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Zmn-0946 薛问天: 错误的重要根源是他没认清有限集同无限集的区别，评李鸿仪先生的《0944》

已有 855 次阅读 2023-3-12 17:36 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0946 薛问天: 错误的重要根源是他没认清有限集同无限集的区别，评李鸿仪先生的《0944》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-0944》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

错误的重要根源是他没认清有限集同无限集的区别，

评李鸿仪先生的《0944》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，李鸿仪先生首先列出他在《0941》的[43]跟帖。

【[43]李鸿仪 2023-2-28 10:42 坦然地与任何严肃的科学都不允许的自相矛盾即悖论共存或干脆不承认悖论(例如不承认既客满又不客满是自相矛盾的)，完全不顾事实(比如说无限学校的学生比其中无限班级的学生多这一事实)，固守错误的理论(比如说无法解释上述事实的无限公理)，无视无限不能完成的事实(比如说π的计算永远没有尽头，无法完成)，却一厢情愿，毫无根据，没有任何严格证明地说无限是可以完成的，甚至连发散和收敛都分不清楚，对如此堕落，混乱不堪，随意之极的集合论思维，不感到羞耻，也不感到脸红，反而还大言不惭地批判以消灭任何悖论和错误为目的的相容集合论.......】

这个跟帖说明他对有限集和无限集的区别沒有正确的认识。他直到现在都没有认识到适合有限集的某些规律，对无限集並不成立。这是李先生的错误的重要根源之一。他之所以认不清有限集同无限集的区别，在于他逻辑思维的不严格性，概念的混乱。缺乏数学中严格的逻辑思考的训练。

李先生认为【客满又不客满是自相矛盾的】。是的，对于有限旅馆这是千真万确的事实。但是对于无限旅馆，这就不是真的命题了。为什么呢？因为客观上并不存在无限旅馆，对于无限旅馆这个命题是否为真要进行逻辑推理。由于客满定义为旅客集合能同旅馆的住房集合一一对应。未客满定义为旅客集合能同旅馆的住房集合的真子集合一一对应。要知道这里所说的【不客满】是【未客满】的意思，按照定义，它并不是【客满】的否定。由于同无限集一一对应和同无限集的真子集一一对应并不矛盾，所以对无限旅馆来说，客满同未客满并不存在矛盾。说这是矛盾和悖论是完全错误的。

同样，李先生认为【无限学校的学生比其中无限班级的学生多】是毫无疑问的【事实】。也是不对的。对于有限集来说，集合A的【元数数目】多于它的真子集，这是绝对正确的事实。但是对于无限集来说，什么是集合的【元素数目】并没有数学定义。包括李先生在内，很多人想定义一种【元素数目】使任何集合A的【元素数目】多于它的真子集，结果都宣告失败。要么出现矛盾，要么不可能对所有的集合都有定义。也就是说不可能定义一种【元素数目】使任何集合A的【元素数目】多于它的真子集。

康托尔的基数是业界的公认。认为它是集合中相当于有限集的【元素数目】的概念。但是并不满足使任何集合A的【基数】多于它的真子集。有可能集合A的【基数】等于它的真子集。于是并不能断定【无限学校的学生比其中无限班级的学生多】，完全可能它们的基数相等，都是可数无穷。

另外，李先生坚信【无限不能完成】，也是错误的。是对人类思维能力的过分低估。人类的感观是受限的，一个无限集不可能全部一个个地呈现在你面前，让你感观。但是人的思维推理可以把一个无限集合作为一个确定的对象，进行研究，採讨它的属性。这是人类思维的进步和文明，绝对不能低估。无限在人类的思维中是可以完成的。给定一个无限集，并不是要求把所有的元素都呈现出来，而是给出一种方法，面且证明此集合的任何元素都可由此方法得到，就认为此无限集合已经给出。我们给出自然数的生成方法，任何自然数都可由0经有穷次的后继而得到。给出这个方法，就认为所有自然数的集合己经给出。认为给出此无限集的生成过程，虽然是无限的，但是可以完成。从而对此无限集合可以作为确定的数学对象对待。

