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Zmn-0942沈卫国: 介绍哥猜误差的反向删除法，并简评樊毅先生的“对”与“错”

已有 1037 次阅读 2023-2-21 20:48 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0942沈卫国: 介绍哥猜误差的反向删除法，并简评樊毅先生的“对”与“错”

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。是对樊毅先生《Zmn-0940》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

介绍哥猜误差的反向删除法，并简评樊毅先生的“对”与“错”：说我对的地方，他当然对；而说我错的地方，他恰恰错了（评Zmn-0940 樊毅: 沈卫国哥德巴赫猜想证明的正确与错误之处）

沈卫国

首先感谢樊毅先生对有关哥德巴赫猜想方面文章的评论，并且起码在某部分认可敝文的思路。樊先生一看即知对这个问题相当了解，是亲自搞过的，动了脑子的，并且有所收获的。究竟樊先生是先了解了其他人的工作后搞的，还是完全自己独立搞的，只有樊先生心里清楚，在此不去猜测。但如果是后者，就说明这个解决哥猜的思路绝对是有点名堂的，不是无足轻重的。因为不少人都是这个思路。大家如果不约而同地走这条路，是不是这条路就是条路？（世间本无路，走的人多了，就成了路）起码是条路的概率就更大了吧？

现在具体分析樊先生所提出的问题。首先樊先生文中给出的那张计算机生成的表有打印错误，比如“10*1/3=10”、“6*3/5=6”等何意？我是搞这个的，当然稍微想一想就明白怎么回事了，但如果有人对此比较陌生，就糊涂了。

N = 120的情况，樊先生也认为没有什么问题。那我们就直接讨论N = 200的情况。樊先生的计算步骤中“6×7/9”（他的表中误打成了“4.6666666666667*7/9=4.6666666666667”）不应该保留。因为我的计算公式n=N/4*1/3*3/5*5/7*7/9*...*(√N-2)/√N=√N/4有此项，是完全是为了计算方便，而且正如樊先生所言，一个数乘以一个小于1的数，只有更小，因此不影响结论。而樊先生这里是为了比较精确地验算，以更贴近实际情况。因此，9中包含3因子，早在第一步就删了，这里不能再出现。因此，就应该是6×9/11，而不是4×9/11了。最终4×11/13 = 3.3..........，舍弃小数点后面的，为3。而按我前面的公式得到的所谓3.5，当然也不许取整为3，因此两种方法还是一致的。不是樊先生所说的2比3.5小，因此证明失效。我的方法的目的，是只要大于等于1就行了，就满足哥猜要求了。就算以樊先生求出的2为准，不是也大于1？因此，樊先生以求出了一个2，而2小于我求出的3.5来否定我的方法，是不能成立的。至于我的方法是否有误差，以至最终导致求出的结果小于1，那是另一个问题，不是樊先生这个方法所能断定的。

