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Zmn-0459 薛问天：文字有点不同，但还都是错的。评师教民先生《0440》。

已有 928 次阅读 2021-2-27 10:04 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0459 薛问天：文字有点不同，但还都是错的。评师教民先生《0440》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生《Zmn-0440》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

文字有点不同，但还都是错的。

评师教民先生《0440》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-s.jpg 关于【复合函数】和【解析式型的函数定义】，这本是两个不同的概念。但师教民先生硬是把它们混为一谈，说【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．......所以，y=f (x) [x=g (y)]符合以 x=g (y)为定义域的函数 y=f (x)的定义，故函数 y=f (x) [x=g (y)]也是以 x=g (y)为定义域的函数。】《0380 的 3 》。这里明确说了复合函数【y=f (x) [x=g (y)]符合以 x=g (y)为定义域的函数 y=f (x)的定义】和【函数 y=f (x) [x=g (y)] 也是以 x=g (y)为定义域的函数。】而按照师先生的所说函数定义方法，【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．前边的部分是函数式；后边括号内的部分是定义域，即是函数的自变量的取值范围。】

于是我提出了要正确回答的四个问题。

(一)，用函数 x=g (y)作为定义域，符合不符合解析式型的函数定义．

(二)，复合函数 y=f (x) [x=g (y)]．是不是用解析式型定义的函数 y=f (x)．

(三)，限制和改变函数的定义域，能否改变函数关系。

(四)，复合函数是由 f (x)和 g (y)【一起复合构成的】，还是由 f (x)【变成的】。

往过多次讨论，师教民先生在《0440 》中提出他的总结。

①用函数 x=g (y)作为定义域，符合解析式型函数的定义．因为 x 不仅是函数 x=g (y)，也是对应于 y 的所有值的众多数值．

②复合函数 y=f (x)[x=g (y)]是令自变量 x=g (y)的解析式型函数 y=f (x)，令自变量 x=g (y)的解析式型函数 y=f (x)，不是没有令自变量 x=g (y)的解析式型函数 y=f (x)．

③限制或改变函数的定义域，能改变函数关系和自变量．

④复合函数是由 f (x)和 g (y)复合而成的，也是由令 f (x)自变量 x=g (y)后的函数 y=f (x)变成的．令 x=g (y)就是复合过程．

这四点的说法，同师先生过去的提法，在文字上稍有不同，但我认为还是错误的。具体分析如下。

(1)，师先生对【解析式型的函数定义】是这样定义的，

【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．前边的部分是函数式:；后边括号内的部分是定义域，即是函数的自变量的取值范围。】定义域是所定义的函数的自变量的取值范围，是个集合。这里有两点非常重要。一是定义域是「所定义的函数的自变量」的取值范围。第二点，这个取值范围是自变量可以在其中「任意取值」的集合。一个函数(x=g(y))，它不是「所定义的函数的自变量」的取值范围，它不是该自变量可以在其中「任意取值」的一个集合。所以用函数作为解析式型的函数定义中的后边括号内的部分【定义域】的内容，是不合适的，它不符合解析式型函数的定义中关于【定义域】的要求。

师教民先生所说的理由【因为 x 不仅是函数 x=g (y)，也是对应于 y 的所有值的众多数值． 】不仅不能作为符合定义的理由，刚好说明用函数x=g (y)作为定义域，说不清是x还是y的取值范围，以及说不清「所定义函数的自变量」可以在其中「任意取值」的集合倒底是什么。

师先生说【用函数式 x=g (y)来表示的集合就是由函数 x 对应于的自变量 y 的所有值组成．】同样说不清是x还是y的取值范围，以及说不清「所定义函数的自变量」可以在其中「任意取值」的集合倒底是什么。

(2)，关于由函数f和g构成复合函数的严格概念，可正式参照教科书的定义。

在教科书中是这样定义的。后附同济大学《高等数学》(第七版) 第一章第一节，二、(3)反函数与复合函数中的一段(第10页)，原文复印件。

复合函数.jpg

因而由函数y=f(x)和x=g(y)构成的复合函数的函数关系(映射)是复合映射f·g，复合函数的自变量是y，复合函数的定义域是Dg，即等同于函数ⅹ=g(y)的定义域。所以如果要用解析式型來定义此复合函数时，定义前边的部分的应是函数式f·g；定义后边括号内的部分定义域是Dg。这才是复合函数的正确定义。

因而师教民原來所解释的用解析式型定义复合函数，是用y=f(x)來作为函数式(正确的应为f·g)，用x=g(y)來作为定义域(正确的应为Dg)的作法显然是错误的。

而这次的【总结】虽然没有具体讲解析式型定义中的:【函数式】和【定义域】，而是说复合函数是【令自变量 x=g (y)的解析式型函数 y=f (x)】。仍然是错误的。因为你讲到的是【解析式型定义】，而你对此的解释是【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．...。】因而你所说的复合函数是【令自变量 x=g (y)的解析式型函数 y=f (x)】，那是不是以x=g(y)为定义域，以y=f(x)为函数式。如果是这样的，那就仍然是错误的。如果不是这样，不在定义域中放函数x=g(y)，又该如何令ⅹ=g(y)呢？

师先生在文中说【我也早已证明了 f 和 f·g 是同一个函数．薛问天先生认为〖函数关系不同的函数就一定不是同一个函数〗暴露了他〖没有读懂或没有学会〗相同函数的判别法！】

