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Zmn-0308 黄汝广：论康托尔无穷理论与戴德金分割不相容

已有 1597 次阅读 2020-9-7 08:11 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0308 黄汝广：论康托尔无穷理论与戴德金分割不相容

【编者按。下面是黄汝广先生发来的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

论康托尔无穷理论与戴德金分割不相容

黄汝广

考察区间（0，1），由于其内的有理可数，因此可以用自然数1，2，3……一一为之编号。现在，我们把编号为1的有理数（假设是0.5）挖去，那么区间（0，1）将被分为两个部分（0，0.5）与（0.5，1），将这两个部分分别编号为0与1；接下来挖去编号为2的有理数，则前面已编号的部分必定有一个又被一分为二，使其中一个保持原编号，而将另外一个编号为2；如此等等，当将所有编号为自然数的有理数挖去后（注：按照潜无穷观，我们当然是不可能把无穷个有理数挖完的，但是按照康托尔的实无穷观，却是可以挖完的，否则的话，他证明实数不可数的对角线构造法也是不可能完成的——这也正是潜无穷观者不承认对角线法有效性的根源所在；不过，既然我们是论证康托尔无穷理论与戴德金分割的矛盾，当然要采用他的可完成的实无穷观，否则无异于鸡同鸭讲，自说自话），所剩部分的编号分别为0，1，2……恰好是全部自然数，因此所剩部分的个数是可数的。

既然全部有理数已经被挖去，剩下的部分当然就是全部无理数，而且我们可以证明这剩下的每一部分只能是单一的无理点：因为所有有理点均被挖去，所以剩下的任一部分都不可能再包含有理点，如果存在一个剩余部分包含两个不同无理点，那么这两个无理点之间也不可能存在有理点（否则，将会因挖有理点的操作而被分开，不可能还同属于一个部分）；换句话说，也即在数轴上至少存在两个无理点，而它们之间没有任何有理点，但是问题在于，这样的两个无理点对应的是同一个戴德金分割，这显然与戴德金分割的唯一性相矛盾。

因此，按照可完成的实无穷观，如果有理数可数，并且戴德金分割是正确的，那么无理数同样是可数的，进而实数也是可数的。反之，如果实数不可数，则：要么可完成的实无穷观有问题，要么有理数不可数，要么戴德金分割不正确。当然，以上结论还需要一个大前提，即实数只包含有理数与无理数，如果要否定这个大前提，那么结果就是走向非标准分析。

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