Zmn-1150 薛问天: 忌用的无穷只是指人的推理步和由人親自实施的演算次数，并不是忌用所有的无穷。评一阳生《1149》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1149》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

忌用的无穷只是指人的推理步和由人親自实施的

演算次数，并不是忌用所有的无穷。评一阳生《1149》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，由人来实施后继演算，限制只能进行有穷次，忌用无穷。但形成自然数集合的无穷过程，是客观形成的无穷次后继运算操作，可以完成无穷次。这两者是不同的。

1，我的观点很清楚，那就是，我们所忌用的无穷只是指人的推理步和人实施的演算次数，至于推理的内容和客观操作的次数，则是完全可以涉及无穷的。

要知道数学的证明，逻辑推理，这都是由人所进行的认知活动，以及各种由人来进行的演算。所有这些活动的次数，必须限制为有穷，而忌用无穷步，无穷次。

这是由于人的感观受到时空的限制，人所进行的推理和演算，受到禁忌，只允许使用有穷次的推理和演算，而并不是否定客观无穷的存在，并不是在客观上【忌用无穷】。要知道客观上的非人为的无穷事物是大量存在的，无穷集合大量存在，无穷过程不受时空的限制，在客观上并非由人来执行的无穷次演算和操作的无穷过程是完全可以完成的，只不过要对演算的结果给出明确的定义。

推理的次数受到限制，但推论的内容却不受限制。命题的内容可以涉及无穷。如命题【任何自然数的后继都是自然数】，就涉及对所有无穷多个自然数都成立。

2，一阳生问【在一次演算中，后继运算最多能运算多少次？最终得到的是自然数还是无穷序数？】

不是一次演算。对每个自然数n，需由0经有穷n次后继运算即可得到。但由于所有这样得到的自然数有无穷多个。所以得到全体无穷多个自然数，就需进行无穷多次后继运算。但要注意的是，并不存在0经无穷次后继运算得到的数。而是得到无穷多个，由0经有穷次运算得到的数。

如果把自然数称为有穷序数，把全体自然数的集合称为超穷序数ω。显然得到全体自然数(即有穷序数)及其集合的同时，也得到了超穷序数ω。

我认为自然数集合的生成不是由人去实施的，不是让人去实施后继运算来形成自然数，所有的自然数的生成都是客观形成的。所以这个客观无穷过程是可以完成的。

这是一个典型的例子，如果后继运算让人来实施，只允许有穷次。但自然数的形成是客观的而不是人为的。所以无穷过程可以完成。

对于客观的无穷过程的运算结果。可以明确地给以定义。当然也可进行逻辑推理。但推理和步骤必须是有穷步。

命题【任何自然数都可由0经有穷次后继运算而得到】。可以看作是自然数的定义。也可以看作是皮亚诺第五公理的等价命题。如果看作是皮亚诺第五公理的等价命题。则此命题可由数学归纳法这个第五公理来证明。这个证明过程己讲过多次就不在此赘述了。

这次我们己不是在证明此命题。而且是用此命题来证明我们所说的生成自然数的无穷过程，能够生成所有自然数。既然定义生成的集合是所得到的无穷个得到集合的并集。那么由于任何自然数都可在有穷次后继运算而得到，所以肯定属于此并集。既然定义未得到的自然数是所形成的未得到的无穷个集合的交集。那么由于任何自然数都可在有穷次后继运算而得到。而且从此以后不再属于所形成的未得到的自然数集合，所以肯定不属于此未得到的集合的交集之中。就此一个推断，就证明了所有自然数都在所形成的得到的并集之中，而未得到的集合的交集是空集。

此证明用到的推理次数没有无穷次推理，是【一个义正辞严的忌用无穷次推理】，另一方面，它是客观的有定义的无穷次演算，当然也是【一个理直气壮的使用无穷次演算】。

最后一阳生问【在一次演算中，无穷次的后继运算得到的直接结果是什么？是无穷序数ω吗？显然不可能是有穷自然数。一次演算严格对应一个演算结果，无穷次的后继演算必然对应一个直接的演算结果。】