我们來看看判别函数相同与不同的法则到底是什么？我们來引一段教材的原文。

函数二要素.jpg

这里说的很明确，定义域和映射是函数的两大要素。只有定义域和映射完全相等，函数才相同，否则就是不同的函数。师教民先生，当你了解了这些基本常识后，你还坚持你的【用y=f(x)來作为函数式(正确的应为f·g)，用x=g(y)來作为定义域(正确的应为Dg)】的定义复合函数的错误作法吗？

师先生所说的各种【理由】，根本不值一驳。我就不一一批驳了。

(3)，显然师教民先生总结的【限制或改变函数的定义域，能改变函数关系和自变量．】是完全错误的。

因为关于【解析式型的函数定义】，说得很清楚，【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分．前边的部分是函数式；后边括号内的部分是定义域，即是函数的自变量的取值范围。】也就是说函数的两大要素，函数关系(映射)是由前边的函数式填写的内容决定的，定义域是由后边括号内的部分【定义域】中填写的内容所决定的。定义域只描写函数自变量的取值范围怎么能改变函数的函数关系呢？定义域和函数关系是函数的两个独立的属性，是函数的两大要素。定义域只说明所定义的函数的自变量的取值范围，它不可能改变函数的映射关系。

另外，定义域是「所定义的函数的自变量」的取值范围。这个取值范围是自变量可以在其中「任意取值」的集合。因而所定义的函数的自变量也不是由定义域所决定的，而是由所定义的函数本身所决定的。任何函数都有明确的函数的因变量，自变量，函数的映射关系，函数的定义域。这些概念都是最基本的概念。都有明确的严格的定义。不容在这里有意的混淆。说定义域可以改变函数的映射关系，可以改变函数的自变量，这些都是错误的论断。

(4)，师先生在总结中承认【复合函数是由 f (x)和 g (y)复合而成的，】故然很好，

但是接着又说了一句话，认为复合函数【也是由令 f (x)自变量 x=g (y)后的函数 y=f (x)变成的．令 x=g (y)就是复合过程。】这句话同师先生过去讲的，已有很大不同。在这里师先生认为复合函数是由【函数 y=f (x)变成的】。可过去不是这样讲的，他说过【如果函数 y=f (x)是组成复合函数y=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]=h (y)的两个函数 y=f (x)和 x=g (y)中的 y=f (x)，那么函数y=f (x)和复合函数 y=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]=h (y)肯定是同一个函数，】

还以为我同他在这个问题上达成了【共识】。他说【关于「复合函数同 y=f (x)是"同一个函数"」的问题，薛问天先生和我已经达成共识！】

把【复合函数同 y=f (x)是"同一个函数"】改成复合函数是由【函数 y=f (x)变成的】。既然【变】了，当然不是【同一个函数】。这不能不说是一个进步。但是这句话仍然是不对的。因为复合函数是由两个函数f和g用复合的方法一起共同构成的，而不是由两个函数之一y=f(x)【变成的】。这两个函数f和g还是独立的函数，它们本身並未作任何变化。只是用它们构成新的映射关系f·g，构成一个新的函数称为复合函数。在构成复合映射f·g时，既用到f的映射也用到g的映射。所以在说复合函数时必须说清，它是由两个函数共同构成的，不能说它是只由一个函数y=f (x)【变成的】。

师先生说【请问薛问天先生，令自变量 x=g (y)前的函数 y=f (x) [号为 1] 和令自变量 x=g (y) 后的函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}是否同一个函数？请薛问天先生必须回答！】

其实我说得明明白白，我说【在组成复合函数时，为求复合函数的映射 f·g，按复合函数的定义，才令 x=g (y)．】，这很清楚，这里的令x=g(y)，是为求复合映射f·g。第一步令x=g(y)，由y值求出x值，第二步令y=f(x)，再由x值求出y值。这样求出f·g后就构造了复合函数(标号为3)，当然不能和原来标号为1的函数y=f(x)是同一个函数。

这个过程是非常明确的，按照复合函数的定义，复合函数的映射是复合映射f·g。而构成复合映射就是第一步令x=g(y)，由y值求出x值，第二步令y=f(x)，再由x值求出y值。很明确，复合函数是由两个函数构造出來的。而师教民先生则硬是说复合函数是由y=f(x)【变成的】。

在师先生的大段论述中逻辑是完全混乱的。例如他说【尽管我说的新函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}的函数关系为 f ，薛问天先生说的复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 3}的函数关系为 f·g 而不同，但是因为新函数 y=f (x) [x=g (y)]=复合函数 y=f (x) [x=g (y)]从而使得我说的新函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 2}和薛问天先生说的复合函数 y=f (x) [x=g (y)] {标号为 3}就是同一个函数了。】

这种把映射一个是f，一个是f·g，映射不同的函数还认为是【同一函数】的论调，根本一值一驳，错误无疑。

师先生还有另一个奇怪的论调，认为复合函数中还有一个函数，说什么【复合函数 y=f (x) [x=g (y)]中的函数 y=f (x)还是函数！】还要问这个函数y=f(x)的各种问题。说什么【请问薛问天先生，您的「由 f 和 g 共同构成的复合函数」中的 y=f (x)是凭空形成的呢，还是......请您必须回答！】这些都是师先生的主观臆想。由f和g构成了复合函数后，在复合函数中只有复合函数，就不再有独立存在的函数y=f(x)和x=g(y)了。所以这些这些都不值一驳。