Zmn-1152 薛问天: 正确认识【α是β的高阶无穷小】及其解释【α比β趋于 0 的速度快】的具体含义。评沈卫国《1151》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生的《Zmn-1151》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识【α是β的高阶无穷小】及其解释【α比β

趋于0的速度快】的具体含义。评沈卫国《1151》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

沈卫国先生所说的关于高级无穷小的问题【引起了很大的争论】，还说什么【似乎并没有确切的结论】，这都不符合事实。根本不存在什么【争论】和【问题】。这一切都是沈卫国先生和某些人个人的认识和理解的错误。甚至还说【这个问题，直接反映了微积分基础理论的结构的混乱到了令人吃惊的地步。......明明第二代微积分的极限法为了回避贝克莱悖论，是摈弃了无穷小这个概念的，怎么又会被堂堂正正地写入了教材，并且被一些教师说成是“高等数学的很重要的概念”？ 】

这些都是沈卫国先生们的认识错误，是无中生有的主观臆想，所以这些错误的观点必须彻底批判並予以纠正。

一，首先要明确高阶无穷小的正确定义和解释。

”设 α，β均为无穷小量，若lim α /β ＝0，则称 α较β高阶无穷小”。解释为“α比β趋于 0 的速度快”（引号部分摘之教材）。这个有关高阶无穷小的定义和直观解释是正确的，没有错误。

当然无穷小量指的是极限为0的变量。这里的α，β都是自变量x的变量，当x→x0时α(x)→0和β(x)→0。另外，解释要服从于定义。其中【α比β趋于 0 的速度快】。指的就是【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】不要作其它的错误理解。

怎样用【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】来解释【α比β趋于 0 的速度快】呢？这就要用极限的定义。按照ε-δ的极限定义，【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】的意思是，α是β的高阶无穷小当且仅当，对任意小的ε>0，都存在这样的δ>0，当|x-x0丨<δ时，有|α/β丨<ε。直观上讲，就是越接近x0，丨α丨比丨β丨小得越快。对任意小的ε，都存在这样的δ，当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨小ε倍，丨α丨<ε丨β丨。这就是解释【α比β趋于 0 的速度快】的具体含义。丨α丨比丨β丨小ε倍，你说丨α丨比丨β丨是不是小的速度快。

二，沈卫国先生对高阶无穷小的两种错误理解。

1，沈卫国先生把【α比β趋于 0 的速度快】错误地理解为【向 0 的变化速度快】。他说【众所周知，导数是研究函数变化速度的。要想知道函数 f (x）的变化速度只需求 f (x）的导数即可。】

把【α比β趋于 0 的速度快】理解为在x0附近，函数α(x)的导数大于β(x)的导数。这个理解显然是错误的。例如α(x)=x^2，β(x)=x，显然当x→0时α(x)/β(x)=x→0，从而【α是β的高阶无穷小】，但在0<x<1/2中α(x)的导数是2x小于β(x)的导数1。

也就是解释必须服从于定义，【α比β趋于 0 的速度快】只能解释为【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】不能作其它的错误理解。

2，沈卫国先生把【α比β趋于 0 的速度快】错误地理解为当且仅当【 总存在那么一个时刻δ，从那个时刻以后，即丨x-x0|<δ时有｜α/ β ｜＜1。分子α的绝对值比分母β的绝对值小， 说明分子α离零的距离要比分母β离的近。 因此可以说，无穷小的比较实际上是在某个变化过程中从某个时刻以后谁离零的距离更近。谁离的近谁就是较另一个的高阶无穷小。】

显然在x0的邻城中有｜α/ β ｜＜1，即丨α丨<丨β丨，但这只是α是β的高阶无穷小的必要条件，並不是必要充分条件。例如当 x→0 时，α(x)=x/2 与 β(x)=x 都是无穷小，但 丨α丨<丨β丨，x/2 离 0 的距离与 x 比更近。但实际上二者是“同阶无穷小”，α(x)/β(x)→1/2，极限不等于0。

沈先生的错误在于，把对任意的ε，存在有δ，使当丨x-x0丨<δ时，有|α(x)/β(x)丨<ε。换成存在有δ，使当丨x-x0丨<δ时，有|α(x)/β(x)丨<1。当然出错了，把必要条件当成必要充分条件。