什么是一阳生所说的【一次演算】？如果【一次演算严格对应一个演算结果】，那么一阳生所指的【一次演算】似乎是指生成一个自然数的演算。那么【在一次演算中，无穷次的后继运算得到的直接结果是什么？】问的就不对，生成任何自然数都只需由0经有穷次的后继运算。生成任何自然数都不需由0经无穷次后继运算。没有这样的【一次演算】操作，也没有这样的结果！

一阳生问【是无穷序数ω吗？】显然不是，生成ω需要无穷次的【一次演算】，生成无穷多个自然数，同时生成这个无穷集，把这个生成的无穷集称为ω。

在这里我们要明确古典的实无穷观同现代实无穷观的不同。古典实无穷观也认为无穷的过程可以完成和达到。但错误地认为无穷过程完成于最后一次运算，由0经无穷次的后继演算，生成一个最大的自然数。这是错误的。现代实无穷观认为，无穷的过程可以完成和达到，但并不是完成于最后一次演算，而是逐步地越来越稠密，在一个开区间的时间内，完成了无穷次演算，没有最后一次演算，并没有生成一个最大的自然数，而是通过无穷过程的完成，生成无穷多个有穷的自然数，生成由这些无穷多个有穷的自然数构成的无穷集合。

3，这全是一阳生的认识错误，他说【证明中不光使用了无定义的和不可能做到的无穷次的演算，而且还进行了循环论证。】

我们所叙述的自然数生成的无穷过程，是客观的有明确定义的无穷过程。是完全可以完成的无穷过程。说它是无定义和不可能做到和完成，显然毫无根据。至于【循环论证】，则是他的认知错误。一阳生说【为了证明命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，在证明过程中却使用了该命题，即【任何自然数n都可在n次演算中得到】。】这是一阳生的认识错误。这里不是在证明命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，该命题早己用数学归纳法证明过了，是在证明中使用该命题。

二，一阳生先生认为【由于自然数的基本性质的限制，数学中不存在无穷过程，也形成不了无穷过程。】的论断是错误的。

1，我们关于无穷忌用的观点讲得很清楚，我们所忌用的无穷只是指人的推理步和由人親自实施的演算的次数，并不是否定所有无穷的存在，忌用所有的无穷。因而一阳生先生据此否定无穷过程的存在，说【数学中不存在无穷过程，也形成不了无穷过程。】是错误的。说【薛老师在数学中强硬加塞一个从来没有的无穷过程。让元素可以从有穷数量增长到无穷数量，让操作步骤可以从有穷次跨越到无穷次。】

要知道客观上的无穷事物是大量存在的，无穷集合大量存在，无穷集合就是【让元素可以从有穷数量增长到无穷数量】。无穷集合的生成过程就是要有无穷次操作的无穷过程，肯定要【让操作步骤可以从有穷次跨越到无穷次。】这些无穷过程不受时空的限制，是完全可以完成的。显然这都是客观的存在，而不是我薛某的【在数学中强硬加塞】。在数学中有大量的有定义的无穷次演算，需要研究和讨论。

2，一阳生说【无穷过程的完成只须有穷步的操作】，认为把自然数的生成过程说成是无穷过程是错误的。他说【数学中的后继演算虽然不受时空的限制，但依然受自然数基本性质的限制，无法演算到无穷次。说客观上自然数可以从有穷数量增长到无穷数量，完全可以客观完成，这是完全错误的。】这种观点当然是错的。尽管自然数都是有穷数，但你否定不了所有自然数有无穷多个，是无穷集合，你当然就否定不了自然数集的生成需要有无穷次的操作，是无穷过程而且可以完成。

