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Zmn-0491 薛问天：有些观点是错的值得讨论清楚。评《0485》和《0490》

已有 829 次阅读 2021-3-21 10:51 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0491 薛问天：有些观点是错的值得讨论清楚。评《0485》和《0490》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对林益和新华先生《Zmn-0485》和《Zmn-0490》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

评评

有些观点是错的值得讨论清楚。

评《0485》和《0490》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-s.jpg 感到【奇怪】或者感到【不奇怪】不重要。重要的是两点。第一，感者所感的为什么不是我们争论的问题。第二，从感言來看，感者是否在数学上有些观点是错的。要有错，倒是值得讨论清楚。

第一，感者所感的不是我们争论的问题。

为什么？是不是因为他还不了解，或没看懂，我和李鸿仪先生在讨论什么问题，在争论什么问题。如果他知道问题之所在，深入到争论的不同观点上去，发表他们自己的看法，就非常有趣，也是我们最希望听到的声音。真可惜，感到奇怪的，都是同我们的讨论无关的问题。

第二，从感言來看，感者是否有些论点是错的。要有错，倒是值得讨论清楚。

(1)，【李鸿仪老师是对康托尔对角线证法提出质疑】，当然是【对康托定理证明的质疑】。是对康托尔的【实数不可数】定理证明的质疑。怎么能说【并不是对康托尔提出质疑】。

康托尔证明的重要定理很多。我们后人通常把康托证明的【实数不可数定理】，【幂集基数大于原集基数定理】，等重要定理都称为康托尔定理。难道先生们没有看我们的文章，不知道我们讨论的是康托尔证明的【实数不可数】定理吗？真正奇怪的是，竟然说【《Zmn-0468》中根本没有涉及康托定理，我能不感到奇怪吗？ 】把【实数不可数定理】认为不是康托尔证明的定理，不是【康托尔定理】，确实是【少见多怪】。

(2)，釆用含0的自然数和采用不含0的非0自然数，对我们的定理的证明一点关系都没有。凡同含0的自然数能一一对应的集合，同非0自然数也能一一对应。说什么【首位小数都是从 1 开始的，显然不能与康托尔的自然数一一对应，】这完全是错误的判断。采用非0自然数，并不影响定理证明的正确性。而是定理证明的需要。另外把在证明中采用非0自然数，认为是康托尔【忘记或者故意忘记他自己定义的自然数，而沿用传统自然数】，是【精神不正常的人的行为。】是完全错误的。

(3)，感言者说【康托尔自己定义的自然数，自己却不用，这不更奇怪吗？ 】在集合论中承认含有0的自然数，但是并没有否认非0自然数这个集合的存在。要知道在证明中完全可以使用这个集合。在证明中使用了非0自然数，这是完全允许的，不需要【更正】。另外认为在证明中使用了非0 自然就是错误。把那些认为这种使用是正确的人，评论说【因为他们根本没有自己的思维，认为只要是康托尔做的，一切都是对的，根本没有对错的标准。】这样的评论显然是错误的。因为【实数可数】完全可以推出实数同非0自然数集一一对应，以及位数集同非0自然数集的一一对应，符合定理证明的需要。这一切都有根有据，感言者根本说不出康托尔的证明错在哪里。

(4)，林益先生说【它们都是可列的，康托尔却说b不在列出的小数中，这不奇怪吗？】这里有两点需要纠正林先生的㸔法。第一，在证明中说全体实数是【是可列的】，并不是根据实数的位数和个数，经过林先生所说的那种方法计算，算出全体实数【是可列的】(这种算法实际不对，暂时只说三点。①不能用序数，必须用基数。②本定理是形成基数理论的部分，因而本定理的证明不能用基数理论，否则是循环证明。③计算结果不是可列，而是不可列。)证明中的这个结果不是算出來的，是根括反证法的假定【实数是可数的】，推导出來的全体实数同自然数一一对应。

第二，证明说【b不在列出的小数中】，是根据所列出的实数，严格地构造出实数b，而且证明b不等于任何所列的实数。因而是经过严格证明出來的，并不是随意的【康托尔却说】，林先生问【这不奇怪吗？】有根有据的证明，有什么奇怪。说奇怪完全是由于有錯误的认识。

新华先生的评论中也有不少类似的错误。

新华先生说【用康托尔的定义序数ω，区间[0,1)中纯无穷纯十进制小数位数个数就是ω， 】这是明显的错误，序数是表示序型的，而通常人们认为表示【个数】的是基数，而不是序数。序数和基数是两个不同的数系，不能混为一谈。

新华先生讲【小数个数是 10^ω，显然包含了区间[0,1)中所有无穷纯十进制小数， ......】这段话说明新华先生同林益先生对康托尔的证明同样理解错误。【在(1)中包含的是全体实数】这个结果不是算出來的，是根据反证法的假定【实数是可数的】，推导出來的全体实数同自然数一一对应，全体实数才都包含在序列(1)中。前面讲了，算是算不出來的。根据基数理论，全体无穷位小数的个数(基数)是大于位数的个数(基数)，而不是等于的。另外不能在这里用基数理论來算，否则导致逻辑循环证明的错误。

新华先生说【因为他认为必须要保证小数的个数要小于等于小数的位数，康托尔对角线方法才能成立，否则“康托尔对角线方法失效”， 】这句话是不对的。什么叫无穷集的【元素个数】，按李鸿仪先生的理解，对于无穷集合，只有集合同它的子集才可比较【元素个数】的大小。而实数集合同位数集合不是集合与子集的关系，根本无法比较他所定义的【元素个数】。另外证明b不在(1)中，根本不需要李的【元素个数】相等。在推出实数集合同自然数一一对应和位数集合同自然数一一对应下，就可严格证明。

这个证明有充足的理由，新华先生说【要保证康托尔对角线方法正确是不需要理由的。 】认为【与康托尔唱对台戏.....是绝对不能允许的，】这种观点当然不符合事实。

数学的证明在逻辑上要求非常缜密。康托尔说过【数学是自由的】，但是把这种自由理解成是可以违背逻辑和定理的证明【:不需要理由】，显然是完全错误的。

数学不是宗教。认为数学【是作为宗教信仰中的信条，没有对错之分，都是对的，】显然是错误的。现在和历史上有很多错误的数学观点，都需要批判和纠正。

如果你以错误的认识【反对康托尔而被说成你是错误的】，这很正常，应该如此，一点也不奇怪。

5)，事实证明，含0的自然数和非0自然数都可以作为事物的编号。这取决于使用者的喜好，都是可以的。并没有规定必须使用哪一种。那种认为编号只能使用含0自然数，或只能使用非0自然数的看法是完全错误的。也只有这种具有错误观点的人，才会觉得出现的现象是【可笑】的。

现在描述的证明，其中的编号用的是非0自然数，证明是正确的没有错。其实你就是把证明改写一下，实数的编号和位数的编号都用含0的自然数。即实数的序列为a0,a1,a2,...，而实数的无穷小数为ai=0.ai0ai1ai2......，b=0.b00b11b22......。bii≠aii (i=0,1,2,......)。证明也可进行。证明同样是正确的。

也就是说，把与证明的正确性毫无关系的自然数含0和不含0的问题拿來说事，亳无意义，多此一举。

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