π这个无穷小数也是如此。不可能把这无穷个位的值完全写出来。但只要给出一种方法，对任何n都能求出第n位的值。这个无穷小数π就认为已经存在，已经给出。这就是思维推理的强大威力所在。认识不到这点的人才会【感到羞耻，感到脸红】。

二，关于定义，

李先生说【描述性也是一种定义的方法】。对亍数学以外的学科，可以用自然语言的描述来作定义。但是数学不行，数学要求有非常严格的逻辑，数学定义有非常严格的要求。自然语言的描述不能作为数学的定义。任何数学概念，除原始概念外，都要有严格的数学定义，由定义来决定此概念的确切含义。因而定义中除逻辑用语外，所用到的必须是已经定义过的数学概念和原始概念，不允许使用未被定义的概念。少有的原始概念，虽然沒有定义，但必须由相应的公理来决定它的确切含义。李先生的错误在于对数学定义的严格耍求缺乏认识，认为【描述性也是一种定义的方法】。对于数学定义，这是不对的，不符合数学的严格要求。

李先生所引用的康托尔的那句话，集合是“我们的直觉和思维能够确定和加以区分的对象所汇集成的总体，我们称这些对象为集合的元素。”以及我引用的康托尔的话【吾人直覌或思维之对象，如为相异而确定之物，其总括之全体即谓之集合，其组成此集合之物，谓之此集合之元素。】这两段话，我估计出自一处，只是翻译不同而已。这并不是集合的严格数学定义，而只是一个描述性的说明。

李先生说【康托的定义虽然不够清楚，但这并不等于集合是没法严格定义的，】数学定义必须是绝对清楚的，因而用不清楚的自然语言给出的说明不能作为集合的数学定义。这是康托尔给出的说明而不是【定义】。

在严格的现代公理集合论(ZFC)中，集合是原始概念，没有定义。但是集合的确切含义並不是不能严格给出，而是由其各项公理所严格决定的。在这里公理同定义的作用是相同的，给出了原始概念的全部确切的含义。

李先生说【我只不过是加了一个”已经存在”的定语就使其严格化了】。他以为他作了这样的修改，就【严格化】了，用自然语言表达的不清楚的说明就可以作为集合的数学定义了。显然这是他的主覌臆想，这根本不可能。

康托尔的说明讲的集合和元素是【直覌或思维之对象】，直覌的当然是客观存在的，这沒有问题。但思维就不一定了，包括人的设想和假设，不一定真正存在。集合论也适用于研究这些对象，进行推理。可李先生却把【直覌或思维之对象】，改为【元素是必须已经存在的事物】。这显然不符合集合论的原意。简单举个例子。李先生你能说无限旅馆是【已经存在的事物】吗？显然不是，无限旅馆根本不是【已经存在的事物】。它是人们的虚构，是思维中假设的对象。但集合论可以对其研究，靠的是逻辑推理。

至于原始集合论中出现的矛盾和悖论，在现代严格的公理集合论中早已彻底解决。清清楚楚，已不存在任何矛盾和悖论。李先生想用修改集合的描述性说明来解除原有的悖论，完全是多此一举，画蛇添足，没有絲毫的必要。

李先生说【在薛问天心目中，有着根深蒂固的洋奴思想：外国人是伟大的，中国人是渺小的，所以外国人可以定义集合，哪怕定义得不够清楚也是伟大的，而中国人的改进则是不允许的，是”大言不惭”的。】这纯粹是李先生的有意污蔑和捏造。我反复讲康托尔的那段话是对集合的描述和说明，不是数学定义。集合是原始概念没有定义。它的确切含义，是由公理所决定的。什么时候说过【外国人可以定义集合，哪怕定义得不够清楚也是伟大的。】

讨论数学问题的回答是否正确，靠的是它的逻辑推理。不是靠它是哪国人提出的。而李先生把他的论点认为是代表中国人的论点，就一定正确。这种说法是完全错误的。其实李先生的论点并不代表中国人的论点。他的错误论点大都源自国外早期反对实无穷观的论点。同这些外国人的错误论点如出一辙。