3，我所说的尽菅【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到】，但所有的自然数有无穷多个，所以生成自然数的过程是无穷过程，而且可以完成。这里存在无穷次的演算。这与自然数的基本性质没有任何违背，同时与无穷忌用的观点也没有任何冲突矛盾的地方。因为这个自然数的生成过程，并不靠任何个人親自来实施，而是客观上完成的有确切定义的无穷演算操作。

一阳生说【现在的薛老师为了迎合某些权威的观点，抛弃了自己的观点。】完全是在胡言乱语，这是一阳生认识理解的错误，我丝毫没有【抛弃了自己的观点】。

另外我一直不明白为什么一阳生先生总是对命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，【是否是国内外数学界的普遍共识】产生疑虑。难道一阳生先生不相信自然数的定义，皮亚诺公理和严格的等价证明吗？

三，用数学，可以表述得更准确点。

1，无穷过程是什么的无穷过程，当然是小球的运动的无穷过程。说小球的运动的无穷过程，就要说小球经过了哪些个点或区间的过程。当然经过的区间点不同，我们可以精确地指出这是不同的无穷过程。

由于数学是严格的，把开区间同闭区间分得很清楚。我们也可以精确地区分出经过0.9,0.99,0.999,...这无穷个点的序列，而不包括经过1这个点的无穷过程。

从而不包括经过1这个点的无穷过程(简称为A)和包括1这个点的无穷过程(简称为B)，就是两个不同的无穷过程。我们可以用数学的严格概念，把它分得很清楚。两者不同。而且断言，A这个无穷过程没有小球最后经过的一个点。

2，一阳生说【不管是有穷过程还是无穷过程，都须要最后一步作为完成的标志，没有最后一步，不光客观上过程完成不了，而且主观上也不能给出过程完成的判断。】

这个论断显然是错误的。有穷过程的完成肯定有最后一步。但无穷过程的完成就不一定有最后一步。无穷数列an的完成，按照现代实无穷观，并不是生成数列的最后一项，而是生成无穷数列的所有无穷多个项，即由无穷多个项构成的无穷集合。这不仅要承认在客观上无穷过程是可以完成的。而且主观要遵从客观的事实，不能同客观相背离。

另外，对【小球经过这无穷个点的无穷过程】的完成的标志，要做具体地精确地分析。 我们说这个无穷过程完成的标志指的是t=1这个时刻，因为这无穷个点经过的时刻都<1。所从当t=1时，小球肯定经过了所有这无穷个点。实际上由于在数学上我们可以应用开区间这个概念。我们也可以使用时间开区间这个概念。也就是说在小球运动在经过开区间[0,1)的所有时间点，其中不包括时间点1这个时间点时，仍然精确地经过了所说序列的所有无穷个点。

尽管t=1时【小球达到和经过1这个点】，但是【小球达到和经过1这个点】，同【小球经过这无穷个点的无穷过程】在概念上并无直接的逻辑关系。小球运动在经过开区间[0,1)的所有时间点，其中不包括时间点1这个时间点时，仍然精确地经过了所说序列的所有无穷个点。【小球达到和经过1这个点】更不是【小球经过这无穷个点的无穷过程】的最后一步。在概念上道理上一定要说清楚。

一阳生说【可看出我的观点是与常识经验契合的，具有可信性。但薛老师的观点有悖于常识经验，】说错了。你所契合并不是常识经验，而只是你们所熟悉的有穷过程的规律。要知道无穷过程同有穷过程有很大的不同。你们要用新的眼光来对待和认识不同的无穷的规律。

3，一阳生把这个小球经过无穷个点的运动的客观的无穷过程做这样的陈述，完全是不符合实际的主观臆想。

首先，他设想有一个确定的时刻。这个时刻把这个无穷过程分成两个子过程。他认为有这么一个【关键时空节点与无穷进行等价对应】。认为这个【关健时空节点】就是【1点之前的某点】。认为有一个这样的确定时刻就是他的主观臆想。

