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Zmn-0501沈卫国：微积分有关问题的讨论（一）
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Zmn-0501沈卫国：微积分有关问题的讨论（一）
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
微积分有关问题的讨论（一）
沈卫国
1、切点、切线的定义问题
切线的定义，看似简单，但是实际上是暗含玄机的。有定义说是圆的唯一交点的，但显然，这个定义只能适用于圆，而不适用于其它曲线。就算扩展定义，也是只能适用于一个闭合曲线。还有的定义，是用割线交点的极限来定义的。这实际上又涉及可达极限，不可达极限这样的问题。如果是不可达极限，切点不可达，不通。与其说是用这个不可达极限来确定切点、切线，还不如说不可达极限需要切点、切线概念来确定。如果是可达极限，它就是函数值，等于没有用极限，与二点合一的函数值一致，而没有涉及决定一条直线（具体这里是切线）所必须的两个点。因此，切线的定义问题，同样本质上要涉及其与曲线的一个接触点，和该切线上的任意两个点的问题。哪怕其中的一个点与切点可以重合。
还有一种说法，就是“当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。”第一，切线与曲线，只有一个共同点，即交点。离开这个点，曲线上的点与切线上的点再无交集。于是，怎么能说什么“方向相同”？方向相同，起码应该有些点而不是仅仅一个点相同。这是常识。第二，说在切点附近，曲线与切线最接近。首先，什么叫“附近”，如何准确定义？这本身就是一个模糊概念，与高矮胖瘦等模糊概念是一样的。其次，说“最接近”，如果在曲线上可以找到这个最接近的点，那过此点必然可以引一条割线，曲线与此割线在该点的距离为0。因此不存在切线的与曲线的“最接近”。如果不存在这样的点，那就是无限接近于切点，又不能到达切点。但如此，割线不是也可以无限接近切点，不能到达切点吗？可见二者根本就无法区分。因此，上论是禁不住推敲的。
笔者认为，要想更严格地定义切线、切点，就必须严格区分任何两条线的“交点”和“接触点”。以往对这两者未见明确区分。比如，我们经常说“切线与曲线有一个交点”如何如何。这不严格。我们定义：
交点：两条线的互相穿越的那一点。穿越，就是从线的这一边，越过某点，达到线的另一边。穿越点，就是交叉点。对一条线（无论曲线还是直线）而言，在其某一点可以实现互相穿越的，可能有无数条线。因此如果没有其它约束条件，它是不定的。两条互相穿越的线（无论曲线还是直线）还隐含一个性质，就是在穿越点的任何一边的长度，不能是0。否则就不叫“穿越”，也没有相交了。
非终止型接触点：两条线（条件：不能在接触点被终止）只是有某共同点，而并没有穿越的点。如曲线与直线的切点。特殊地，两条不限长直线，如果有一个接触点，则处处接触，这实际就是同一条直线。
特别提示，对两条线的“不能在接触点被终止”的限制是必要的。否则两个线段，同样可以有很多接触点而不穿越（相交）了。比如一个丁字形的几何形状，就是两条线的有接触点，而没有穿越。这是由于其中一条线终止在了接触点，因此不是“非终止型接触点”了。
总之，交点也就是交叉点、穿越点必接触，而接触不必穿越、交叉。后者又分为“接触终止”与“接触不终止”两种情况。最后一种“接触不终止”，才是我们这里真正需要讨论的。
切线是什么？如何准确定义？在上述严格区分了交点（穿越点、交叉点）和非终止接触点的基础上，这个问题其实就迎刃而解了。我们说，割线，就是与曲线有两个交点（交叉点、穿越点）的直线。这同一条直线，两次穿越了这个曲线。说“同时”穿越，可以。也可以说“先后”穿越。先从这一边穿到哪一边，再从那一边又穿回这一边。穿了两次。既然“穿了两次”，其隐含的一个必要条件（条件一）或者事实就是两次穿越之间的、在曲线的同一边的直线段，长度不能是0。但也不是无穷长，而是有限长的线段，这是显然的。另一个必要条件（条件二），是两次穿越之后，这个直线（割线）不会终止在交点（穿越点），就是在最初穿越前的曲线的一边，此直线（割线）必须有长度。否则就不叫什么“两次穿越”了。这个“条件二”，是由于对两个交点（穿越点而言），前述“不能在接触点被终止”限制因素都适用所决定的，因此可以认为是后者的一个推论。因此，如果在两次穿越之间的线段距离是0而不是任何有限长线段，更不是无穷长，就等于是没有穿越（排除了两个穿越点合二为一时，变成一个穿越点的情况。因为这种情况在穿越点一边的距离显然不能是0），也就是穿越点变成了仅仅是个接触点。但究竟是不是个“非终止型接触点”？于是关键是，当二交点合一时，也就是两个交点（穿越点）合二为一时，还是交点（穿越点）吗？如是，这样直线（不限长射线）有无数条。不定。但实际上，按上面提炼出的割线的特性，这种情况不会发生：因为割线与曲线的两个交点（穿越点）合二为一时，也必须满足条件二，即本质上的不能在接触点被终止的条件。因此此时虽然条件一不被满足了，但条件二仍旧会满足，“不会被终止”的，不仅是两个交点（穿越点）的任何一点，就是二点合一了，也还是可以看成是特殊形式的“任何一点”。但此时既没有“穿越”（不是交点），也没有终止，那就只能是“非终止型接触点”了。也就是切点。对应的直线，就是切线。以上，可以看成是切点、切线的定义。总之，割线，要同时满足条件一与条件二，但切线，条件一不被满足（或曰等价地，必须满足割线的“内侧”线段为0的条件），但条件二必须仍被满足。这就是区别。其本质，是要搞清交点（穿越点）与接触点的区别。
