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Zmn-0486 薛问天:关键是复合函数的二大要素。评师教民《0465》。

已有 668 次阅读 2021-3-16 09:42 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0486 薛问天:关键是复合函数的二大要素。评师教民《0465》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生《Zmn-0465》的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

关键是复合函数的二大要素。

评师教民《0465》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg关于我同师教民先生的争论。我曾归结成四个问题。师先生对此四个问题提出了他的四点总结《0440》。我在《0459》中批评了它的总结。但他《0465》对我的批评没有作出任何实质性的回答。说明他回答不了。

其实问题的关键是相当简单的。关键就是一个问题。由函数y=f(x)和函数x=g(y)构成的复合函数f[g(y)],它的函数关系(即映射,对应法则)是什么?它的定义域是什么?

数学分析把这两点看作是函数的两大要素。我把教科书的原文都引出來了。原文表述得很清楚,对于一个函数f來说,【构成函数的要素是: 定义域Df,及对应法则f。如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的。

正因为如此,在所谓【解析式型函数定义】中:,【解析式型函数的定义分为函数式和定义域两部分.前边的部分是函数式:;后边括号内的部分是定义域,即是函数的自变量的取值范围。】也就是说在一个函数的定义中,要把函数的两大要素填写清楚,前边部分写出函数关系(映射),后边部分写出定义域。

对于一个由函数y=f(x)和函数x=g(y)构成的复合函数f[g(y)],如果你很确定,很明确,认为它的函数关系(即映射)是复合映射f·g.,认为它的定义域是Dg(函数x=g(y)的定义域),那么这个复合函数的【解析式型定义】中,函数关系就应填写复合映射f·g,定义域就应填写Dg。我在《0459》中说〖这才是复合函数的正确定义。〗师教民先生不敢对此作出任何表态。

而师教民先生却硬是用y=f(x)來作为函数式(薛注:正确的应为f·g),用函数x=g(y)來作为定义域(薛注:正确的应为Dg),用这样的方式來定义复合函数显然是错误的。因为复合函数的函数关系是f·g而不是f,而且定义域是Dg,不是【函数x=g(y)】。

另外,师先生在文中说【我也早已证明了 f 和 f·g 是同一个函数.薛问天先生认为〖函数关系不同的函数就一定不是同一个函数〗暴露了他〖没有读懂或没有学会〗相同函数的判别法!】这充分暴露了师先生的概念混乱到什么程度。

 

可见,现在的关键问题是,复合函数的两大要素问题。师教民先生是否承认复合函数的函数关系是复合映射f·g,是否承认复合函数的定义域是Dg。

师教民先生是否现在还认为,复合函数的函数关系是f,复合函数的定义域是函数x=g(y)。为什么坚持要在函数的【解析式型定义】中,把f写在【函数式】栏中,把函数x=g(y)写在【定义域】栏中。

 

师先生在总结中,把过去认为的【复合函数同 y=f (x)是"同一个函数"】改成复合函数是由【函数 y=f (x)变成的】。既然【变】了,当然不是【同一个函数】。这不能不说是一个进步。但是这句话仍然是不对的。因为复合函数是由两个函数f和g用复合的方法一起共同构成的,而不是由两个函数之一y=f(x)【变成的】。

 

其实关键的争论是复合函数的因变量微分是什么?师先生总是不断地把复合函数同函数y=f(x)拉在一起,开始把复合函数就称为函数f,后來又强调复合函数同f(x)是同一函数,错误地认为定义复合函数是在定义f(x)。用f(x)定义函数的函数关系,用函数ⅹ=g(y)來定义函数的定义域。现在又坚持【复合函数是函数y=f(x)变的】。要知道【函数y=f(x)的因变量的微分是dy①,而复合函数因变量的微分是dy③】。而师先生的目的是要把这两个微分混为一谈。引起微积分的矛盾。

不知现在师先生的看法如何?【复合函数同 y=f (x)是"同一个函数"】改成复合函数是由【函数 y=f (x)变成的】。是否改变了他原來把dy①同 dy③混为一谈的看法。 如果师先生认为【复合函数是函数f(x)变的】,和其它理由,并不影响【复合函数的微分是dy③而不是dy①】,我看争论【复合函数是否是由函数f(x)变的】和其它问题,就没有什么意义了。但是如果师先生还坚持认为由于【复合函数是由函数f(x)变的】,和其它理由,则【复合函数的微分就是函数f(x)的微分dy①】,那么就还要争论下去。因为【复合函数的因变量微分是dy③,而不是函数f(x)的因变量微分dy①。】

 

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