Zmn-0034 李鸿仪；有关对角线证明的三篇质疑文章

【编者按。下面是李鸿仪先生发来的请薛问天先生评论的有关对角线证明的三篇质疑文章，现在连信件一起发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

薛问天先生:您好!

看到您在网上发表过不少对康托对角线质疑文章的反驳.下面三篇质疑文章文章是我最近所写。由于我的专业是热力学，虽然也发表过不少计算数学方面的论文，且也有被sci收录的，但对数学基础的研究是在退休之后才开始的，还很不成熟，希望您也能提出宝贵意见,以便我进一步改进.

http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVQVxu

http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVUVxu

http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVQV1u

不胜感谢！

                                李鸿仪

对角线证明中的一个并不成立的隐含假定

(理论版)2019-05-06 17:44:17

李鸿仪

摘要：由于对角线证明隐含了一个并不成立的假定，因此并没有严格地证明了反证法所需要的矛盾必然存在,看似完美无缺的对角线证明实际上并不成立。这是否会在数学界和逻辑学界引起人们对数学证明究竟是否可靠的怀疑甚至恐慌？这里问题的关键其实在于两个无限集合之间的相互关系：当两个无限集合的元素并不是完全独立的时候，例如，在对角线法中，m位对角线小数至少要与10^m个实数相对应，那么，其中变化较慢的无限集是永远跟不上变化较快的无限集的，这时，推导就要分外小心:此无限未必一定能覆盖彼无限!由于对角线法应用广泛，所有应用对角线法的证明，是否都应该重新审视这一点?。

   对角线法简述如下（反证法）: 先假定[0，1)内的实数是可列的，则存在可以将其全部列出的排法:

 x₁,x₂,x₃, …                (1)

 然后用对角线构筑一个不同于（1）的新实数，与假定矛盾，从而反证了实数是不可列的。

  构筑新实数的方法如下：

  设

 x₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃…

 x₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃…

 x₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃…

 …

 得对角线小数

 b=0.a₁₁a₂₂a₃₃…

令  b_i≠a_ii, (i=1,2,3…)

 得  b'=0.b₁b₂b₃…

 康托认为，b’是不同于（1）中的任何一个实数的新实数，从而完成了反证。

  如果b'是一个新实数，以上推导成立。但相关证明过于简单粗略，有必要将其细致化。为此，本文首先将1和0.999…统一表示为1.000….;同理，0.5和0.4999…统一表示为0.5000…., 这样，以下引理显然成立.

 引理1当且仅当y_i=z_i(i=1,2,3…)时，0.y₁y₂y₃…=0.z₁z₂z₃…

 因为对角线小数b的第m位小数正好也是所列的第m个实数x_m的第m位小数，故

 定义1 称小数位数等于m的对角线穿越了x₁，x_2,…,x_m-1后到达了实数x_m，简称到达了x_m

定理1若对角线到达了x_m并改娈b的第1，2，…,m位小数, 得到的b'不等于实数x₁，x₂，…,x_m中的任何一个。

证明 因为对角线到达了x_m，根据定义1，b具有m位小数，根据引理1, 改娈b的第1，2，3…m位小数,得到的小数b'不等于实数x₁，x₂，x₃…x_m中的任何一个。

推论 若对角线到达了的实数x₁，x₂，x₃…，改娈b的第1，2，3…位小数, 得到的小数b'不等于这些实数中的任何一个

定理2当且仅当对角线b到达所列出来的实数，实数b’必不同于所到达的实数中的任何一个。

证明 充分性：由推论即可得; 必要性：对于对角线所不能到达的任一实数x_j，根据定义1，b中不含有该实数的第j位小数，因此无法通过改变该位小数从而保证b’≠x_j。

虽然对对角线证明的质疑很多, 但似乎并没有引起主流数学界的重视。这是因为，由于对角线可以无限延伸，所以人们很自然地认为,对角线必然可以到达（1）式所列的所有实数，使反证完成.