这个误差问题，我一开始认为并不重要。显然随着N的增大，误差会越来越小，况且我公式中还为了运算方便乘了很多小于1的分母为其实已经被删去了的合数项，比如樊先生此例中的7/9，9为合数，它本不该出现在公式中的，之所以写上，只是我为了可以上下相消，以简化计算，而对结论还只能加强，何乐不为？但不要以为这是什么必要条件。而公式中加进来这些合数项后，只能极大地抵消因为小数点后面的误差所可能使得结果数值偏大的情况。这个樊先生当然是明白的。我2011年第一篇哥德巴赫猜想的文章出来后，有人提出这个误差问题，我觉得也有更严格些的必要，以彻底了断这些人的质疑，大概也就思考了一两天（还有印象），最后找到彻底解决的办法。于2014年2月发表。见此文的附录一。实际上，就是反着删（不再是从左至右，由小而大。而是相反，由右至左，由大到小地删），先删大素数，而且对一个比式，先除以分母上的奇数，再乘以分子上的奇数。而不是相反。如此，可以最大限度地删掉可能的奇数对，也就是排除任何可能的误差。谁也再说不出什么了。这里说明一下，一个数乘以一个分数，比如7×3/5，如果考虑取整的问题，先乘，即7×3 = 21，再除，即21/5 = 4（取整后），而如果先除，即7/5 = 1（取整后），1再乘以3当然等于3。可见，就取整操作而言，先除后乘，比之先乘后除，可以最大限度地消除多算的误差。既然先除后乘，可以最大限度地消除多算的误差，那么，如果我们还是从小删到大，就如附录一中的例子所说明的那样。就此文中的情况而言，如前面的4×11/13 = 3.3，必须先乘后除才可以得到这个3.3以至于取整后的3。如果先除，4/13，怎么算？它小于1，舍了，无法接着算下去了，不舍，则不能说排除误差最大化。但从大的奇数删起，从右向左、从大到小地删，就没有此问题了。至此，任何可能多留奇数对的可能都被彻底排除。只能多删，不能少删。简单些说，如果我们从小的素数删起，如从3删起，则一下子就最大限度地删掉了全部奇数对的2/3，只保留了1/3，这其中也删除了既有3因子，也有5因子、7因子等的奇数，比如15、21、105等等。显然，数越多，误差越小。比如，100×3/5，可能的误差很小。而2×3/5，则可能的误差就很大。不含5因子的奇数对可能有2个，也可能一个也没有。而前者不会，保证绝大部分不含5因子的奇数对都存在。误差只是一个零头。于是，如果先删小的，删的很多，到后面删大的时，误差就可能比较大。而先删大的，删去的相对少，保留的多，不但大的可能的误差小，而且小的误差也足可以保证较小。

举个例子也许说的更清楚。就比如N = 120，其中奇数对的数目是N/4 = 120/4 = 30对。2/7什么意思？是指每7对奇数对中，最多有两对含有7因子。而1 - 2/7 = 5/7什么意思？是指最大限度地删去含有7因子的奇数对（当然是奇合数，下同）后，还剩下每7对奇数对中，还剩下起码5对不再含7因子的奇数对。于是可知，30个奇数对中，其中含有素数7因子的两个（注意是两个！）奇数对是的个数是30/7 = 4.2...........，舍弃小数点后面的不确定数目，得到4个“两对”，实际就是8对。这是可以保障的，不是一个概率概念了。即，如果是30个奇数对，舍弃2个后，取7的4倍即28对奇数对，则其中必然最多有4个包含7因子的两个奇数对（即意味着含有7因子的奇数，共有8个，最多可以构成8个也就是4个两对奇数对。谁不信就去自己数。这是数学中的常识），这当然是假设两个奇数中只有一个含7因子，这是最大数目了，实际上，会有这样的奇数对，即其中两个奇数都含有7因子，如此，总的含有素数7的奇合数对就会减少。但我们就是按最大可能来删的，以排除任何不确定性和误差，只可多删，不可少删。而4×5 = 20，也就是30/7 = 4.2..........取整后为4，再乘以5，等于20，显然这个20就是除去含有7因子的最大可能的奇数对后，还剩下的再也不含有7因子的所有奇数对。实际情况比它只多不少。20再除以3/5中的5，与上面除7的情况一致地，20/5 = 4，是前面剩下的20个奇数对中，含有5因子的两个奇数对的个数。4×2 = 8，其实也是8对。当然也是最大限度的。4再乘以1 - 2/5 = 3/5中的3，等于12，就是删去了含有5因子所有奇数对后剩下的只含有3因子的奇数对了。其中只含3因子的奇合数为12个中的2/3，也就是同样的8个，还剩下的1 - 3/2 = 1/3，12×1/3 =4，就是已经不再含有3、5、7素数因子的奇数对的个数。而下一个素数11的自乘，已经是121，超过了120，它不可能再构成其和为120的奇数对，因此不考虑。于是，剩下的这4个，只能是每一个其和都为120的素数对，也就是满足哥德巴赫猜想的素数对。因为显然，按上述删法，全部奇合数都被最大限度地删除了，只可能多删（也就是把原本不该删除的素数对也给删了），不可能少删。而哥德巴赫猜想只要求一个素数对就足够了。而且满足要求的所有素数都是不小于11的。因为11的平方已经是121，大于120了。因此虽然小于11的素数完全有可能也有满足哥德巴赫猜想的。比如此例的的7+113 = 120，其中7就满足哥德巴赫猜想的要求，但我们仅仅为了方便、简化计算，也删去了。