坦率而言，切线的定义问题，隐约记得笔者以往曾经有所涉及，但似乎没有这么详尽。这个问题，看似简单，其实并不容易。根据所查到的资料，定义都不能令人满意。往往细究起来，都属循环论证一类。这从笔者上面给出的分析所需概念的数量及其微妙、隐蔽就可以看出。而且，实际上这个概念的澄清对微积分导数的定义及求导是很重要的。它保障了割线二点合一时必然得到切线的理论基础。过去，这一点是模糊的、不加说明的，被看成顺理成章的、不言自明的。但细究起来，显然是存在推理盲点的。
对于与导数、切线斜率这样的概念密切相关的切点、切线定义问题，事实上，从更准确的后者，当然有利于更好地理解前者。比如0/0的问题，说明任何一点，如果仅仅知道二点合为一点这一事实，而全然不顾及其它条件和性质，那就是过空间任何一点，可以有无穷条直线，在曲线上的任何一点也一样。因此不定，0/0就恰如其分地反映了这种不定性。其实这也是它的名称“不定式”。但如果我们明确了在切线的定义中，实际是“非终止型接触点”要求的延伸线，这个线是唯一的，其斜率自然也唯一。这个线是延伸的，就意味着其上远不止有一个点，足可以定义其斜率即方向。而接触点，又使其在空间定位。这样就唯一地决定了一条直线，这里就是切线。这从另一个侧面显示出，只有笔者提出的新导数定义，才可以满足切点、切线的定义。而传统的导数定义，在满足切点、切线定义上，不完备。现在看的很清楚了，它只是表述了两个交点合成了一个点，而导数也就是切线斜率只是由这一个点来定义、求出。这当然不行，立刻会有0/0不定的问题。但传统求导，又是无意中用约分消去分母上的自变量后求得的，由笔者揭示，这实际上相当于令分母上的那个自变量等于1也就是非0了，这实际上就是暗中“承认了”在求导数时要依赖切线的延伸性（非0性），即不是仅仅只是一个接触点的事了。因此，搞清切线、切点的确切定义，是有助于理解导数、切线斜率这样的问题的。当然，反过来也一样。
2、新导数、瞬时速度定义下的求导原则的普适性问题
笔者系列文章中，往往为了讨论方便与直观（目的当然是为了增加可读性，不要用抽象的公式吓跑读者，以争取更多的人理解），直接在最简单的二次曲线情况下来讨论问题。这一做法，其实也常见于很多教材中。识者自当举一反三。而且更普遍抽象的原则性公式，笔者也是给出过的。这不是“以特殊代替了普遍”，这种责难，本不值得回复。但此处可以略加解释：可以说任何曲线，都可以和直线相交，无论两个交点还是一个交点。任何两个点，可以唯一地决定一条直线。而由上面的切点、切线定义可知，一个切点，也唯一地决定了一条切线。这种情况，绝对不是二次曲线所唯有的。它对任何曲线都适用。因此，在二次曲线上的原则，同样适用于任何曲线。无论是对数曲线、三角函数曲线，只要这种曲线有割线、切线，就都适用。区别只是计算的简繁问题。本质性的区别是没有的。
这个问题，笔者在此文的第3节中实际已经讨论过了，这里再做一下强调。
3、对传统求导法中的必要步骤“约分消分母”的真实意义的再一次重申
如果不能充分地意识到传统求导——无论是第一代的牛顿、莱布尼兹还是第二代的柯西极限法微积分——首先必须通过约分消去分母上的自变量这一必要步骤中的名堂，任何对这两种求导方法的诘难，都不能从根本上解决问题。充其量只能指出它们的贝克莱悖论实际上并没有彻底解决。特别是极限法求导，声称解决了第一代微积分的问题，但其实没有。可这些仍旧回答不了究竟为什么还会有贝克莱悖论和最终如何可以化解这个悖论。笔者在此来一个“画龙点睛”式的表述：传统微积分（无论第一还是第二代），对于增量比值函数，一消分母上的自变量，形式上就求出了斜率k。如增量比值函数K△x/△x，一消去分母，不就是k吗？而笔者的基于新导数定义的新求导法，不过是由增量函数K△x，直接求k罢了。既然消去分母求k，何不直接不写分母地直接求？还省得一些人囿于传统观点而不能自拔，始终分母为0或不为0如何如何的。现在根本就没有、不写分母了，还能说出什么呢？此外，这也说明一点，按传统法可以求出的导数，按新法统统可以求出，只是解释、理解、定义不同罢了。更何况这是唯一可以没有矛盾的解释。
至于瞬时速度、导数的直观图，和它与传统定义的对比图，甚至动画图（田茂老师帮助制作），见笔者前期论文和网上博客。不再
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
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