然而，事实果真如此简单吗？为了更可靠地回答该问题，有必要对对角线无限延伸的过程i=1,2,3….逐一考查。 

i=1时，根据定义1，对角线达到第1位小数，但第一位小数可在0,1,2,…9取值，故这时互不相同的实数至少有10个，不妨将这些小数置于最前面：

 x₁=0.0a₁₂a₁₃…

 x₂=0.1a₂₂a₂₃…

 x₃=0.2a₃₂a₃₃…

 …‍

 x₁₀=0.9a_10,2,a_10,3…

 …

 根据定理1，只能保证b’ 与x₁不同， 换言之，至少有10-1个实数x₂,x₃,….x₁₀是i=1的对角线所不能到达的；

对角线有2位小数时时（i=2），第2位小数也可在0,1，2，…，9 取值，故互不相同的实数至少有10²个,不妨将这些小数置于最前面,但由于i=1时的10¹ 个无限小数也可以在里面，所以实际上只要将10²-10¹ 个小数排在i=1时的10¹ 个无限小数后面即可，

 根据定理1，这时只能保证b’ 与x₁,x₂不同，换言之，至少有个10²-2个实数是i=2的对角线所不能到达的；

 …

 同理，i=m时，至少有m'=10^m-m个实数是i=m的对角线所不能到达的；

... 

由于lim_m→∞(m'/m)=∞。已证得：

定理3 无限延长的对角线不能到达（1）式所列出的所有实数。

如果是二进制，只要把10^m改成2^m即可。

 对角线证明认为无限延伸的对角线可以到达（1）式所列出的所有实数。由定理3可见，该隐含的假定并不成立，因此,根据定理2 对角线法无法保证实数b’一定不同于(1)式中的任何一个实数，即没有证明矛盾必然存在, 反证失败。

更精简的推导见文献[1].文献[2]则给出了能将实数列出的方法.若该方法能经受住考验,则所有认为实数不可数的理论均将宣告破产,而全部数学基础也都将重新改写.

 参考文献：

[1]http://www.paper.edu.cn/sq/wesci/edit/NQj2U95NObTVUVxu
[2]http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVQV1u

对角线证明中的问题(精要版)

2019-05-25 19:53:33

李鸿仪

对角线法简述如下（反证法）: 先假定[0，1)内的实数是可列的，则存在可以将其全部列出的排法:

x₁,x₂,x₃, …                                   (1)

 然后用对角线构筑一个不同于（1）的新实数，与假定矛盾，从而反证了实数是不可列的。

 构筑新实数的方法如下：  设

 x₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃…

 x₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃…                              (2)

 x₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃…

 …

得对角线小数 b=0.a₁₁a₂₂a₃₃…

 令  b_i≠a_ii, (i=1,2,3…)                   (3)

 得  b’=0.b₁b₂b₃…

  由于对角线可以无限延伸，故可到达（1）式所列的所有实数，在此基础上,(3)式就可保证b’不同于（1）中的任何一个实数，反证完成！

  以上推导似乎无懈可击，因此，虽然对对角线证明的质疑不断, 但至今未引起主流数学界的重视。

本文试图简要、精确地指出上述推导中的错误,以期改变这种不正常的局面。

 首先应该指出，在上述推导中, 除了虽然似乎很显然但实际上并未证明过的"由于对角线可以无限延伸，故可到达（1）式所列的所有实数"这句话（为讨论方便，以下简称为可达断言）以外, 其他的推导确实是无懈可击的.