总之，从上述1，2可以看出，沈卫国是对【所谓的“趋 0 速度”的快慢，究竟是个什么意思？】做了错误的解释。解释要服从于定义。其中【α比β趋于 0 的速度快】。指的就是【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】

α是β的高阶无穷小，【α比β趋于 0 的速度快】，指的是当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨小ε倍，并不是α的变化速度(导数)大于β的变化速度，也不是α离 0 的距离比β离0的距离更近。当然【所以无论从哪个角度，都说不通。说距离近，也不是总近；速度快，也不是总快。】这並不是对【α是β的高阶无穷小】，【α比β趋于 0 的速度快】，的定义和解释本身有误，而是沈卫国先生对高阶无穷小的定义和解释的理解有误。

三，沈卫国先生的错误结论。

沈先生就这个问题给出了三个小结，都是错误的，现评论如下：

1, 沈说【无穷小概念，早就应该杜绝于极限法的第二代微积分中，但现在仍旧在为诸多教师津津乐道，实在是不应该。这是完全无视贝克莱悖论的做法。讲无穷小概念与极限相提并论或等同起来，都是违反极限法第二代微积分初衷的。】

这显然是错误的。我们所批判的是把无穷小看作是常量的错误，把极限为0的变量称为无穷小量，当然没有任何错误。如果Δx→0时把α(Δx)→0的变量α(Δx)称为无穷小量，这里规定Δx≠0，根本不存在Δx≠0和Δx=0的贝克莱悖论。无穷小量不是常量，所以也根本没有违反极限法第二代微积分的任何初衷。

2,沈说【参考文献 1 提出的这个问题，深刻地反映了所谓“高阶无穷小”这个概念完全没有真正说清，进而（高阶）无穷小可以舍弃的理由完全不成立。实际上，两个变量（可看成自变量与因变量）是同时到达 0 点的，没有什么先后之分，与什么趋 0 速度的快慢，或离 0点的远近没有必然关系。......】

实际上高阶无穷小的定义非常清楚，那就是【当x→x0时，α(x)/β(x)→0】。沈先生把其中【α比β趋于 0 的速度快】的解释理解为α和β的导数所反映的变化速度的快慢和离 0点的远近，这完全是沈卫国先生理解的错误。同原有高阶无穷小的定义和解释毫不相干。另外沈先生所说的【无穷小可以舍弃的理由完全不成立】，也是不符合实际的。在极限理论中根本不存在【舍弃】的问题。极限为0就是极限为0，并不是【舍弃】。

另外，沈先生说【换言之，二者之比（因变量与自变量之比，即增量比或差商）在 0 点没有任何理由不是 0/0，因为显然，从前述参考文献 1 提出的问题可知，其实因变量与自变量是同时到达 0 点的，无论是函数值的到达还是极限值的到达。】

说明沈先生对极限缺乏最基本的了解。0/0是α和β的【极限值的比】当然没有意义。但高阶无穷小说的是它们的【比的极限】等于0，α/β→0，【比的极限】和【极限值的比】当然不同，沈先生怎么能认为它是0/0，可見认识差别太大。另外沈先生把极限看作是什么【同时到达】说明沈先生对极限概念缺乏最基本的了解。

3，沈先生说【把无穷小语言换成极限语言，其实也一样。除非因变量比自变量先到 0 点，也就是自变量不为 0 时因变量已经为 0 了，我们才可以舍弃它。否则二者之比（增量比，差商）在 0点就是 0/0，仍旧是一个需要解决的问题，它就是贝克莱悖论。】

看来沈先生根本就没有弄懂无穷小和极限的基本概念，在这里乱说一通，摸不着边际。什么【因变量比自变量先到0点】，【才可以舍弃它】，【0/0】，【仍旧是一个需要解决的问题，】，【它就是贝克莱悖论】.......等，全是沈先生自己的主观胡乱臆想。

四，沈卫国先生对无穷小和极限概念的错误质疑。

在极限理论中把无穷小量定义为极限是0的变量，是相当清楚的，没有混乱之处，沈先生说【趋于 0 但不是 0，又可以马马虎虎地被“看作”0。总之，十分混乱。】这种评论是完全错误的。