上述反向删除时最大的素数选择的是7，这个是比较准确的。但如果按一般式，我们并不知道小于或等于N^1/2的第一个数究竟是不是素数。于是，一般而言，我们就以最大的那个奇数来算了。在上例中，小于120^1/2的第一个奇数为9，于是就按9算，30/9 = 3（取整后），如此算下来，等于多删了，但仍旧满足哥猜的要求。

此种做法的理论基础，是任何一个素数（比如5）的整数倍时，其中含有该素数（比如5）因子的奇合数数目是确定的（包括第一个素数，比如5）。这个事实没有任何不确定性或概率性。而按我们这里最大程度地删除这种奇合数（包括第一个素数）的做法，假设每一个含有该素数（比如5）的奇合数都组成一个奇合数对（此种情况包含该素数的奇合数对是最多的。如果某奇合数对中的两个都含有该素数因子，则含有该素数的奇合数对的总数当然就会减少。我们的考虑，前面已经多次说了，是最大限度地多删，所以这种可能性我们就不考虑了）。

之所以同样一个公式，如果考虑每删一步都消去小数点后面的部分（取整）的最大限度的消除误差的步骤的话，对于从左至右、从小到大、先乘后除的方式而言，由于一开始素数小，删的可能太多了，以至于后面不够删的了。而反向地从右至左、从大到小、先除后乘的方式，实际只是一开始舍弃小数点后面的部分取整即可。一旦取整了，先删大的，则保证了删的比较少，以至可以保证删到最后（即删到仅含素数3因子的）也可以十分精确地删除。

于是，虽然这里只是一个举例说明，但按此思路，它是普遍的，即无论N多大，都成立，于是哥德巴赫猜想得证。

可见，从大到小，从右而左，先除后乘的删法，只需一次舍弃小数点后的误差，其余都是最大限度地“精确”的、没有疑问的。在N = 200的情况下，7/9是不必要的，但在此式中保留，意味着含有9因子的奇数对情况。而当然9是包含素数3因子的。于是说起来此项多余重复，在从小到大、先乘后除且每步要取整的删法下，等于多删了，但反向的删法，并不影响最终结论。无非是先删含9的，再删含3但已经不含9的而已。

最终我们可以看出，笔者最初的方法（从左至右，从小到大），与倒着删的方法，其实是一样的，只不过后者提供了一个坚实的排除误差的理论基础而已。它实际就是一个对前者的证明。即可以直接看成是对笔者2011年第一篇文章提出方法的一种验证、证明。二者在实施上是一回事，但后者（指倒着删的方法）理论依据清晰了。同时因为显然，公式中的N^1/2/4= N/4N^1/2，写哪个都行。考虑取整后的二者之差，无本质意义。如，就以N = 200为例，按我的仅仅为了方便给出的N^1/2/4算出的为3.5，取整后为3。而按反向删除（目的为最大限度的消除误差）的方法，就以 N/4N^1/2算，为3.8........，取整后仍旧为3。况且按我的方法，也完全可以使用原本的N/4N^1/2算，并无必要非要用N^1/2/4算，用它只是为了简化运算而已。具体理论表述，请见上文及附录一我2014年的文章。

樊先生既然有计算机程序可以验证，不妨验证一下：第一，从大到小（即从右而左）。第二，先除后乘。理论依据我上面及附录一中都说了。

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上文写完，我才诧异地发现，附录一中的关于误差的文章，早就发过这里，就是zmn-0892，数森、樊毅的文章，不是都针对该文的吗？附录一中的文章，根本就在该文中了。樊毅先生似乎不会看不到吧？还是没有看懂？我原先以为他没有看到呢。如果看到了，还说我没有注意误差问题，什么“不注意细节”、“天马行空”从何说起？为郑重起见，附录一我也不删了，但其它文章就不作为附录再重复发了。