  然而，可达断言这一隐含假定真的成立吗？

 经常编程的人常常有这样的经历，明明逻辑上看似十分完美的东西，一旦变成程序就很可能会出现bug。一天到晚被bug弄得焦头烂额的很少会过于自信自己的逻辑思维能力，也深知人类的逻辑思维能力其实是很弱小的。久而久之,他们就会养成高度重视来自直觉或实践的反馈信息,在逻辑上则力求小心、小心再小心的思维习惯。而没有这种经历的人，哪怕是著名的数学家，也可能会过于自信，甚至还可能把一些看似显然实际上错得十分幼稚和离谱的东西当成理所当然成立的东西来接受或研究而不自觉。

  比如说，可达断言就是这种看似显然实质错得十分离谱的东西。

在计算机编程时，当我们对某一个问题不太有把握时，一个最简单有效的方法就是把自己的大脑临时变成计算机，老老实实地一步一步算，然后找出规律性的东西。

  对可达断言，我们不妨也一步一步地延伸对角线直至无限，看看究竟是否成立？

  当对角线只有1位小数时（i=1），第一位小数可在0,1,2,…9取值，故这时互不相同的实数至少有10个，不妨将这些小数置于最前面：

 x₁=0.0a₁₂a₁₃…

 x₂=0.1a₂₂a₂₃…

 x₃=0.2a₃₂a₃₃…

…‍

 x₁₀=0.9a_10,2,a_10,3…

 …

 这时（3）式只能保证b’ 与x₁不同， 换言之，至少有10-1个实数x₂,x₃,….x₁₀是只有1位的对角线所不能到达的；

 对角线有2位小数时时（i=2），第2位小数也可在0,1，2，…，9 取值，故互不相同的实数至少有10²个,不妨将这些小数置于最前面,但由于i=1时的10¹ 个无限小数也可以在里面，所以实际上只要将10²-10¹ 个小数排在i=1时的10¹ 个无限小数后面即可，显然，这时（3）式只能保证b’ 与x₁,x₂不同，换言之，至少有个10²-2个实数是只有2位小数的对角线所不能到达的；

 …

 同理，i=m时，至少有m'=10^m-m个实数是i=m的对角线所不能到达的；

... 

如此可以一直到无限！

由于lim_m→∞(m'/m)=∞。已证得：

定理1 无限延长的对角线不能到达（1）式所列出的所有实数。

如果是二进制，只要把10^m改成2^m即可，结论不变。

定理1 直接否定了可达断言。因此对角线法无法保证实数b’一定不同于(1)式中的任何一个实数，即没有证明矛盾必然存在, 反证失败。

更详细严格的推导和证明见文献[1].文献[2]则给出了能将实数一一列出的方法,只要该方法能经受住考验,则所有认为实数不可数的理论均将宣告破产,而全部数学基础也都将重新改写.

 参考文献：

[1]http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVQVxu
[2]http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVQV1u

区间[0，1)内列出实数的方法

2019-05-11 08:24:43

李鸿仪

摘要：由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点，因此实数已经在实数轴上用几何方式被一一列出.本文进一步给出了用非几何方法将实数一一列出的方法.由于实数不可列理论是现有实数理论中的基石,一旦该理论不成立,很多相关的数学分支例如测度论等都有必要加以重新审视甚至重建。

关键词：数学基础;实数理论

由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点，因此实数轴实际上已经把实数在实数轴上用几何方式一一列出。然而,康托似乎并没有注意到这个明显的事实，反而用区间套法或对角线法"证明"了实数是不可列的。文献[1,2]认为其推导是不严格的。

另外一个似乎能“有力地”支持实数不可列的理论是康托定理.康托定理表明，对任何集合,其幂集的基数要大于该集合的基数，因此，当该集合是自然数集合时,自然数幂集就不能与自然数一一对应,因此是不可列的。由于自然数幂集可以与二进制的实数一一对应，进而，他得出了实数是不可列的这一似乎有着“坚固“理论基础的结论。

然而,康托定理的证明尽管很巧妙，但对自然数集N，它其实不过是将有限集合的

Card(N_n)< Card(P(N_n))