沈先生说【极限点的定义“故意”不去这么定义，而是故意地剔除极限点在趋 0 函数 f 的定义域中。但最终毕竟，极限点还是它这个 0。显得非常造作。本来就是它，却先偏说不是它，最终还是它，但又说不是原先的那个它，是新定义的导函数也就是极限函数的它。非把人（学生甚至是教师、教授本身！）绕糊涂了不算完。 】

说明沈先生根本没弄懂函数点和极限点的关系。甚至说【极限点就可以同时也是函数点，反之亦然。起码大多数情况就是如此。】要知道极限点和函数点是不同的概念，极限点等于函数点的函数称为连续函数。在数学中要研究很多非连续函数。如果不区分函数点和极限点怎么研究非连续函数？这些言论纯属沈无知的表现。

沈先生说【自从第二代微积分产生后，无穷小概念是被“废除”的！】这完全不符合事实。所废除的是定义为常数的无穷小，而第二代微积分是把无穷小定义为极限等于0的变量。

沈先生对无穷小的定义做出了莫明其妙的评论。他说【重复地定义无穷小概念（说“重复”，是这种无穷小的定义，已经不是一个确定的小区域或点，而是一个动态的、无完结的、永到不了目标或能到也故意不到的一个趋 0 过程），然后把其添加到求极限点的定义中去，使其造成一个假象，似乎极限就是无穷小，无穷小就是极限似的。其实，这是混淆了极限过程和极限点。】

可以看出这种批评是无中生有，无的放矢。无穷小是极限为0的变量。当然有变量的极限点，是0。而且这个极限点是通过求极限的过程求出来的。求极限的过程和极限点密切相关，有什么【可混淆】的问题。不知沈先生在批评什么。

沈文说了大段大段的话，但是语无伦次逻辑混乱，不知在说什么。例如他说【通俗些说 ，就是混淆了目标点本身与趋于目标（但到不了目标）的这个过程。然后再在极限法的外衣下、行话下的掩饰下，从真正的极限概念返回到无穷小概念，具体说就是趋 0过程的概念，其目的，显然就是又试图回避本身就是为了回避贝克莱悖论才应运而出的极限法带来的诸多困扰，使得比较简单明确易于理解的无穷小概念重新回到微积分的教学舞台中。这叫什么？这叫在乱上添乱！无穷小本来就够乱的，给改成了趋 0 极限点，趋 0 极限点本来也够乱的，感觉还是无穷小乱的好点，又给改回无穷小，还说二者本是一回事云云。总之，如此多的数学教师还在那里大谈特谈无穷小的什么趋 0 快慢问题，离极限点的远近问题等等？这不是在做无用功吗？事实上，一句话，其实无论趋 0 速度如何，距离极限点的远近如何，函数和自变量的点，是同时到达极限点的。去无谓地探讨因为哪个原因才可以舍弃哪个，终归是徒劳的、错误的。......】

请问各位，你们能听清沈先生在说什么吗？说什么【混淆了目标点本身与趋于目标（但到不了目标）的这个过程。】

怎么又【从真正的极限概念返回到无穷小概念】【为了回避贝克莱悖论才应运而出】？引入了极限，已限定Δx≠0，己彻底解决了Δx≠0和Δx=0的贝克莱悖论，怎么会存在【回避贝克莱悖论才应运而出】的问题？这么清楚的无穷小，趋于0的定义，怎么竞变成了【这叫什么？这叫在乱上添乱！】.......不知沈先生想说什么！在批评什么【无用功】，【徒劳】和【错误】。全是无中生有地乱弹琴。

五，沈卫国先生对高阶无穷小和现代微积分求导定义的错误认识。

从沈先生文中的两句话，可以看出他对高阶无穷小和导数定义的错误认识。其中第一句话是【如此多的数学教师还在那里大谈特谈无穷小的什么趋 0 快慢问题，离极限点的远近问题等等？这不是在做无用功吗？】

这句话说明，沈先生并不了解α是β的高阶无穷小当且仅当，对任意小的ε>0，都存在这样的δ>0，当|x-x0丨<δ时，有|α/β丨<ε。直观上讲，就是越接近x0，丨α丨比丨β丨小得越快。对任意小的ε，都存在这样的δ，当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨小ε倍，丨α丨<ε丨β丨。这就是解释【α比β趋于 0 的速度快】的具体直观含义。就是越接近x0，丨α丨比丨β丨小得越快。对任意小的ε，丨α丨<ε丨β丨。为什么【如此多的数学教师还在那里大谈特谈】，就是因为这是事实，而且是你没有认识到的事实。