不得不感慨，看到或自以为看到别人有错了，一些人积极着呢，纷纷抢着“指出来”错误或他们认为的错误。这当然是允许且应该的。而看到别人的成就，如果他看懂了，就不吭声了。这说明学术上像样的评价体系是缺失的。比如，前期“反对伊战”（戴捷）先生对他所谓的“一些民间数学爱好者”对哥猜证明中的所谓“错误”的反驳，又是对数，又是素数定理的。弄了半天，是他自己没有搞清楚我的意思。而数森先生，他批评我不够“规范”，而他自己“规范”了半天，连个奇数对表都没有“规范”对。还说什么误差会趋于无穷大。这简直就是天方夜谭。再怎么有误差，也绝对不会趋于无穷大。因为仅仅直观上也可以看出来，即使就按照从小到大地取整的删法，随着N的增大，原先较大的误差占比较大的素数构成的奇数对的误差占比会越来越小。因为该素数对增大的N而言，变得越来越小，而越小，误差越小。尽管也会有更大的素数构成的奇数对产生新的较大误差。但无论如何，根本没有什么总误差趋于无穷大一说。而只要从大到小地反向删，这个误差问题根本就不存在。

我就说，樊毅先生如果看明白了我消除误差的方法（反向删除法），认为没有什么问题，我也不要求什么人“宣布”“哥猜得证”。但我想起当年华罗庚指派王元审读陈景润1+2的稿子的掌故：王元最后的评价是“未见明显错误”，据说他自己为此后悔不已，认为评价太低，且有一丝酸溜溜的感觉。现在，连这个东西，在数学界还有吗？话说回来，当年要不是王元的老师华罗庚的指派，王元究竟会否去看陈景润的文章并给出这个“评价”，为他人“抬轿子”，实在是都很难说的呢。可见，纯理论的学术评价体系的建立，是完全要建立在极高的从业者的道德水准之上的。现时我看一般中国人（外国不知，近年估计也不太行了）根本就达不到。不是说道德水平不行，而是说达不到那么高的道德要求。就是我自己，也可能是一样的：对别人的成就了无兴趣。见了别人哪里不行了，跟打了鸡血似的。呵呵。所以，如果没有计算机评价体系建立起来，纯学术比如数学这个领域，早晚要没落。写多了，打住。