推广到n趋于无限的无限集而已。这里，Nn={1,2,3,…,n}表示有n个元素的有限自然数集合。

对有限集来说，

                Card(P(N_n))=2ⁿ> Card(N_n)=n

因为lim_n→∞(2ⁿ/n)=∞,即n趋于无限时，上式的不等号仍然成立，故实际上康托定理显然成立，并不需要反证法证明。

但问题在于，虽然n趋于无限时，P(N_n)的各元素无法与N_n={1,2,3,…,n}的各元素一一对应，但却可以与N’={1,2,3,…,2ⁿ}的各元素一一对应，难道n趋于无限时, N’不是自然数集？  

由此可见，康托定理并没有证明实数是不可列的。

问题的本质其实在于，将原本用于有限集时行之有效的一一对应方法推广至无限集，其可靠性并未得到过严格的证明，而实际上在无限集之间建立一一对应的方法往往不是唯一的（如上例），因此是不可靠的。

关于该问题，笔者以后还要再讨论。 关于在无限集应用一一对应的不可靠性，笔者以后还要再讨论。

本文将给出用非几何方法将实数一一列出的方法: 在区间[0,0.1)内，通过逐步十等分区间的方法将区间内的十进制实数由疏到密地一一列出。

以下给出在区间[0,0.1)内，通过逐步十等分区间的方法将区间内的十进制实数由疏到密地一一列出的方法。

i=1时，将区间分成[0,0.1),[0.1,0.2)...[0.9,1)共10¹个小区间，每个小区间任取小区间内的一个实数，可列出10¹个实数：

0.0...，0.1...，0.2...，...， 0.9...

应该说明的是, 由于在指定区间任取出的实数既可能是有理数，也可能是无理数，所以上述数字后的省略号表示的是包括循环节0在内的无限循环小数或无限不循环小数。

i=2时，将区间分成10²份，每个区间任取一个实数，得到10²个实数

0.00...，0.01...，0.02...，...，0.99...

若其中出现与上一步骤（n=1)相同的实数(概率极小)，只保留不重复的实数,这样，n=1,n=2这2个步骤总共列出了不少于10²但不超过10¹+10²个实数;

...

i=n时，将区间分成10ⁿ份，每个区间任取一个实数,得10ⁿ个实数，保留其中与步骤1到n-1所列实数不重复的实数。这样,i=1,i=2...i=n这n个步骤总共列出了不少于10ⁿ但不超过10¹+10²+10³...+10ⁿ个实数;

i=n+1时，…

....

     这个过程显然可以无限地进行下去。

   由于每一步都只保留不重复的实数，故上述方法能保证所列出的实数不重复。又由于每个区间是随机取数的，故任一区间内每个实数被列出的概率相同，即任一区间内不存在任何一个实数是上述方法所不可能列出的。另外，虽然每个区间一次只随机列出一个实数，但每一个区间都会被更小的区间无限次地反复覆盖，所以, 每个区间最后都会被列出无限个实数。这样，只要这个过程一直继续下去,任一区间内的任何一个实数早晚都会被列出来。换言之，当i趋于无穷时，上述方法将由疏到密地一一列出区间[0,1)内的所有实数。

当然,与自然数和有理数一样，实数虽然是可列的，但却是列不完的。所以不能根据实数列不完而认为其是不可列的。

另外，能够将实数一一列出，就说明实数可以与自然数一一对应。比如说，第一个列出的实数与自然数1对应；第二个列出的则与2对应......不过,一一对应的方式并不是唯一的。以有限集为例，容易证明，n个元素的有限集合可以有n!种与自然数一一对应的方式。所以哪一个实数对应于哪一个自然数并不唯一也不重要，关键仅在于是不是能够把实数一一列出。

用其他整数替换上述小数点前的0,则可以用来列出其他区间的实数。

由于实数不可列理论是实数理论中的基石,一旦该理论不成立,很多相关的数学分支例如测度论等都有必要加以重新审视甚至重建.

参考文献：

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/67707637

[2]https://zhuanlan.zhihu.com/p/63166542

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