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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。

今日学院：丘成桐数学科学中心（清华大学）。新闻 。

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如何对付较长的证明？

(接上回+oo) Step 2. 第一段。

Assume that there exist a natural number n divisible by I(R) and a divisor 0 <= GY ~ (n+1)M - n(KY+BY) such that (Y, BY^+: = BY + 1/n GY) is lc near T. Let G be the pushdown of GY. Then 0 <= G ~ (n+1)M - n(Kx + B). We claim that (X, B^+:= B + 1/n G) is lc near S.

评论：此段表明，将从Y的层面出发，以间接方式证明定理的结论。

---- 第一句：以假设的形式，在Y定义的层面上，重述了定理1.7的结论。

---- 第二句：由假设的 GY 得到 G。

---- 第三句：得到 G 的结论。

---- 第四句：声明最终的结论。

加评：此段的实质是第一句的假设（其它的暂时都是“空话”）。简记：

GY       T

  |     /   |  n|I(R)

(Y)^+  lc

补问：定理1.7的结论是怎么想到的？

---- 也许只能从“调用”此定理的上下文里寻找答案。

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Step 2. 第二段。

Let f: Y --> Z be the contraction defined by the semi-ample divisor MY. By assumption and construction, M|S ~ 0, T maps into S, and f factors through Y --> X. Thus T and S~, the birational transform of S, are both mapped to the same point by f, say z. It is enough to show (Y, BY^+) is lc over z because KY + BY^+ is the pullback of Kx + B^+ and f^{-1}{z} contains the pullback of S under Y --> X.

评论：此段进一步明确了思路，归结到 “to show (Y, BY^+) is lc over z”.

问题：contraction 的定义。

问题：f factors through Y --> X。

问题：pullback 的定义。

加评：此段宜于识记，而不宜硬去理解（比如，semi-ample divisor 可定义出 contraction）。简记：

                                  (Kx)^+<~(KY)^+

MY                         S<~SY⊂f*{z}

 |                                 ↓↓

 f     M|S~0 , T->S  (Y, BY^+) lc

  \               ↓                 |

   Y --> Z  ==> T, S~~> z

   ↓

   X

又评：作者只勾勒了关键节点。

---- 或出于某种考虑（突出重点?）

---- 或由于此前有类似证明([3, Pro.6.7])。

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Step 2. 第三段。

Assume (Y, BY^+) is not lc over z. Pick a sufficiently small positive number λ and let ΘY:= λ ΓY + (1-κ)BY^+.Then (Y, ΘY) is plt near T but it is not lc over z, hence the non-klt locus of this pair has at least two connected components near f^{-1}{z}. Moreover, -(KY + ΘY) = -λ (KY + ΓY) - (1-λ)(KY + BY^+) ~Q -λ(KY + ΓY)/Z is ample over Z. We then get a contradiction by the connectedness principle [21, Theorem 7.14].

评论：对上一段归结的命题做反证法。逐句评论：

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Assume (Y, BY^+) is not lc over z.

---- 标准的反证法格式：竖靶子。

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Pick a sufficiently small positive number λ and let ΘY:= λ ΓY + (1-κ)BY^+.

---- ΓY 相当于二阶的T，BY^+相当于二阶的BY，ΘY相当于二阶的ΓY（或三阶的T）。

---- 有点象迭代升级。

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Then (Y, ΘY) is plt near T but it is not lc over z... 

---- Y 搭配ΘY（即三阶的T）在T 附近保持 plt.

---- 并受反证假设的“感染”，即“not lc over z”.

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...hence the non-klt locus of this pair has at least two connected components near f^{-1}{z}. 

---- 似乎是某种显然的后果，但根据并不清楚。待考。

名词：non-klt locus; connected components.

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Moreover, -(KY + ΘY) = -λ (KY + ΓY) - (1-λ)(KY + BY^+) ~Q -λ(KY + ΓY)/Z is ample over Z.

---- 粉色项似乎被吸收了，但根据并不清楚。待考。

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We then get a contradiction by the connectedness principle [21, Theorem 7.14].

---- 得到矛盾（根据是1992年的一篇文章）。

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Step 2. 第四段。

Now replace (X, B) with (Y, BY) and replace S with T.

---- 这样取代的目的不明确。待考。

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小结：完成 Step 2 读写（难度略大、隐含调用较多）。

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Leonhard Euler  Carl Friedrich Gauss  Grothendieck   

Glossary (AG) 

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第一轮读写链接（按目录顺序）

Abstract 8/4

Introduction

  Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5

  Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6

  Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7

  Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8

  Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9

  Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9

  Jordan property of Cremona groups 8/10

  Lc thresholds of lR-linear systems   8/11

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1)  8/12

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2)  8/13

  Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree  8/14

  Complements near a divisor  8/15