第二句话是【事实上，一句话，其实无论趋 0 速度如何，距离极限点的远近如何，函数和自变量的点，是同时到达极限点的。去无谓地探讨因为哪个原因才可以舍弃哪个，终归是徒劳的、错误的。】

这句话反映沈先生对微积分中导数的定义缺乏正确的了解。在导数的定义中根本就不存在【舍弃】的问题，当然不会把高阶无穷小的【小得快】作为舍弃的【原因】。求导数时因为Δy/Δx=A+0(Δx)/Δx，求极限后得到导数等于A，並不是【舍弃】了高阶无穷小，而是把导数定义为当Δx→0时Δy/Δx的极限，其中0(Δx)/Δx的极限等于0。这是极限理论的最基本知识，怎么连这都不懂，说成是什么【舍弃】。

因而沈先生说【二十年前提出问题争论了这么多年也没有一个确定的结果就可以看出来。这是一个死胡同，无解。具体、明确地说，无论是按无穷小的说辞，还是按现有不可达极限法的说辞，都无法解决这个问题，】

这种说法是完全错误的。这里根本不存在任何问题，一清二楚。高阶无穷小完全有它的直观解释，导数有它严格的定义，没有什么【舍弃】，这里没有任何矛盾和不可解的问题。

沈说【其实是自相矛盾的！无法自圆其说的。第一代微积分实际做的是：先舍弃高阶项（理由是高阶无穷小可以舍），再求 0 点的函数值。而极限法的第二代微积分是，同样，先舍弃高阶项，再求趋0 极限值。总之，笔者认为，错的就是错的，不完善的就是不完善的，任何试图打无原则的圆场的做派，属于拆东墙补西墙，剜肉补疮，终归还是要暴露出其有意无意试图掩盖的问题来。】

第一代微积分说不清导数的定义，令Δx=0，胡乱舍弃，引起矛值和悖论。但认为第二代微积分【同样，先舍弃高阶项，再求趋0 极限值。】不符合事实，是对导数定义的有意诬蔑和歪曲。这里不是第二代微积分的错误而是沈卫国先生的认识和叙述的错误。

至于沈先生说的什么【也就是彻底摈弃第一、第二代的无穷小或极限法微积分的导数定义（及求法），才可以彻底地、无任何矛盾地解决这个问题。】则更是見不得人的错上加错了。

六，沈卫国先生对【可微】定义的错误理解。

我们知道，函数y=f(x)在点x可微的定义，就是可导的定义。函数y=f(x)在点x可微的条件是，当Δx→0时，Δy/Δx→A的极限存在。

而沈先生说【这体现在“可微”按字面，就是“可以微分的”，“可微”按其定义条件，就是自变量△x → 0，有这个条件。】

沈先生把可微的条件理解为是，△x → 0，显然是错误的。可微的条件是，【当Δx→0时，Δy/Δx→A的极限存在。】不是【△x → 0】。

七。沈先生不理解在求导数中，为什么要规定Δx≠0。

沈说【极限法微积分（所谓第二代微积分）是先因为增量比（差商）函数△y/△x 在△x = 0 时有 0/0 的问题（贝克莱悖论），也就是当增量（差分）函数△y 在其中的自变量△x = 0 时，是不能把其除下来得到有意义的（即非 0/0 型的）增量比（差商）△y/△x 的。于是，极限法微积分（柯西等）独出心裁，说那好啊，我们就不令△x = 0 了，就认为增量比函数△y/△x 或增量函数△y 在△x = 0 点无定义（定义域不包括△x = 0 点），于是就可以保证△x ≠ 0 了，于是就可以把△x 除下来得到△y/△x 而不必顾忌会有 0/0 的问题了。但且不说此论是否合适：因为在增量（差分）函数（如前面的公式 7）中，明明可以有△x = 0 时△y = 0 的，这是很平常的事，凭什么增量函数的定义域不能包括 0 点？没有这个说法嘛。但因为增量比在 0 点 0/0 的问题，连累到了增量函数也不能为 0 了。极限法微积分辩称，既然△x = 0 不行，我们就换成△x → 0，它不需要增量、增量比函数的定义域包括 0 点，也就是按极限的定义，在△x ≠ 0 时，仍旧可以有△x → 0。即既然△x = 0不行了，那就改成△x → 0 也就是 lim（△x→0）△x 好了。拐了了弯儿，看似很聪明，不是吗？】

