法称为是康托尔用的是【"实无穷"思路】,而证明两个集合一一对应基数相等时,认为康托尔却用的是"潜无穷观"思路。

他的这些对实无穷观和潜无穷观的认识是完全错误的。康托尔所用的全是实无穷观。潜无穷观根本连无穷集的存在都不承认,怎么会承认存在基数不同的无穷集。

也就是说,欧阳耿先生认为康托尔证明的【无穷概念应用上与操作上的错误】并不存在。而是欧阳耿先生本人在对实无穷观和潜无穷观的认识上存在错误。

③ 极限理论,

欧阳耿先生首先表白了他对极限理论的错误认识。他说【极限论是人类科学中一种将某种“潜无穷”内容转化为“实无穷”、将某种“非确切数”转化为“确切数”、甚至是将某种“不是数的东西”转化为“是数的东西”的工具,极限论是一种“定量的工具”而非“定性的工具”

欧阳先生这些观点全是错误的。无穷集上的函数的极限,无穷序列的极限,必须承认无穷集和无穷序列是确定的数学对象。而这些都是潜无穷观者所无法接受的。潜无穷不可能转化为实无穷。函数都是确切的数系上的函数,序列也都是确切的数的序列,极限并没有把【不确切数】,转化为【确切数】。更没有把【不是数的东西】转化成【数】。另外极限既是定量的工具,有限的极限都是确定的实数。同时也是定性的工具,确定极限存在与不存在,收敛还是发散,这就是重要的性质。另外用极限定义的函数的连续性,是重要的定性工具。欧阳耿先生对极限的这些理解全部不符号实际,都是错误的。包括所说的【1=3×⅓ = 3×0.333333……<1】也是一个明显的错误。

欧阳耿先生对于康托证明理解的错误是,把序列(1)或序列(2)的给出,认为是【极限论本体论上的缺陷使康托先用极限论方法或与之密切相关的无穷小数方法构造出仅含“部分”实数的序列(1)或序列(2),...并毫无道理地规定它们含有所要证明的实数集合中的全部元素,

我们前面已经指出了,这种说法是错误的。序列(1)或序列(2)的构成,并确定它们含有实数集合中的全部元素,这一切都是反证法的假定【实数可数】,同N一一对应所推导出來的结论,並不是康托尔根据极限理论所构造出來的。

也就是说,欧阳耿先生认为康托尔证明的【极限论应用上与操作上的错误】并不存在,而是欧阳耿先生自己,对极限论本身的认识存在错误。

我建议欧阳先生要釆用学术讨论的基本方法來讨论。既然质疑的是极限论对【确切数】【是数】以及【定性定量】等极限的问题,就应该具体讨论在定理的证明中出现了的你说的这些问题。但是却点滴不曾涉及。另外又说了一些与定理证明毫不相干的数学中早己消解的各种悖论,是一种凭空的议论和空谈,不是在进行认真的具体的学术讨论。

 

④ 反证法。

欧阳耿先生在这段对康托个的证明给了极大的歪曲。他说【康托的实数集合不可数证明,成了一种很典型的“无中生有数学魔术”。】他把由【实数可数】的假定推出的(论断A):【序列(1)或序列(2)中含有所要证明的实数集合中的全部元素。】故意说成是【证明者无意中事先藏下某些实数,给出仅含部分实数的序列(1)或序列(2),但是却让观众相信用极限论方法或无穷小数方法所构造的序列(1)或序列(2)中已经包含所要证明的实数集合中的全部元素,可以代表(替换)所要证明的实数集合(没有藏东西),然后让序列(1)或序列(2)而不是所要证明的实数集合去跟自然数集合进行映射比较,用区间套法或对角线法把事先所藏的实数弄出来给观众看,使观众确信证明者可以无中生有,】欧阳耿先生以此來说明,康托尔的证明是在表演【无中生有数学魔术。】这纯粹是欧阳耿先生故意的主观编造和歪曲。康托不是在变魔术。是在严格地证明,由【实数可数】的假定所产生的命题是矛盾的,是错误的,而且最后推翻了这个假定。怎么能说这些命题是由康托尔【用极限论方法或无穷小数方法所构造的】。而欧阳耿先生没有任何根括地说这个证明是在玩魔术。

他说康托尔【违反了反证法(其实是所有证明法)的最基本条件,而不可能对这个证明中一个最起码的问题思考清楚:打算证明什么-------究竟是想证明实数集合是否可数,或是想证明所构造的与经典极限论方法或无穷小数方法相关的序列(1)或序列(2)是否可能包含所要证明的实数集合中的全部元素?

但实际上,是欧阳耿先生他自己沒想清楚【实数可数】就可推出【序列(1)或序列(2)能包含所要证明的实数集合中的全部元素。】而严格证明了【存在实数η和n不在序列(1)和(2)中,】就用反证法证明了【实数不可数。

也就是说,欧阳耿先生认为康托尔证明的【证明思路上与操作上的错误】并不存在,而是欧阳耿先生自己,对【反证法】本身的认识存在错误。把【反证法】的假定,认为是康托尔有意【事先藏下某些东西】,从而认为证明是【无中生有数学魔术。

 

结论。

欧阳耿先生的文章说【康托实数不可数证明中的四种错误】。

但他的分析和观点完全是错误的。主是由于他对康托实数不可数证明的重大理解错误。从他对这种理解的四个阐述,充分的暴露出他对一些基本概念存在着认识上的错误。这四个基本概念是,① 一一对应,②实无穷观和潛无穷观,③极限理论,④反证法。

也就是说康托尔的证明没有错。错误出在欧阳耿先生对这些基本概念本身的认知上。欧阳耿先生应当在改进自己的基本认识上多下些功夫。要提高对一一对应,实无穷观和潛无穷观,极限论和反证法的认识。

 

 

 

 

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1 齐彦收

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