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“执行定理”的顶层结构

已有 678 次阅读 2019-8-25 22:31 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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(接前: 24 22 21) “执行定理” 的顶层结构.
.
Th1.6

   |

Pro5.9(3)  Lem2.3  Pro5.7

注: 证明的顶层结构.括弧内的数字是出现次数. 
.
评论: “执行定理”的证明是对维数做归纳法(完全不涉及主、副定理).
.
Th1.6 图解.
.
A       M
.
X       B
.
* (XB)~ projective, eps-lc.
*      A  ~ very ample, A ≤ r.
* A - ~ampie.
*      M ~  0, RC|A - M|  Ø.
.
* 结果: lct 有正下界.
.
解读: 主角为 A, 分别与 X (on), B, M 相互作用.
---- 此类命题首先会声明配对的属性.
---- 接着会有个 ample 或 very ample 的对象.
---- 通常也会出现一个非负对象.
---- 最后是个性配置(此处为划线部分).
.
评论: 在全篇中, Th1.6充当“执行定理”, 也证明副定理(Th1.4)的枢纽定理.
.
Th 5.9 图解.
.
      A         L
           Tx
      X        B|t
    
(m)A         T
.         x
     X     (n)Λ
注: 以上有 7 个条件, 1 个结果, 4 个约束.
.
* (XBQfp, eps-lc.
*      A  ~ very ample, A ≤ r.
*      L  0, R-divisor.
* A - BA - ~ ample.
*       (X, B + tL) eps'-lc, t ≤ r.
*      a(·) = eps' ~ T over X.
*                T(x) ~ on X.
注: 前4个(常规)条件与Th1.6接近; 后 3 个系 扩展条件.
.
* 结果: 存在 Q-divisor Λ.
.
*        nΛ ~ integral.
*  mA - Λ ~ ample.
*   (XΛ~ lc near x.
*          lc place of X.
注: 这是 4 个约束.
.
解读: 常规条件以 (X, B) 为基础, 扩展条件则以(X, B + tL) 为基础.
---- 两者的属性有可比之处: eps-lc vs. eps'-lc.
---- 图解中的 T, x, t 仅用于扩展条件.
---- 后者包含了除 A 以外的全部元素.
|--- 结论中的 Λ (Q-divisor)是约束条件的核心元素.
---- 约束条件的重心是 (X, Λ), 局部 lc.
---- Λ 的系数来自Q, 用 nΛ 归整.
---- mA - Λ 不易理解.(m 的来源和用处 ?)
---- 最后一条, 体现了 T 的归属. 
.
窍门: 条件和结论都出现 X, A, T, x; 而 Λ 象形于 A.
.
评论: 这些条件和约束的来源/用处只能在证明的上下文中探寻.
.
Th 5.7 图解.
.
A        L
.   Tx
X      B|Λ
.
注: 以上含 5+3 个条件.
.
* (XB~ projective, eps-lc.
*      A  ~ very ample, A ≤ r.
*      Λ  ~ ≥ 0, Q-divisor, nΛ integral.
*      L ~  ≥ 0, R-divisor.
* A - B, Λ, L~ ample.
* (XΛ~ lc(x).
* ~ lc place of (X, Λ), 带中心 [x].
* a(TXB) ≤ 1.
注: 前5个为常规条件, 后3个为扩展条件.
.
结果: 对任何 ν: U --> X 带有 T, 成立 μTν*L ≤ q.
.
解读: 常规条件以 (X, B) 为基础, 扩展条件以(X, Λ) 为基础.
---- 5条常规条件(多了Λ)与5.9一致.
---- 3条扩展条件, 两条与5.9约束部分一致, 另一条源于5.5.
---- 结果: T 在ν*L内的系数有上界. 
.
评论: 5.7 用于证明1.6, 假定的 Λ 由 5.9 构造.
*
特注: 5.9 和 5.7 都是 1.6 归纳证明的一部分.(除归纳假定外, 5.9 和 5.7 的证明无共同调用, 但有相似的地方).
.
小结: 下一步, 最好熟读 1.6 的证明, 记熟 5.9 和 5.7的叙述(Lem 2.3 凸组合公式, 略)

 符号大全上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈  ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .


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