沈先生解说第二代微积分为什么要规定Δx≠0。其实不完全是因为增量比出現无定义的0/0问题。而是第一代微积分一方面用到了Δx≠0条件下的推理，如用到了Δx/Δx=1，另一方面又令Δx=0。出现了矛盾。

沈先生提不出第二代微积分规定Δx≠0有什么不对。只能说些讽刺的话，什么【独出心裁】【似很聪明】之类。只是说了这么一句不满意的话【且不说此论是否合适：因为在增量（差分）函数（如前面的公式 7）中，明明可以有△x = 0 时△y = 0 的，这是很平常的事，凭什么增量函数的定义域不能包括 0 点？】发出这样的议话当然是毫无道理的。明明可以有△x = 0 时△y = 0 的，但我们在定义导数时当然可以不用它，而规定Δx≠0，这凭什么就不可以呢。小孩的身高可以大于1米，但我们规定身高小于1米的小孩坐公交车可以不买票，为什么不可以。

我们来看看沈先生后面的评论【但为什么就不动动脑子想一想，尽管对函数值而言，有了△x ≠ 0 的规定了，但对△x → 0而言，是不是它的趋 0 极限值仍旧是 0？......】

沈卫国先生对用极限求导，当Δx→0时Δy/Δx的极限A是导数缺乏基本的了鲜。

说什么【我们不得不规定，我们按同样不允许增量函数的△x ≠ 0 的理由，也应该断然不允许对增量函数的△x → 0 存在，如此，也才可以把不为趋 0 极限值 0 的△x 除将下来，得到不为极限值 0/0 的△y/△x。不能△x = 0 的条件其实与不能△x → 0 的条件和理由完全一样。】

要知道当Δx→0时，【增量的极限比】是无意义的0/0，但【增量比Δy/Δx的极限】在可导时是有限值A，是有意义的。认为不能规定Δx→0是错误的。

沈卫国先生并没有指出第二代微积分中规定Δx≠0，具体有什么不对，只是在那里乱发空洞议论。

【是极限法这个理论，无非也就是看人下菜，见鬼说鬼，见人说人：无穷小舍弃问题不好解释了，推到极限去；极限又有问题了，再推到无穷小上去。】【等于把极限法微积分（第二代微积分）又还原成了第一代承认无穷小的微积分，但同时该讲极限法时还去讲，把二者（第一代与第二代）完全混为一谈。】等等。

从沈文来看，他根本提不出任何具体的数学意見来，做不出任何具体的数学的专业评论，都是一些空洞地抽象地，不着边际的议论。确实不值一驳。

沈先生最后又谈到高级无穷小问题。说什么【反映了用无穷小甚至极限来解释微积分中的基本问题，此路不通：】关于高级无穷小问题，前面己讲清楚，实际上高阶无穷小的定义非常清楚，那就是【当x→x0时，α(x)/β(x)→0】。其中的解释【α比β趋于 0 的速度快】的含义也非常清楚，那就是对任意小的ε，都存在这样的δ，当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨小ε倍，丨α丨<ε丨β丨。x与x0越近，丨α丨比丨β丨小的越多。导数的定义与此直观解释无关，完全按定义推定，不存在任何【舍弃】。所以这里根本不存在什么解决不了的【此路不通】的问题。

所说的什么【彻底暴露了理论的困境。一句话，第一代的无穷小有问题，推到第二代的极限法。第二代的极限法本质上仍有问题，又推回到第一代。还说两者是一回事。我们说，不是一回事，但产生的问题可是一回事。通过这个问题讨论，可以看到，现有微积分的无论理论还是教学，都是看到无穷小出现了问题，】

空洞地议论，谈不出任何具体内客。全是无中生有的无稽之谈。就不在此一一评论了。评论到此为止。

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