在定义中【界定和命名的方法当然不是唯一的】，但是同一概念的不同定义必须是等价定义。必须对此概念的确切含义给出唯一确定的表述。

【定义不需要证明】，但它有【对错之分】。如果定义引出矛盾，它就是错误的定义。另外如果定义不完整，对有些情况定义不出来，就不能认为是完整的正确的定义。例如李先生想定义集合的【元素数目】，他的定义有的要么引出矛盾。有的要么对有些集合定义不出此【元素数目】，不完整，从而宣告他的定义失败。

另外定义必须是清楚的，不允许定义有【这种说法比较清楚，那种说法不够清楚等等，】沒说清楚就不能作为定义。

李先生说【数学中并不是所有的定义都是非常清楚的】。这句话不对。数学中所有的定义都是非常清楚的，不清楚就不能作为定义。

自然数的皮亚诺公理中，后继函数和初始数是原始概会，凡满足公理条件的后继函数和初始数都可以是后继函数和初始数，形成自然数集合。因而以0为初始数，以+1为后继函数形成的是自然数集合。以0为初始数，以+2为后继函数形成的也是自然数集合。以0为初始数，以+0.5为后继函数形成的同样的是自然数集合。虽然具体说是不同的集合，但当把它们看作是由初始数和后继函数形成的自然数集合。则是同一个集合。这就是逻辑的抽象。它们都是由初始数和初始数经有穷次后继运算得到的数作为元素的集合。它们的元素在这种抽象下是相同的元素。因而在这种抽象下是相同的集合。

李先生说【对于无限矩阵的研究早在集合论之前就开始了，所以我用行标数m和列标数n是否严格相等来区分其中的正方形矩阵和长方形矩阵】。这句话本身就表现出李先生的逻辑概念不清。要知道【用行标数m和列标数n是否严格相等来区分其中的正方形矩阵和长方形矩阵】这是有限矩阵的区分正方形和长方形的方法。对于无限矩阵，行标集合和列标集合己是无限集，它们的个数【是否严格相等】，在集合论基数概念提出之前是解决不了的问题。虽然【对于无限矩阵的研究早在集合论之前就开始了，】但是确定无限矩阵是正方形还是长方形，都必须在集合论之后。因为只有用行标集合同列标集合的基数相等才能定义是正方形，基数不等才是长方形。

这里哪有什么【双标】。李先生所说的【薛问天本人，概念也是非常混乱，且存在严重的双标现象，】纯属子无虚有，凭空捏造。

三，最后，我们来谈谈基数。

在康托尔的基数理论中，集合的基数有严格的数学定义。

首先要说明李先生所引用的康托尔的那句话“从集合M抽象掉其中所有元素m的具体性质及其给定的序关系后还余下的东西”。这并不是基数的数学定义。而只是对基数的一种描述性的说明和解释。可以幫助你对基数直观概念的理解，但不是正式的严格的数学定义。因为它没有说清基数的确切数学含义。要知道基数有确切的数学定义。

首先对【集合的基数相等】作了严格的定义。那就是〖如果两个集合间存在双射，即两个集合一一对应，则称此两个集合的基数相等〗。然后证明这个相等关系是等价关系(等价关系是满足自反律，对称律和传递律的关系)。由于任何等价关系都存在有相应的等价类。就〖把基数相等这个等价关系形成的等价类定义为基数〗。当然也可以从这些类的每个类中选一个元素作为代表组成基数这个数系。这就是【所有的开始序数】。最后证明任何集合都有一个唯一确定的基数。同时对基数间的序关系(＞，≥)也都有明确定义。这一切在基数理论中都讲得清清楚楚明明白白。李先对此并不了解，却说什么【①能一一对应最多只能判断两个集合的基数相等，那么基数本身又是什么呢？也就是说，基数本身的定义是什么呢？②如果可以用A集合的基数来定义B集合的基数，那么B集合的基数又用什么来定义呢？难道不是必然要陷入循环定义吗？】

这纯粹是由于对数学的等价类概念的无知所发出的疑问。是对基数的原有定义的【说三道四】。

也就是说李先生说的下面这句话是对的，是对他自己的质疑所作的恰当评价。【自己提不出更清晰的定义，又要对别人的原创性定义说三道四，肆意曲解，都是愚蠢的。】

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