参考文献

[1]、沈卫国，若干重要数论问题的证明，天津职业院校联合学报，2011年第11期

[2]、沈卫国，我对哥德巴赫猜想的证明思路，国家科技图书文献中心，预印本，数学部分；知乎网沈卫国实名博客

[3]、沈卫国，哥德巴赫猜想证明中的误差问题，天津职业院校联合学报，2014年02期

[4]、沈卫国，有关哥德巴赫猜想的几篇文章汇总及兼论孪生素数猜想的一并解决，国家科技图书文献中心，预印本，数学部分；知乎网沈卫国实名博客

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附录二：

如果哥德巴赫猜想成立，孪生素数猜想也成立

沈卫国

内容摘要：在哥德巴赫猜想成立的前提下，证明了孪生素数猜想也必然成立。如果其不成立，则哥德巴赫猜想也不成立。

关键词：孪生素数猜想；哥德巴赫猜想；反证法；概率；机会；偶数；偶数对半中间数

笔者在前期相关文章中给出了哥德巴赫猜想的证明思路。并得出如果N为所给的任意偶数，则N^1/2/4为起码满足关于N的哥德巴赫猜想的素数对的个数（取整）。对N而言，满足哥德巴赫猜想的素数对只比它多，不会比它少。如N = 120时，该数为2。当然，实际上满足哥德巴赫猜想的素数对的数目是大于此数的。为什么我们可以说只要哥德巴赫猜想成立，孪生素数猜想也成立？这是由于，满足哥猜的素数对，是以N/2为中心两边对称分布的。比如N = 120，则满足哥猜的素数对为：59，61；53，67；.......等等。而其出现的具体位置，随N的不同，是随机分布的。换言之，其终点两边的第一个素数对，随着N的变大，是总有机会出现的（也就是没有不出现的“机会”的）。比如上面的“59，61”，而这就是孪生素数。当然，这要求该偶数N的对半中间数N/2起码要是一个偶数。比如120的中间数就是60。而如果122的中间数61则不行。其两边第一个和为122的奇数对为“59，63”，就算它们都是素数（当然这里的63并不是），也不是孪生素数。两个数的间隔为4，而不是2。于是我们可知，比如120，其中包括60个奇数，可以组成30个其和等于120的奇数对。如果我们事先并不知道其中素数对的具体位置，只是由哥德巴赫猜想的证明中知道，其中必有起码两个可以满足哥德巴赫猜想的素数对存在（其实当然一般会更多），于是，这两个素数对出现在任何位置的概率是1/30。于是它们出现在中点60两边的位置（59，61）的概率也是1/30，而既然有3对（最大按9算）甚至4对（最大按7算），于是实际概率是1/10或1/7。即使按文首的算法，2对，概率也是1/15。对一般的N而言，其概率为（N^1/2/4）/(N/4）= （N^1/2）/(N）= 1/N^1/2，虽然随着N的增大，这个概率是逐步减小的。但只要N存在，这个概率就不为0。如果为0，则其它的任何素数对出现的概率都会是0，也就是说哥德巴赫猜想不成立。但哥猜前已证明或按此文的假设其是成立的，因此，这个概率是不为0的。既然不为0，就是总有机会取得中心点左右两边的第一对素数对，也就是总有孪生素数产生的机会。即，如果孪生素数在N大到一定程度，就不会产生了，那就是其概率为0了。但事实不是如此。因此，这就否定了孪生素数不会发生的可能，也就等于证明了孪生素数必然会发生。也就是说，只要还有N在，这个孪生素数产生的概率就存在，就不为0。尽管其发生的机会越来越小，但总存在。

总之，所谓证明孪生素数无论N多大，总会有，就是证明其发生的概率不为0（无论其多小）。二者是等价的。而只要哥德巴赫猜想成立，这个概率就不为0。孪生素数猜想就成立。可见有关素数的问题往往是相关的，当年希尔伯特所提20世纪23个待解决的数学问题时，专门把很多素数问题列为一类问题，而不是把它们单独分别列出，是有远见、有道理的。我们说，任何两个孪生素数之和，都是一个偶数，这是当然的。而如果即便仅仅是假设哥德巴赫猜想成立（其实按笔者方法已经被证明其成立了），则当然任何偶数都可以由起码一对素数对之和来表示。而这个素数对的相对位置，对已经被选定的一个偶数而言，当然是固定位置的。但对不同的偶数而言，如果我们还不知道具体素数对的位置和个数，则完全可以看成是随机但对称于该偶数的中心位置来分布的。任何对称位置，都没有理由永远不被这样的素数对占据。偶数的取半中心如果是个偶数，紧挨着这个中心点的两边为这样的素数对的情况，就如任何其它对称位置一样，没有理由不被取到。如上述N = 120的例子。60为其中心位置，且60为也为偶数，则59 +61 = 120。59、61都为素数，这两个就是一对孪生素数。既然很多偶数N没有这样的孪生素数对满足哥猜要求，但总有偶数N会有这样的孪生素数对满足其哥猜要求。这个机会不可能没有。如果它没有，其它位置的素数对也没有，而这就等于说哥德巴赫猜想被证明为不成立了。但我们的假设是它成立（实际也被证明它确实成立。只不过由于数学界的现状，少有“专家”鉴定而已）。遂由反证法，可以证明孪生素数猜想一定也成立。