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“执行定理”的证明 (方法c~f)
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随机温习...
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证明的第三段.
---- 取 s 最大, 使 (X, B +sL) eps'-lc.
缩写: s~eps'.
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评论: 整段的核心, 往eps-lc 型配对靠拢 (即 lct 转形).
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方法:
---- lct 的定义里有配对和线性系统.
---- 后两者是 "方" 和 "法" 的表现形式.
---- 故 lct 是由 “方法” 定义的数值.
---- 通过引入 s 和 eps', 将 lct 显化为 s 和 (X, B + sL) eps'-lc 的关系.
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评论: (X, B + sL) eps'-lc 是新的配对(即新的 “方”).
---- 预示新的操作.
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模式: (隐)方法 => (显)方法. (方 ==> 方)
(法嵌于方, 以方为主).
证明的第四、五段.
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* 取 T 使得 a(T, X, B + sL) = eps'.
---- 给 eps' 赋予了结构, 也体现出新配对的特征.
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评论: 此处源于 (X, B + sL) eps'-lc 的定义 (不等式或等式可看做“方”).
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* T 扮演什么角色？
---- 从形式上看, T 是由“方法” (X, B + sL) eps'-lc 定义.
---- 因此, T 部分地代表该方法.
(lct 和 s 的情况也类似于 T).
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启发: s (部分)代表方法, 意味着 (X, B + sL) 蕴含“套叠”结构(文中确实出现了显式的套叠结构，见 Pro.5.9. 证明 step 1)。
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* 在 T 的中心上取一般点 x.
---- T 部分地代表 (X, B + sL) eps'-lc, 类似地, x 部分地代表 T.
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评论: x (部分)代表方法(从 T 那里继承下来).
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* 按 x “非闭” 或 “闭” 两种情况讨论.
---- x 非闭的情况做两件事:
1) cut(A) 并运用归纳假设得: 存在正数 v, 使 (X, B + vL) lc 于 x 附近, 且 v 有正下界.
--- 由 A 打头, 体现出 “预办事, 法先行” 的道理.
--- 这里的主要输出是 (X, B + vL) lc.
--- 它是x附近的“方”(法).
2) (X, B) eps-lc 和 (X, B + vL) lc 做凸组合, 得到 (X, B + βvL) eps'-lc.
--- 由两个“方”的凸组合得到另一个“方”.
--- 新得的 (X, B + βvL) eps'-lc 跟开头的 (X, B + sL) eps'-lc 做系数比较, 得 s ≥ βv.
--- 不等式是“方”的一种形式.
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评论: 依次得二“方”(配对), 前者提供了v, 后者达成eps'-lc, 使之与 “s 版” 对齐.(以上涉及到4个配对).
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---- x 闭的情况用到两个命题:
1）由命题 5.9, 得 (X, Λ) lc 于 x 附近.
--- Λ 非负 Q-divisor;
--- nΛ 是整的;
--- mA - Λ 系 ample;
--- T 是 (X, Λ) 的 lc place.
2）适当替换, 并假定 A - B - sL ample, 由命题 5.7 得
--- 存在自然数 q, 若ν: U --> X 是 resolution 使得 T 在 U 上, 则 μTν*L ≤ q.
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评论: 命题 5.9 的焦点是构造 Λ, 但主要输出是 (X, Λ); 命题5.7的主要输出是不等式.
--- 配对和不等式都是 “方” 的表现形式.
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证明的第六段.
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---- eps > eps'.
由单个数值得到“方”可借助不等式(放缩).
---- a(T, X, B) ≥ eps.
这是配对(X, B) 之 “方” 的另一形式.
---- eps' = a(T, X, B + sL).
这是配对(X, B + sL)之 “方” 蕴含的结果.
---- a(T, X, B) ≥ eps > eps' = a(T, X, B + sL).
三 “方” 联立.
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评论: 三“方”联立, 必归于一.
---- 不等式往下走, 须得一法.
---- 再者, 尚需连接第五段末之方.
(这一条是个重要提示)
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* 在 “主方” 两边做(减)“法”
---- a(T, X, B) - a(T, X, B + sL) ≥ eps - eps'.
==> μTν*sL ≥ eps - eps'.
==> s ≥ (eps - eps')/(μTν*L).
==> s ≥ (eps - eps')/q.
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评论: 诸方归一。
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小结: 第三段及第四段开头是做准备: s, T, x, 并以 x 确立二分讨论的框架; 第四段完成 x “非闭”情形下的证明, 第五、六段完成 x “闭” 情形下的证明.https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1202744.html
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