他认为在此节点之前，是第一子过程，【此时使用自然数计数】【对小球经过点数的计数次数】，

过了此节点后，他说【这时运动已进入第二子过程，即从1点之前的某点达到1点的过程。】

【这时主观上要进行计数方法的转变，要从用自然数计数的方法转变成用[关键时空节点与无穷进行等价对应]的计数方法。从而帮助我们在主观上认识到小球经过了无穷个点】。【当使用[关键时空节点与无穷等价对应]的计数方法时，执行的是无限选取这一步操作，不是【一次演算或无穷次运算】的操作。已停用自然数计数方法了，已让后继运算演算停止运行了。这时运动已进入第二子过程，即从1点之前的某点达到1点的过程。】

这就是一阳生先生靠他的主观臆想，对无穷过程的错误描述。其实，只要对这经过的无穷个点的元穷过程仔细分析，就可看出并不存在一个什么【关键时空节点与无穷进行等价对应】。而是这0.9,0.99,0.999,...中的任何一个点，它前面都有有穷个点，可用自然数计数，它后面都有无穷个点。而且在后面的这无穷个点中，的任何一个点，它前面也都有有穷个点，仍可用自然数计数。要知道，无论何时。在后面的这无穷个点中，的任何一个点，它前面也都有有穷个点，仍可用自然数计数。在经过这无穷个点的任何时刻，根本不存在【已停用自然数计数方法了，已让后继运算演算停止运行了】的时刻 。

我在前面已讲清楚 ，小球经过第n个点0.9...9(n位)的时刻是 t=0.9...9(n位)。由于经过这无穷个点的时刻全小干1，所以小球运动在经过时间开区间[0,1)的所有时间点，其中不包括时间点1这个时间点时，仍然精确地经过了所说序列的所有无穷个点。所以一阳生先生所说的【小球经过了1点，小球才能经过这剩余无穷个点。小球没有经过1点，小球就没有全部经过这剩余的无穷个点。他们之间是等价关系。】是完全错误的。精确地经过了所说序列的所有无穷个点的时间是在时间开区间[0,1)中，在t=1之前完成的。而小球经过了1点，是在开区间之后，t=1时完成的，怎么能说【他们之间是等价关系】呢？

所以我说〖无穷过程的完成，实际上最后是相当稠密的，是在完成时刻前的任意小的时间开区间内，在完成它最后的无穷次的演算后，完成了整个无穷过程的。不是一阳生所说的【一次演算】。而是在最后完成前的一个任意小的开区间内(不是经过一个点，而是一个时间开区间)，稠密地完成了最后无穷次的演算。〗当然对我说的【稠密性】要有正确地理解，我说的只是对t=1这个点的【稠密】，即对任意小的ε，在时间开区间(1-ε,1)中，都要经过无穷个点。而这些点之间，当然仍然是相互离散的。但是确实不是经过有穷个点而是无穷个点，这里不存在什么【从有穷次突破到无穷次。违背自然数基本性质的无穷次计数，是无定义的和无法做到的。】，也没有什么【不严谨和违法违规】的地方。

四、把极限过程㸔作是潜无穷过程是错误的。

一阳生最后承认是把极限过程㸔作是潜无穷过程。他认为【当x趋向于x0时，函数f(x)趋向于A】为潜无穷过程，【当n趋向于无穷大(∞)时，数列αn趋向于A】为潜无穷过程，

这是错误的。极限过程必须依赖实无穷观。也就是说函数f(x)必须在x0邻域中的定义是处处完成的。不允许f(x)的定义在x0附近尚未完成。数列an必须对任意大的n，所有的项an的定义是全部完成的。不允许说an的定义正在进行，尚未完成。而这是潜无穷过程的特征。要知道如果f(x)的定义在x0附近尚未完成。如果数列an的定义正在进行，尚未完成。你就不可能判定使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。使得一切n>N，有|an-a|<ε。所以极限过程必须是实无穷，而不能是潜无穷。一阳生先生把极限过程㸔作是潜无穷过程是错误的。

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